Логика

Понятие логики

Логика — это нормативная наука о законах, принципах и методах идеализированных рассуждений, выражающих результаты рациональной и познавательной мыслительной деятельности человека (см. Мышление), а также о языке (см. Язык) как средстве такой деятельности. Основная цель логики — формализация, схематизация и систематизация правильных (корректных) способов рассуждений и высказываний, то есть общезначимых (истинных) рациональных форм языкового выражения результатов мыслительной деятельности, и выявление законов и правил, которым подчиняются такие рассуждения.

Согласно основному принципу логики, правильность рассуждения (вывода) определяется только его логической формой (структурой), и не зависит от конкретного содержания входящих в него утверждений. Различие между формой и содержанием может быть сделано явным с помощью особого (формализованного) языка, или знаковой системы, оно относительно и зависит от выбора языка. Отличительная особенность правильного вывода состоит в том, что от истинных посылок он всегда ведёт к истинному заключению. Такой вывод позволяет из имеющихся истин получать новые истины с помощью чистого рассуждения, без обращения к опыту, интуиции и тому подобному. Неправильные выводы могут от истинных посылок вести как к истинным, так и к ложным заключениям.

Логика занимается не только связями высказываний в правильных выводах, но и многими другими проблемами: смыслом и значением выражений языка, различными отношениями между понятиями, операциями определения и логического деления понятий, вероятностными и статистическими рассуждениями, парадоксами и ошибками и так далее. Но главные темы логических исследований — анализ правильности рассуждения и высказывания, формулировка законов и принципов, соблюдение которых является необходимым условием получения истинных заключений в процессе вывода. Так как мыслительная деятельность всегда осуществляется в языковой форме, языковое «оформление» составляет необходимое условие материализации и последующего существования рассуждений. Это предполагает обязательный логический анализ языка как средства выражения мысли, осуществляемого с целью выявления элементов логической формы мысли. Поэтому исследования в области логики напрямую связаны с исследованием различного рода языковых конструкций с точки зрения выполнения ими тех или иных мыслительных функций. Язык в этом смысле рассматривается как средство познания человеком действительности.

Логика в широком смысле трактуется как разумность (рациональность), внутренняя закономерность, последовательность, эксплицитно (явно) или имплицитно (неявно) присущая материальным и идеальным предметам и явлениям (например, логика вещей, логика событий, логика развития и тому подобные). Необходимые взаимосвязи между эмпирическими объектами находят своё отражение в «логике вещей». В этом смысле речь идёт о метафорическом употреблении термина «логика», так как явления и процессы, детерминированные природой, нельзя рассматривать как логичные или нелогичные, поэтому данная характеристика может быть приписана лишь рассуждениям о них.

В настоящее время логика как область исследований и методов представляет собой разветвлённую и многоплановую научную дисциплину, которая содержит в своём составе следующие основные разделы:

1. теорию рассуждений (в двух вариантах: теорию дедуктивных рассуждений и теорию правдоподобных рассуждений);
2. металогику и логическую методологию.

В составе науки логики выделяются её теоретические и прикладные разделы, а также различные методологические концепции её предмета, предметов и взаимоотношений её разделов. Исследования во всех этих областях на нынешнем этапе развития логики главным образом и по преимуществу осуществляются в рамках логической семиотики (см. Семиотика). В ней языковые выражения рассматриваются как объекты, находящиеся в так называемой знаковой ситуации, включающей в себя три типа предметов:

1. собственно языковое выражение — знак (см. Знак);
2. предмет, обозначаемый языковым выражением — значение знака (см. Значение);
3. интерпретатор знаков.

В соответствии с этим логический анализ языка может вестись с трёх относительно самостоятельных точек зрения:

1. исследования логического синтаксиса языка, то есть отношения знака к знаку (см. Синтактика);
2. исследования логической семантики языка, то есть отношения знака к обозначаемому им объекту (см. Семантика);
3. исследования логической прагматики, то есть отношения интерпретатора к знаку (см. Прагматика).

В логическом синтаксисе язык и строящиеся на его основе логические теории изучаются с формальной (структурной) их стороны. Здесь определяются алфавиты языков логических теорий, задаются правила построения из знаков алфавита различных сложных языковых конструкций — термов, формул, выводов, теорий и так далее. Осуществляется синтаксическое членение множества языковых выражений на функторы и аргументы, постоянные и переменные, определяется понятие логической формы выражения, определяются понятия логического подлежащего и логического сказуемого, осуществляется построение различных логических теорий и анализ способов оперирования в них.

В логической семантике язык и логические теории изучаются с содержательной их стороны. Так как языковые конструкции не только нечто обозначают, но и нечто описывают (имеют смысл), в логической семантике различают теорию значения и теорию смысла. В первой решается вопрос, какие объекты обозначают знаки и как именно они это делают. Аналогично в теории смысла решается вопрос о том, что является смысловым содержанием языковых выражений и каким образом они описывают это содержание.

В семантике все выражения языка, в зависимости от их значений, распределяют по классам, называемым семантическими категориями. Таковыми являются следующие категории — предложения и термины. Предложения делятся на повествовательные — утверждающие наличие или отсутствие в мире некоторой ситуации (такие предложения называют высказываниями), вопросительные — выражающие вопрос и побудительные — выражающие императивы. Термины в свою очередь делятся на дескриптивные (имена, предикаторы, предметные функторы) и логические. Для логики как науки особое значение имеют как раз логические термины, так как вся процедурная сторона интеллектуальной работы с информацией в конечном счёте определяется смыслом (значением) данных терминов. К числу логических терминов относятся связки и операторы. Среди первых выделяются предицирующие связки «есть» и «не есть» и пропозициональные (логические связки): союзы — «и» («а», «но»), «или» («либо»), «если, то», словосочетания — «неверно, что», «если и только если» («тогда и только тогда», «необходимо и достаточно») и другие. Среди вторых выделяют высказывание образующие — «все» («каждый», «любой»), «некоторый» («существует», «какой-либо»), «необходимо», «возможно», «случайно» и так далее, и имяобразующие операторы — «множество предметов таких, что», «тот предмет, который» и прочие.

Центральным понятием логической семантики является понятие истины. В логике оно подвергается тщательному анализу, так как без него невозможно в чёткой форме проинтерпретировать логическую теорию, а следовательно, и её детально исследовать и понять. Сейчас очевидно, что мощное развитие современной логики во многом было определено детальной разработкой понятия истины.

С понятием истины тесно связано и другое важное семантическое понятие — понятие интерпретации, то есть процедуры приписывания с помощью особой интерпретирующей функции языковым выражениям значений, ассоциированных с некоторым классом предметов, называемым универсумом рассуждения. Возможной реализацией языка называется строго фиксированная пара , где U — универсум рассуждения, а I — интерпретирующая функция, ставящая в соответствие именам элементы универсума, n-местным предикаторам — множества упорядоченных n-ок элементов универсума, n-местным предметным функторам — n-местные функции, отображающие n-ки элементов универсума в элементы универсума. Выражениям, относящимся к формулам, ставятся в соответствие два значения — «истина» или «ложь» — в соответствии с условиями их истинности. С одним и тем же классом предложений могут связываться различные их возможные реализации. Те реализации, на которых каждое предложение, входящее в множество предложений Г, принимает значение «истина», называется моделью для Г. Понятие модели особо исследуется в специальной семантической теории — теории моделей. При этом различают модели разного типа — алгебраические, теоретико-множественные, теоретико-игровые, теоретико-вероятностные и другие. Понятие интерпретации имеет для логики наиболее важное значение, так как посредством него определяются два центральных понятия этой науки — понятия логического закона и логического следования.

Логическая семантика является содержательной частью логики, а её понятийный аппарат широко используется для теоретического оправдания тех или иных синтаксических, чисто формальных построений. Причина этого состоит в том, что совокупное содержание мысли делится на логическое (выражаемое логическими терминами) и конкретное (выражаемое дескриптивными терминами), а потому, выделяя логическую форму выражений, мы отвлекаемся, вообще говоря, не от любого содержания. Такое отвлечение, то есть рассмотрение формальной стороны мыслей, представляет собой лишь способ вычленения в чистом виде логического их содержания, которое и исследуется в логике. Это обстоятельство делает неприемлемым идущее от И. Канта понимание логики как сугубо формальной дисциплины. Напротив, логика является глубоко содержательной наукой, в которой каждая логическая процедура получает своё теоретическое оправдание посредством содержательных соображений. В этой связи термин «формальная логика» в его применении к современной логике является неточным. В подлинном смысле слова можно говорить лишь о формальном аспекте исследования, но не о формальной логике как таковой.

При рассмотрении тех или иных логических проблем во многих случаях необходимо учитывать также и намерения интерпретатора, который использует языковые выражения. Например, рассмотрение такой логической теории, как теория аргументации, спора, дискуссии, невозможно без учёта целей и намерений участников диспута. Во многих ситуациях применяемые здесь приёмы полемики зависят от желания одной из спорящих сторон поставить своего противника в неудобное положение, сбить его с толку, навязать ему определённое видение обсуждаемой проблемы. Рассмотрение всех этих вопросов составляет содержание особого подхода к анализу языка — «логической прагматики».

Наиболее фундаментальным разделом логики является теория дедуктивных рассуждений. В настоящее время этот раздел в своей аппаратной (синтаксической, формальной) части представлен в виде разнообразных дедуктивных теорий — исчислений. Построение такого аппарата имеет двоякое значение: во-первых, теоретическое, так как позволяет выделить некоторый минимум законов логики и форм правильных рассуждений, исходя из которых можно обосновать все другие возможные законы и формы правильных рассуждений в данной логической теории; во-вторых, чисто практическое (прагматическое), так как разработанный аппарат может быть использован и используется в современной практике научного познания для точного построения конкретных теорий, а также для анализа философских и общенаучных понятий, приёмов познания и так далее.

В зависимости от глубины анализа высказываний выделяют исчисления высказываний и кванторные теории — исчисления предикатов. В первых анализ рассуждений ведётся с точностью до выделения простых предложений. Иначе говоря, в исчислениях высказываний мы не интересуемся внутренней структурой простых предложений. В исчислениях предикатов анализ рассуждений осуществляется с учётом внутренней структуры простых предложений. В зависимости от типов квантифицируемых переменных различают исчисления предикатов различного порядка. Так, в исчислении предикатов первого порядка единственными квантифицируемыми переменных являются индивидные переменные. В исчислении предикатов второго порядка вводятся и начинают квантифицироваться переменные для свойств, отношений и предметных функций разной местности. Соответственно строятся исчисления предикатов третьего и более высокого порядка.

Ещё одно важное членение логических теорий связано с использованием для представления логического знания языков с различной категориальной сеткой. В этой связи можно говорить о теориях, построенных на языках фреге-расселовского типа (многочисленные варианты исчисления предикатов), силлогистического (разнообразные силлогистики, а также онтология Лесневского, являющаяся современной формой сингулярной силлогистики) или алгебраического (различные алгебры логики и алгебры классов — Булева алгебра, алгебра Жегалкина, алгебра де Моргана, алгебра Хао Вана и другие). Для многих теорий, построенных на языках с различной категориальной сеткой, показана их взаимная переводимость. В последнее время в логических исследованиях начинает активно использоваться теоретико-категорный язык, основанный на новом математическом аппарате — теории категорий.

В зависимости от способа построения выводов и доказательств, применяемых в логических теориях, последние делятся на аксиоматические исчисления, исчисления натурального вывода и секвенциальные исчисления. В аксиоматических системах принципы дедукции (см. Дедукция) задаются списком аксиом и правил вывода, позволяющих переходить от одних доказанных утверждений (теорем) к другим доказанным утверждениям. В системах натурального (естественного) вывода принципы дедукции задаются списком правил, позволяющих переходить от одних гипотетически принятых утверждений к другим утверждениям. Наконец, в секвенциальных исчислениях принципы дедукции задаются правилами, позволяющими переходить от одних утверждений о выводимости (они называются секвенциями) к другим утверждениям о выводимости.

Построение в логике того или иного исчисления составляет формальную строну логических исследований, которую всегда бывает желательно дополнить содержательными соображениями, то есть построением соответствующей ей семантики (интерпретации). Для многих логических исчислений такие семантики имеются. Они представлены семантиками различного типа. Это могут быть таблицы истинности, так называемые аналитические таблицы, таблицы Бета, различного рода алгебры, семантики возможных миров, описания состояний и так далее. Напротив, в том случае, когда логическая система первоначально строится семантически, встаёт вопрос о формализации соответствующей логики, например, в виде аксиоматической системы.

В зависимости от характера высказываний, а в конечном счёте от типов отношений вещей, которые изучаются в логике, логические теории делятся на классические и неклассические. В основе такого членения лежит принятие при построении соответствующей логики определённых абстракций и идеализаций. В классической логике применяются, например, следующие абстракции и идеализации:

1. Принцип двузначности, согласно которому каждое высказывание является либо истинным, либо ложным.
2. Принцип экстенсиональности, то есть разрешение для выражений, имеющих одно и то же значение, свободной их замены в любых контекстах, что говорит о том, что в классической логике интересуются только значением выражений, а не их смыслом.
3. Принцип абстракции актуальной бесконечности, который позволяет рассуждать о существенно неконструктивных объектах.
4. Принцип экзистенциальности, согласно которому универсум рассуждения должен быть непустым множеством, а каждое собственное имя должно иметь референт в универсуме.

Эти абстракции и идеализации образуют ту точку зрения, тот ракурс, под которым мы видим и оцениваем объективную реальность. Однако никакая совокупность абстракций и идеализаций не может охватить её в полной мере. Последняя всегда оказывается более богатой, более подвижной, чем теоретические построения, что и делает оправданным свободное варьирование исходных принципов. В этой связи полный или частичный отказ от любого из указанных принципов выводит нас в область неклассических логик. Среди последних выделяют: многозначные логики, в частности вероятностные и нечёткие, в которых происходит отказ от принципа двузначности; интуиционистские логики и конструктивные логики, в которых исследуются рассуждения в рамках абстракции потенциальной осуществимости; модальные логики (алетические, временные, деонтические, эпистемические, аксиологические и другие), релевантные логики, паранепротиворечивые логики, логики вопросов, в которых рассматриваются высказывания с неэкстенсиональными (интенсиональными) логическими константами; логики, свободные от экзистенциальных допущений, в которых происходит отказ от принципов экзистенциальности, и многие другие.

Всё это показывает, что логика как наука, дающая теоретическое описание законов мышления, не есть нечто раз и навсегда данное. Наоборот, каждый раз с переходом к исследованию новой области объектов, требующих принятия новых абстракций и идеализаций, при учёте новых факторов, которые влияют на процесс рассуждения, сама эта теория изменяется. Таким образом логика является развивающейся наукой. При этом, включение в состав логики определённой теории законов мышления напрямую связано с принятием определённых онтологических допущений. С этой точки зрения логика является не только теорией мышления, но и, в некотором смысле, теорией бытия, или теорией онтологии.

Основные этапы развития логики

Логика возникла в Древней Греции в рамках философии (см. Философия). История её развития насчитывает около двух с половиной тысячелетий и делится на два основных периода:

1. Традиционная формальная логика (IV век до новой эры — середина XIX века). В развитии традиционной логики, в свою очередь, выделяются три периода:
   1. Античная логика (V век до новой эры — середина V века);
   2. Схоластическая (средневековая) логика (середина V века — XV век);
   3. Логика Нового времени (XV-XVIII века).
2. Символическая (или математическая) логика (с середины XIX века).

Основоположником формальной логики является Аристотель, который в IV веке до новой эры систематизировал и обобщил в своих сочинениях имевшиеся на тот момент времени сведения, касающиеся принципов и закономерностей человеческого мышления и познания. До него софистика и риторика стимулировали развитие интереса к вопросам логики. Сократ и Платон пытались решить их профессионально. Но только Аристотель смог осознать специфику логики как особой области философского знания, наиболее полно и широко рассмотрел и изложил её вопросы. Создавая логику, он утверждал её в статусе науки о доказательстве истины и определял в качестве органона философского знания, орудия философской мысли. Своё логическое учение Аристотель называл «аналитикой». Под аналитическим исследованием, или анализом, он понимал процедуру сведения сложного к его структурным компонентам, а последних — к первоначалам (аксиоматическим положениям). Основная заслуга Аристотеля заключается в том, что он осознал источник «принудительной силы речей», отделил логическую форму мышления от его содержания и сделал предметом специального исследования логические структуры мышления. Платоновские идеи Аристотель трансформировал в понятие формы, среди которых выделил и формы логические. Цель, поставленная Аристотелем, заключалась в том, чтобы изложить сущность доказательства как метода обоснования знания, а также выявить основные законы любой дискуссии, схемы защиты разумных тезисов, в связи с чем очевидным становится значение разъяснения законов мышления с точки зрения логики, а также логический анализ языка как средства мышления. К логическим трудам Аристотеля относятся Первая и Вторая «Аналитики», «Категории», «Об истолковании», «Топика» и «О софистических опровержениях». Все эти трактаты были объединены его комментаторами под общим названием «Органон», что означает «орудие» (инструмент) познания.

Центральным разделом логической системы Аристотеля является учение о силлогизме (буквально: «выведение следствия»). Классические силлогизмы представляют собой некоторые схемы рассуждений, позволяющих из истинности двух предложений выводить истинность некоторого третьего предложения. Один из самых известных конкретных примеров: «Все люди смертны. Сократ человек. Следовательно, Сократ смертен». Этот вывод имеет форму: все М суть P. S есть М. Следовательно, S есть P. Если известно, что две посылки такого вида истинны, то всегда можно утверждать истинность заключения. Правильность схемы силлогистического рассуждения не зависит от конкретного содержания терминов М, P и S.

Теорию силлогизма Аристотеля условно можно разделить на три части:

1. логические формы силлогизма, изложенные в «Первой аналитике»;
2. приложения логических форм силлогизма для поиска истины, рассматриваемые во «Второй аналитике»;
3. использование логических форм силлогизма к анализу «ходячих мнений», анализируемое в «Топике».

В остальных работах, посвящённых логической проблематике, Аристотель также преследует цели силлогистического анализа. В сочинении «Об истолковании» представлена теория суждения. В «Категориях» изложены основы учения о понятии.

Описание основных логических категорий и приёмов, используемых рассуждающим мышлением, даётся в «Топике». В сочинении «О софистических опровержениях» решается проблема об источниках неправильных умозаключений и доказательств, о средствах обнаружения логических ошибок. Если в логике Платона исходным пунктом является понятие, то в логике Аристотеля — высказывание. Трактат «Об истолковании», то есть о раскрытии смысла утверждений и отрицаний собеседника, предшествует силлогизму как логической системе, в рамках которой происходит оценка взаимных отношений между высказываниями и обоснование высказываний силлогистическими умозаключениями.

Логические закономерности оперирования категориями и высказываниями в процессе доказательного (аподиктического) мышления Аристотель ищет в сформировавшейся к тому времени грамматике. Методология логических исследований Аристотеля основополагалась на двух основных принципах, направленных против методологических установок Гераклита и младших софистов, — законе запрещения противоречия и законе исключения третьего. Если закон запрещения противоречия постулирует, что два контрадикторных (противоречащих друг другу) высказывания не могут быть одновременно истинными, то закон исключения третьего утверждает, что одно из контрадикторных высказываний непременно истинно. Применяя к категорическим высказываниям законы запрещения противоречия и исключения третьего, Аристотель вывел логические закономерности отношений между данными высказываниями, которые были представлены в виде логического квадрата М. Псёллом в XI веке. Теория категорического силлогизма является наиболее формализованной частью логического учения Аристотеля. Произведя в «Аналитиках» детальный анализ силлогизма как особой формы умозаключения, раскрыв сущность доказательства как процедуры обоснования нового знания, рассмотрев приёмы определения и деления, Аристотель создал силлогистическую теорию, положив начало формальной логике. Остальные проблемы, исследуемые Аристотелем, — теория логических модальностей, аналогия, структура определений, проблематика логических ошибок и другие — уступают по степени разработанности и строгости силлогистической теории.

Развитие логики после Аристотеля продолжалось по разным направлениям. Это было непосредственное развитие логического учения Аристотеля (перипатетические школы) и образование новых школ, формирующих принципиально новый тип логики. Наиболее значительный вклад в развитие логики после Аристотеля внесла школа Стои, основанная Зеноном из Китиона. Именно Зенон ввёл термин «логика» в III веке до новой эры для обозначения самостоятельной науки о структурах и правилах мышления вместо аристотелевского термина «аналитика». Признавая тесную связь мышления и языка, стоики утверждали, что логика должна изучать структуры мыслей и языковые формы их выражения. С деятельностью школы стоиков связана античная форма логики высказываний. Логика стоиков была построена на иной, в отличие от аристотелевской логики, основе. Основным принципом логики Аристотеля является объёмная формулировка аксиомы силлогизма dictum de omni et nullo (буквально: «сказанное обо всём и ни о чём»), что означает «всё, что утверждается (отрицается) относительно всех предметов класса, утверждается (отрицается) относительно каждого предмета данного класса». Принцип силлогистики стоиков — содержательная формулировка аксиомы силлогизма: если вещь представляет всегда определённое качество или определённую совокупность качеств, то она будет также представлять качество или качества, которые сосуществуют всегда с первым качеством или совокупностью качеств. Он был более чётко сформулирован в Средние века: «Признак признака есть признак самой вещи». В соответствии с основным силлогистическим принципом стоики считали, что в истинной гипотетической пропозиции, или импликативном высказывании формы «Если A, то B», следствие B мыслится потенциально заключающимся в первой части пропозиции A. Аналогично стоики интерпретировали умозаключения с импликативными высказываниями, в которых логическая связь «Если A, то B» является выражением связи явления и невоспринимаемого предмета. Учение о пяти основных формах силлогизмов было разработано Хрисиппом. Разрабатывая теорию импликации, стоики установили для неё два критерия. Согласно первому критерию, импликация ложна, если «первое» — истинно, а «второе» — ложно. Второй критерий основан не на логических знаниях, а на природе отношения, или связи, между составными элементами импликативного высказывания. Например: «Если день, то светло. Сейчас день. Следовательно, сейчас светло». В достаточной степени чётко стоики определили логический смысл конъюнкции и дизъюнкции. Если центром логики Аристотеля являлось учение о категорическом силлогизме, логики стоиков — учение о гипотетическом умозаключении, то в эпикурейской логике центральное место занимали проблемы индукции, аналогии и гипотезы.

Развитие естествознания в античном мире требовало существенных изменений в методологии научного познания, которые позволили бы исследовать проблему научных предположений. Частично данная проблема была разрешена Эпикуром и его школой. Источник знания, согласно Эпикуру, — ощущения. Знание, полученное в процессе чувственного восприятия, невозможно опровергнуть производным от него разумом. Ошибки возникают лишь в умозаключениях. Индукция, в понимании эпикурейцев, требует учитывать общее и различное в предметах и явлениях. Например, каким бы ни был огонь, для него характерны общие признаки — горение, жар, выделение дыма, а также специфические — интенсивность, температура, запах дыма и так далее. В индуктивных умозаключениях необходимо исключать особенности каждого отдельного случая и принимать во внимание только те признаки, без которых нельзя понять природу огня как явления. Рассуждая о причинах эпидемии, эпикурейцы учитывали такие факторы, как возраст, пол, социальный статус заболевших и другие, но причину болезни они связывали с единственно одинаковым для всех заболевших обстоятельством — все они дышат одним и тем же воздухом. Сущность индуктивного метода, сводимая эпикурейцами к установлению причинно-следственной зависимости, основана на методе антиципации, то есть выдвижении вспомогательных гипотез. Гипотеза, согласно определению Эпикура, есть предположение, допустимое в тех случаях, когда невозможно с достоверностью установить причины явлений. Она должна объяснять естественный способ возникновения явлений, не прибегая к сверхъестественным силам, и не противоречить ранее установленным фактам. Для верификации индуктивных умозаключений Эпикур предложил две логические процедуры:

1. установление соответствия между эмпирическими данными и областью предполагаемого, то есть гипотезой, выдвинутой в рассуждении, для чего достаточно, чтобы выдвинутая гипотеза не опровергалась опытом;
2. верификацию индукции, связанную с исследованием ненаблюдаемых объектов, что предполагает обоснование истинности путём указания на отсутствие высказывания, противоречивого подтверждаемому высказыванию.

Данный метод он назвал «отсутствием противоречащих примеров». Например, тезис «Движение всегда происходит в пространстве» эпикурейцы подтверждали отсутствием случая, когда движение происходило бы вне пространства. Способы «соответствия» и «отсутствия противоречащих примеров» свидетельствуют о том, что эпикурейцы обнаружили другой вид индукции — элиминативную. Энумеративная индукция (через простое перечисление) была известна уже Аристотелю. В рамках скептицизма «стандартизируются» вероятностные рассуждения. Если Аркесилай ввёл понятие вероятности вместо абсолютного знания и понимал вероятность более или менее интуитивно, то Карнеад уже определённым образом критически переосмыслил вероятность, в результате чего возникают представления о разных степенях вероятности.

Развитие логики в римскую эпоху стало заключительным этапом в генезисе античной логики и явилось связующим звеном между логикой комментаторов, а также последователей Аристотеля и логикой Средневековья. Логическая проблематика в римский период сближается с задачами риторики. Цицерон написал юридически и риторически адаптированную версию «Топики» Аристотеля, в которой логика определяется как искусство правильного мышления.

Начиная со II века Новой эры начинается кризис в развитии логики. Соперничество многочисленных философских школ периода раннего эллинизма сменяется сближением школ, сглаживанием разногласий и противоречий между ними (поздний эллинизм).

Порфирий разрабатывал логическую проблематику в рамках систематически-объяснительной и систематически-категориальной диалектики мифа. В трактате «Введение к “Категориям” Аристотеля» («О пяти названиях») Порфирий различает пять разновидностей признаков:

1. род;
2. вид;
3. видообразующее отличие;
4. собственный (существенный) признак;
5. случайный (несущественный) признак.

В период Средневековья возникла проблема онтологической интерпретации названий Порфирия: соответствует ли этим общим понятиям что-либо в реальной действительности и существуют ли эти универсалии в зависимости от реальных вещей или автономно? Попытки ответа на эти вопросы породили два противостоящих решения: реализм и номинализм. Порфирий анализировал иерархию родовых и видовых понятий, получившую название «древо Порфирия», или схема Порфирия. С точки зрения современной логики, «древо Порфирия» представляет собой схему классификационного «дерева», отображающего субординацию родовых и видовых имён при дихотомическом делении объёма имени.

Боэций вошёл в историю логики как комментатор сочинений Аристотеля и Порфирия по логической проблематике. Боэций рассматривал модальные функторы «действительно», «возможно», «случайно», «невозможно», «необходимо» и соотношения между ними, предложил специальную схему, отображающую логические зависимости между модальными высказываниями. Он исследовал также взаимосвязи логических операций над высказываниями. В частности, Боэций знал соотношения:

1. из логической формы «Неверно, что p и q», выводима логическая форма «неверно, что p или неверно, что q» и из неё, в свою очередь, выводима «Если p, то не-q»;
2. из логической формы «Неверно, что не-р и q» выводима форма «p или не-q» и из неё следует «Если не-р, то не-q»;
3. из логической формы «Неверно, что p и не-q» выводима форма «Не-р или q» и из неё следует «Если p, то q» Из логической формы «Неверно, что не-р и не-q» выводима форма «p или q» и из неё выводима «Если не-р, то q».

Исходя из первого соотношения, можно заключить, что Боэций вплотную подошёл к формулировке законов А. де Моргана.

До середины XII века логика в Западной Европе развивалась на основе сочинений Боэция и Порфирия. Развитие логики в Средние века инспирировалось, главным образом, полемикой вокруг проблемы истолкования сущности общих понятий (универсалий). Реалисты, продолжатели линии Платона — Эриугена, Ансельм Кентерберийский, Альберт фон Больштедт (Альберт Великий), Фома Аквинский и другие — утверждали, что общие понятия существуют реально, автономно от единичных объектов, составляя их гипостазированную сущность. Номиналисты — Росцелин, Дунс Скот, Уильям Оккам, Жан Буридан и другие — признавали реально существующими только единичные объекты, а смысл общих понятий редуцировали к значению имён (названий объектов). Некоторые номиналисты (Пётр Абеляр, его ученик Джон из Солсбери и другие), отрицая реальное существование универсалий, рассматривали их в качестве общих понятий (концептов), особых форм познания. Данное направление в номинализме получило название концептуализм.

В период Средневековья традиционная формальная логика обрела большую часть своего символического языка, то есть системы условных знаков для обозначения различных структур мышления и логических связей между ними. В частности, византийский учёный-монах М. Псёлл гласными буквами латинского алфавита из слов «affirmo» («утверждаю») и «nego» («отрицаю») обозначил простые высказывания, что позволило мнемонически фиксировать модусы фигур простого категорического силлогизма. Анализируя логические отношения между простыми высказываниями (противоположность, противоречие, подчинение, частичная совместимость), Псёлл предложил специальную схему для их обозначения, названную «логическим квадратом». В этот период разрабатывались также теория логического следования, теория семантических парадоксов, проводился анализ выделяющих и исключающих высказываний, изучались проблемы модальной логики. Ансельм Кентерберийский анализировал деонтические (нормативные) высказывания с прескриптивными (предписывающими) функторами «обязательно», «безразлично», «разрешено», «запрещено» и другими.

В схоластической логике XII-XIII веков различались модальности «необходимость сама по себе» и «акцидентальная необходимость», инспирирующие неизменяемое истинностное значение высказывания соответственно в любое время или в определённый фрагмент времени. Согласно некоторым свидетельствам, Дунс Скот первым использовал понятие логической возможности (possibile logicum) и сформулировал идею возможных миров, близкую к определённым характеристикам современного понимания модальностей, опередив, тем самым, Г. В. Лейбница. В модальной теории Скота возможное считается некоторой «априорной областью концептуальной непротиворечивости». В этом случае среди логических возможностей экстрагируются классы эквивалентностей в основе отношения совозможности, один из которых будет действительным. Некоторые из логических возможностей являются реальными альтернативами действительному миру. Схоластической логической традиции принадлежит первая в истории человечества идея создания механического логического устройства, высказанная испанским философом, логиком Р. Луллием. Но как автор абсурдного, по тем временам, проекта он подвергся критике, в частности Дж. Свифтом в его широко известной книге «Путешествие Гулливера» (образ профессора Великой Академии в Лагадо). В эпоху Возрождения (XV-XVI века) в логике и методологии науки происходит усиление эмпирических тенденций.

В Новое время начинается активное развитие наук (см. Наука), особенно математики, в которой центральное место занял анализ переменных величин и изучение операций над ними, а также процесс формирования новых критериев истины, так как «чистое знание», знание ради знания больше не устраивает технологически развивающееся общество. В этот период определяющими факторами познавательной деятельности становятся не всевозможные комбинации с логическими объектами, а комбинации с эмпирическими данными и их обобщениями.

Ф. Бэкон в «Новом Органоне», противопоставленном «Органону» Аристотеля, изложил основы индуктивной логики, которая должна была заменить схолатизированную аристотелевскую силлогистику. Аристотелевская силлогистика содержала всего 24 правильные схемы рассуждений, и это не отвечало требованиям Нового времени. Оставляя за силлогизмом как формой доказательства сферу мнений, Бэкон утверждает индукцию в качестве единственной формы доказательства, считающейся с данными чувств, постигающей природу и устремлённой к практике. «Логика, которой мы сейчас пользуемся, — писал Ф. Бэкон, — служит, скорее, укреплению и сохранению заблуждений, имеющих своё основание в общепринятых понятиях, чем отысканию истины. Силлогизм не приложим к принципам знаний. Силлогизмы состоят из предложений, предложения из слов, а слова суть знаки понятий. Поэтому если сами понятия, составляя основу всего, спутаны и необдуманно отвлечены от вещей, то нет ничего прочного в том, что построено из них. Поэтому единственная надежда — в истинной индукции». Если Аристотель знал один вид индукции — через простое перечисление (энумеративную), то Ф. Бэкон, продолжая эпикурейскую традицию, предложил индукцию через исключение, в процессе которой элиминируются несущественные свойства исследуемых явлений. После осознания неоптимальности данной разновидности индукции (длинный путь к истине; не всегда достигаются достоверные результаты), Бэкон внёс коррективы в свой метод. Он рекомендовал искать такие факты («прерогативные инстанции»), при которых явление выступает в наиболее «прозрачном» виде. Он также разработал теорию методов установления причинно-следственных связей между явлениями: метод сходства, метод различия, соединённый метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений.

В XIX веке развитие индуктивной логики было продолжено Дж. Гершелем и Дж. С. Миллем. Дж. Гершель в книге «Введение в изучение естествознания» (1832) сформулировал пять правил установления причинно-следственных связей:

1. неизменность связи причины и следствия;
2. неизменность отсутствия следствия при отсутствии причины;
3. возрастание или уменьшение степени интенсивности проявления следствия с возрастанием или уменьшением степени интенсивности проявления причины;
4. пропорциональность следствия причине во всех случаях его прямого, без препятствий со стороны, действия;
5. уничтожение следствия с уничтожением причины.

Дж. С. Милль в «Системе логики силлогистической и индуктивной» (1843) более чётко сформулировал методы исследования причинно-следственных связей — метод единственного сходства, метод различия, соединённый метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков, и с помощью доходчивых примеров продемонстрировал их познавательную значимость.

Г. Галилей обосновал гипотетико-дедуктивный метод как способ научного исследования, предполагающий выдвижение гипотез о причинах изучаемых предметов или явлений, а затем выведение посредством дедукции следствий из гипотез. На этом основании Р. Декарт акцентировал значимость логической дедукции как основного метода научного познания. Выступая против схоластической интерпретации логики Аристотеля, он сформулировал четыре правила, которых нужно придерживаться при любом научном исследовании:

1. принимать очевидное за истинное;
2. дробить целое на части;
3. начинать изучение с простейшего и мельчайшего;
4. ничего не упускать при изучении.

Данные правила являются, скорее, методическими рекомендациями философского характера, основанными на механистическом понимании действительности и рационалистической теории познания.

Р. Декарт был одним из первых создателей формального языка математики (буквенной алгебры), который Г. В. Лейбниц впоследствии перенёс в логику. А. Арно и П. Николь, исходя из дедуктивного метода, обоснованного Декартом, и новых методологических требований относительно доказательства, сформулированных Б. Паскалем, написали книгу «Логика, или искусство мыслить» (известную под названием «Логика Пор-Рояля», 1662), в которой изложили не схоластический вариант аристотелевской логики, а логику как науку «правильно прилагать разум к познанию вещей».

Идейный переворот в области логики осуществил Г. В. Лейбниц, выступив с программой её математизации с помощью универсального логического языка. Свой подход он назвал «всеобщей характеристикой», «комбинаторным искусством». Сводился он к решению трёх основных задач:

1. логическому анализу всех известных понятий и редуцированию их к сочетанию простых, далее неразложимых понятий (созданию «всеобщей характеристики»);
2. созданию универсального языка символов, знаки которого должны заключать максимум смысла и выражать идеи наиболее естественным образом; при этом простые элементы логических рассуждений должны обозначаться буквами, сложные элементы — формулами, суждения — уравнениями;
3. разработке логического исчисления, включающего чётко сформулированные правила оперирования символами, то есть процедуры образования из букв формул, из формул уравнений.

Применив к логике математические методы, он попытался построить данную науку в виде исчисления. Ему удалось разработать несколько вариантов арифметизации «общей логики», частными случаями которой он рассматривал теорию силлогизмов Аристотеля и дедуктивную систему Евклида. Но реализовать проект преобразования логики Лейбницу не удалось в связи с тем, что в математике не были разработаны адекватные средства для её формализации. Тем не менее, его исследования стали началом разработки принципов построения дедуктивных теорий и изучения логических свойств отношений между высказываниями, что значительно расширило учение о средствах дедуктивного вывода. Лейбниц сформулировал закон достаточного основания, расширив тем самым методологический базис двузначной аристотелевской логики, основными постулатами которой являются законы тождества, исключения противоречия и исключения третьего.

И. Кант, признавая тот факт, что традиционная формальная логика (определение «формальная» введено им для акцентуации особенности данной логики в подходе к изучаемым явлениям) со времён Аристотеля «не сделала ни одного шага назад, но и не сделала ни одного шага вперёд», сделал вывод: «она учит лишь неизменным правилам рассудка и не имеет никакого отношения к тому, каким образом открываются новые истины, каковы механизмы расширения знания». Основная задача логики, согласно Канту, указать условия, при которых мышление может избежать противоречия самому себе. На этом основании он разрабатывает трансцендентальную логику, предметом которой являются априорные, доопытные формы сознания. Кант признает четыре основных формально-логических закона, но специфицирует их действие в соответствии со своей системой. Законы тождества и противоречия он считает самыми важными принципами рассуждающего мышления на ступени возможного (проблематического) знания, закон достаточного основания является направляющим на ступени действительного (ассерторического) знания, закон исключённого третьего — на ступени необходимого (аподиктического) знания. Из дедуктивной силлогистической системы Аристотеля Кант признавал только первую фигуру как обладающую самыми мощными доказательными возможностями.

Вплоть до XIX века логика сохраняла все положения аристотелевской логической доктрины. В XIX веке Г. В. Ф. Гегель создал диалектическую (метафизическую) логику. Характеризуя логику Аристотеля, Гегель утверждал, что она составляет основу формальной логики и её разработкой занимались преимущественно средневековые схоластики, ничего не прибавившие к её содержанию, и лишь развившие её в частностях. Не осознавая осуществляемый в логике поиск адекватных методов исследования мышления, он писал, что «это лейбницево применение исчислений комбинаций к умозаключению и сочетанию других понятий не отличалось от пресловутого луллиевого искусства ничем другим, кроме большей методичности с арифметической точки зрения, вообще же не уступало ему в бессмысленности». Критически воспринимая кантовский формализм и систему формальной логики в целом, Гегель предложил новый тип логики — диалектическую логику, за что его назвали Великим реформатором логики. Значимость формальной логики Гегель ограничивал лишь низшей ступенью мыслительной деятельности. Если Кант зафиксировал неизменность системы логики, то Гегель, не осознавая того, показал, что логика не есть собрание технически полезных советов, нечто раз и навсегда данное, но что, как и все науки, она находится в состоянии непрерывного развития.

Радикальное реформирование методов логики началось с реализации программы Дж. Буля, которая послужила водоразделом между традиционной и современной логикой. Буль в качестве методологической основы своих фундаментальных исследований «Математический анализ логики» (1847) и «Исследование законов мышления» (1854) положил аналогию между алгеброй (как разделом математики, исследующим арифметические операции сложения, умножения, вычитания и деления не только над числами, но и над многочленами, векторами, матрицами, операторами и другими математическими объектами) и логикой. Он вывел исчисление, дающее бесконечно много правильных схем рассуждений. На сегодняшний день исчисление Буля известно как алгебра логики (термин Ч. С. Пирса), где акцент сделан на изучение свойств логических операций. Сфера действий алгебраических операций была расширена Булем за счёт применимости их к логическим объектам, что позволило представить логику как алгебру классов, связанных операторами «и» (логическое умножение), «или» (логическое сложение), «не» (логическое дополнение). Алгебра логики Буля (булева алгебра) стала исторически первым разделом символической (математической) логики. Главной задачей создаваемой им алгебры логики Буль считал вычисление истинности или ложности, что стало первым приближением к реализации проекта Лейбница.

У. С. Джевонс в построенной им системе «чистой логики» стремился избежать излишней математизации, характерной для алгебры логики Буля. Его система базируется на законах тождества, исключения противоречия и исключения третьего и принципе замещения, то есть логически эквивалентной замене. Этот принцип, по Джевонсу, является главным в логике и действует в индукции, дедукции, аналогии, обобщении, классификации, в процессах измерения; в математике он известен как правило замены равного равным. Исчисление Джевонса не только формализует все дедуктивные умозаключения традиционной логики, но и позволяет выводить все простые следствия из данных посылок (поскольку последние могут быть записаны в его исчислении). Для решения поставленной Булем задачи — уметь выявлять всю содержащуюся в посылках информацию о любом фигурирующем в них классе — Джевонс придумал простой метод, основанный на использовании приёмов комбинаторики; это позволило Джевонсу построить логические счёты и логическую машину, на которой решалась указанная задача.

Э. Шрёдер систематизировал и развил логику Буля, а также осуществил первую попытку построения общей теории алгоритмов и исчислений. Он разработал полную систему аксиом булевой алгебры и теорию логического исчисления (его авторское название современной математической логики) на основе исчисления классов. Он также внёс вклад в развитие реляционной алгебры, ввёл в научный лексикон понятие «нормальная форма», «логическое исчисление», «нормальная форма для логических выражений».

Проанализировав и обобщив концептуальные результаты Буля, Джевонса и Шрёдера, П. С. Порецкий разработал теорию логических равенств с её главным разделом о порядке выведения следствий из заданной системы посылок (причин) и нахождении посылок, из которых некоторое равенство может быть получено в качестве следствия. Окончательно булева алгебра оформилась в самостоятельную научную теорию в 1910–1920-х годах.

В конце XIX — начале XX века математизация логики продемонстрировала, что всё содержание традиционной формальной логики можно изложить чётко и прозрачно в терминах символической логики. Термин «символическая логика» впервые применил для обозначения нового этапа в развитии логики английский логик Дж. Венн, опубликовавший в 1881 году под таким названием книгу. Другие исследователи называли современный этап в развитии логики алгеброй логики (Дж. Буль), математической логикой (С. Клини), теоретической логикой (Д. Гилберт, В. Аккерман), формальной логикой (А. Чёрч). Чем более абстрактно и формально строится теория, тем более очевидна в ней роль логики в обосновании строгости рассуждений. Наличие данной зависимости явилось исходной точкой разработки программы логицизма, в рамках которой предполагалось обосновать приоритет логики как гарантированного средства выведения новых истин в математике. Согласно логицистской концепции логика имеет приоритет перед математикой и вся (или почти вся) математика может быть выведена из логики.

После того, как Г. Фреге впервые построил исчисление высказываний и исчисление предикатов, возникла реальная возможность построения системы логики в виде дедуктивной системы. В первой своей логицистской работе по математической логике «Исчисление понятий» («Шрифт понятий», 1879) Фреге предпринял попытку редуцировать математику к логике. Задача Фреге сводилась к:

1. определению исходных понятий математики исключительно в терминах логики;
2. доказательству принципов математики лишь на основании принципов логики и с помощью только логических доказательств.

Для этого он построил первую аксиоматическую систему исчисления высказываний, основанную на двух логических операциях — импликации («если, то») и отрицании («неверно, что»). В этой же работе Фреге ввёл современные символы для кванторов (логических операторов, выражающих утверждения двух типов:

1. общности, или универсальности;
2. существования, или частности, необходимых для выявления отношений между предметной областью и предикатами, определёнными для неё.

С работы Фреге «Исчисление понятий» и начинается современная логика. Именно его усилиями был создан тот универсальный язык логики, о котором рассуждал Лейбниц в своей программе «универсальной характеристики» и который в алгебре Буля достиг состояния логического исчисления.

Фреге разработал метод формализации дедуктивных систем; формализовал экстенсиональную («объёмную») логику, заменив высказывания с помощью радикальной абстракции их истинностными значениями; провёл демаркационную линию между синтаксисом и семантикой формализованного языка («исчисления понятий», или «формульного языка чистого мышления»); эскизно наметил разделение объектного языка и метаязыка формализованной теории. В работе «О смысле и значении» («Смысл и денотат», 1892) он инициировал логико-семантические исследования, обозначив круг проблем теории именования, связанный с логическим анализом понятий «имя», «значение» («денотат»), «смысл», «имя собственное» (имя предмета); «функция», «имена функций»; «отношение» и других. Фреге ввёл различие между предметами и функциями, на основании чего, вместо принятого до него деления имён на единичные и общие, предложил разделить все имена на два класса:

1. имена собственные (имена предметов);
2. имена функций, или функциональные имена (имена свойств или отношений, то есть предикаты).

Понятие Фреге интерпретировал как одноместный предикат (высказывательную форму выражения свойств или отношений предметов в формализованных языках типа «X есть P»). Он сформулировал наиболее важные принципы теории именования:

1. принцип взаимозаменяемости, означающий возможность замещения знаковых выражений, которые имеют одинаковые денотаты (например, имена «Утренняя звезда» и «Вечерняя звезда» оказываются взаимозаменяемыми при обозначении планеты Венера). Принцип взаимозаменяемости Фреге носит экстенсиональный характер, так как тождество имён основано на одинаковых денотатах;
2. принцип однозначности, выражающий требование, согласно которому каждое имя обозначает только один предмет;
3. принцип предметности, отражающий тот факт, что сложное имя выражает связи между предметами, а не между именами, составляющими сложное имя.

Разработанный в дальнейшем фундаментальный двухтомный труд «Основные законы арифметики» (1893–1903), где в развёрнутом виде представлена концепция логицизма, был уже в печати, когда Фреге получил письмо от Б. Рассела, в котором он сообщал об открытом им парадоксе в теории множеств. Фреге сразу методологически оценил открытие Рассела: в фундаменте математики, которая является образцом строгости и точности, лежит противоречие, и сделал практические выводы: его работа в значительной мере потеряла смысл.

Б. Рассел в работе «Принципы математики» (1903) продолжил обоснование логицистской идеи о сведении математики к логике, считая, что это обосновывается всей историей науки и философии. Наиболее законченное выражение логицистской программы было представлено в трёхтомном фундаментальном труде Б. Рассела и А. Н. Уайтхеда «Principia Mathematica» (1910–1913), сравнимым по своему влиянию с аристотелевским «Органоном», где изложена программа сведения математики к логике и предоставлено мощное эмпирическое подтверждение возможности формализовать математические системы, в частности арифметику, во всей их полноте. Для избежания парадоксов в процессе реализации логицистской программы Рассел и Уайтхед разработали теорию типов, согласно которой логический тип множества всегда должен быть выше типа его элементов, то есть множество не должно содержать элементов, определяемых в терминах самого множества. Появление в XIX веке неевклидовых геометрий, дальнейшее развитие математического анализа, появление теории множеств привело к возникновению, а затем и обострению проблемы построения непротиворечивых систем знаний в связи с обнаружением парадоксов.

Иной способ защиты от парадоксов был предложен Д. Гилбертом в концепции формализма, разрабатывавшейся им начиная с 1904 года. Понятия формальной системы и доказательства становятся строго формализованными. С этого времени начинается совершенно новый этап развития современной логики. Изучаются не рассуждения, не отдельные их классы, не те или иные аргументы, а доказательства как формальные объекты. Появляется самостоятельный раздел логики — теория доказательств. Для этого сами формализованные системы, например теория множеств, должны были быть представлены в виде аксиоматической системы, в основе которой лежит логика исчисления. В таком случае остаётся только доказать непротиворечивость этой системы: логическая система является непротиворечивой, если в ней одновременно не доказуемы некоторая формула и её отрицание.

Аксиоматическое построение арифметики было связано с общим процессом критического пересмотра логических основ математики (работы Н. И. Лобачевского, Г. Грасмана, Дж. Пеано), что косвенно повлияло на развитие идеи аксиоматического построения логики. Со времён Евклида (III век до новой эры) считалось, что для обоснования любой теории достаточно выделения в ней небольшого числа аксиом (постулатов) как очевидных первичных начал, не нуждающихся в доказательстве, и дедуктивном выведении всех остальных положений теории из данных аксиом. В середине XIX века интерпретация аксиом как самоочевидных положений начала подвергаться критике, так как неочевидной стала казаться сама очевидность (аксиом), имеющая субъективный характер: то, что кажется очевидным для одного человека, для другого очевидным не является. Гилберт разработал программу обоснования математики с помощью аксиоматического метода, цель которой сводилась к решению двух задач:

1. представить классическую математику в виде формализованной аксиоматической системы;
2. доказать непротиворечивость исчисления её высказываний.

Благодаря программе Гилберта в течение первых трёх десятилетий XX века приоритетными в логике были не семантические, а синтаксические исследования. Их итогом стала работа «Основы теоретической логики» (1928), в которой изложены два наиболее важных положения:

1. строгая формализация теории предполагает полную абстракцию от смысла;
2. изучение формально-логических свойств системы требует разработки метатеории, или теории доказательства, в рамках которой дедуктивным выводом называется такая последовательность высказываний, где каждый элемент является либо доказанным высказыванием, либо аксиомой, либо логически следует из предыдущих высказываний.

Согласно Гилберту, одно из двух противоположных высказываний ложно, а другое истинно (так как оба истинными они быть не могут), то есть доказуемость A (истины) и не-А (лжи) в одной системе аксиом «осудила бы всё исчисление на бессмысленность». Но непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть установлена средствами, которые могут быть формализованы в самой этой теории, что было доказано впоследствии К. Гёделем.

Представление логических систем в виде исчислений может быть совершенно различным. Первоначально такое представление состоялось в форме так называемых гилбертовских исчислений, которые до настоящего времени играют важную роль при образовании новых исчислений, а также при их классификации. Идеи, лежащие в основе гилбертовского исчисления, чрезвычайно просты: из бесконечного множества законов логики (тавтологий) выбирается некоторое конечное число «очевидных» законов, названных аксиомами, и минимальное число правил, с помощью которых из аксиом (а также из множества допущений) выводятся другие законы. Например, в логике высказываний можно обойтись только одним правилом вывода (modus ponens), известным ещё Аристотелю: если A и A → B — выводимые формулы, то B также выводима. Данное правило зависит только от вида формул и может, в принципе, производиться некоторым автоматическим устройством. В первопорядковой логике (логика предикатов) добавляются ещё правила для кванторов. Доказательством называется такая конечная последовательность формул, где любая формула есть либо аксиома, либо непосредственное следствие из каких-либо предыдущих формул по одному из правил вывода (которые могут применяться неоднократно). Доказанная формула называется теоремой. К логической системе предъявляются некоторые требования, являющиеся её фундаментальными свойствами. Во-первых, требуется, чтобы все наши теоремы являлись тавтологиями. Это требование иногда называют теоремой о корректности. Отсюда следует фундаментальное свойство непротиворечивости. Противоречивая логика никакой ценности не представляет. В ней истина и ложь неразличимы, и поэтому любая теорема одновременно и истинна, и ложна. Во-вторых, желательно, чтобы были доказуемы все тавтологии. Это требование называется теоремой о полноте. По существу, здесь говорится о том, что логических средств, то есть аксиом и правил вывода, вполне достаточно для доказательства всех тавтологий. Таким образом, достигается главная цель: используя минимальные средства, можно обозреть всё множество логических законов данной логической системы. Теорема о корректности и теорема о полноте вместе дают теорему адекватности: формула Ф доказуема тогда, и только тогда, когда Ф тавтология. Таким образом, понятие логического закона как общезначимой формулы (тавтологии) и понятие логического закона как теоремы здесь совпадают. Или, более общо, понятие непротиворечивости и понятие полноты совместимы. Для классической логики высказываний теорема адекватности была опубликована в 1920 году Э. Постом, а для логики предикатов в 1930 году К. Гёделем. В зависимости от способа построения выводов и доказательств, применяемых в логических теориях, кроме гилбертовских исчислений рассматриваются также исчисления натурального (естественного) вывода и секвенциальные исчисления, введённые Г. Генценом в 1935 году. В секвенциальных исчислениях принципы дедукции задаются правилами, позволяющими переходить от одних утверждений о выводимости (секвенций) к другим утверждениям о выводимости. Эти исчисления приобрели особое значение при доказательстве различных метатеорем (непротиворечивость, полнота, разрешимость) и, главное, в отличие от гилбертовских исчислений, поясняют смысл употребления логических операций.

Трансформация физической картины мира, произведённая релятивистской теорией, чрезмерно усложнившийся математический аппарат и ряд других факторов закономерно привели к радикальному пересмотру многих фундаментальных философско-методологических основ научного познания. В начале XX века началось критическое переосмысление классической логики, детерминанты мышления которой (законы исключения противоречия и исключения третьего, принцип удаления двойного отрицания и другие) не согласовывались с новыми научными реалиями (бесконечность, относительность, нечёткость и так далее). Так, в 1907–1908 годах Л. Брауэр выступал с критическими замечаниями относительно классической системы формальной логики и сомнениями относительно её возможностей. В частности, он высказал идею о неприменимости закона исключённого третьего в рассуждениях о бесконечных множествах. Точная математическая мысль и строгие математические рассуждения основываются только на рациональной интуиции, включающей процесс умственного построения всех математических объектов, отказ от использования абстракции актуальной бесконечности и способность отчётливо различать и отождествлять конструируемые объекты. Программа интуиционизма была несовместима с аристотелевской формой логики. Для её реализации необходимой стала логика без закона исключённого третьего и принципа устранения двойного отрицания, то есть интуиционистская логика, которая была разработана А. Гейтингом в 1930 году.

В первой половине XX века в логике начинается процесс создания совершенно иных логических теорий, которые не являются новым изложением классических систем, создаются новые неклассические (недвузначные, или многозначные) разделы символической логики: трёхзначные, четырёхзначные, n-значные логические системы, в зависимости от целей и задач, стоящих перед разрабатываемыми логическими системами. Развитие символической логики явилось мощным стимулом для построения логических систем, средствами которых можно формализовать рассуждения с модальностями и их отрицаниями. Исследования в области модальной логики датированы пионерскими работами К. И. Льюиса, Я. Лукасевича, совместной работой К. И. Льюиса и К. Г. Лангфорда (1932), алгебраической интерпретацией модальной логики А. Тарского и Дж. Мак-Кинси (1948). Позже были построены трёхзначное исчисление Д. А. Бочвара (1938) с выделением осмысленных высказываний (истинных и ложных) и бессмысленных — с целью разрешения парадоксов классической символической логики, в частности элиминации парадокса Рассела; трёхзначная система Г. Рейхенбаха (1946) — для построения логики квантовой механики, и другие. В 1930-х годах в логике активно разрабатывалась металогическая проблематика, включающая вопросы синтактики (способов построения логических исчислений и формальных систем) и семантики (способов интерпретации логических исчислений и формальных систем), которые вполне закономерно были поставлены разработанной к этому времени экстенсиональной логики и для решения которых было вполне достаточно её средств.

Два значительных результата, полученные в начале 1930-х годов и названные ограничительными теоремами, заставили пересмотреть сами возможности и претензии логики.

Первый результат связан с исследованиями К. Гёделя. В работе «О формальной неразрешимости предложений «Principia Mathematica» и родственных систем» (1931) Гёдель строго доказал, что семантическое понятие логического следования для второпорядкового языка логики предикатов принципиально не может быть формализовано в исчислении. Данный результат интерпретируется как теорема о неполноте формализованной арифметики (первая теорема Гёделя о неполноте). Она утверждает, что для достаточно богатых формальных систем, содержащих минимум арифметики (операции сложения и умножения), найдётся такая формула Ф, что ни она, ни её отрицание не являются доказуемыми в этой системе при условии её непротиворечивости. Более того, вторая теорема Гёделя о непротиворечивости утверждает, что в качестве Ф можно взять утверждение о непротиворечивости рассматриваемой системы. Таким образом оказалось, что логицистская программа Гилберта, в том виде, в каком он её представил, не может быть реализована. Работы Гёделя радикально изменили предмет логики как науки. Теоремы Гёделя выходят за рамки собственно логической проблематики, так как стали методологическими постулатами в области математики, философии, психологии, лингвистики и других сфер знания, которые прямо или косвенно связаны с проблемой обоснования строгости мышления. Философское значение теорем Гёделя определяется доказательством невозможности полной формализации мышления и знаний. Они продемонстрировали также известную ограниченность аксиоматического метода, применяемого не только в логике и математике, но и в физике (в частности, для построения таких её разделов, как механика, термодинамика и электродинамика), математической лингвистике и других дисциплинах.

В свою очередь, в 1933 году А. Тарский в работе «Понятие истины в формализованных языках» (1933) проанализировал логико-семантические возможности формальных методов исследования, выделив уровни метаязыка и объектного языка, и впервые формально-правильно и материально-адекватно определил понятие истины для формализованных языков (задал способ определения множества истинных выражений формализованных языков). Он обосновал тезис о невозможности исчерпывающе отобразить семантические понятия посредством понятий синтаксических, что свидетельствовало о несостоятельности программы редуцирования логического языка науки к синтаксису. Опираясь на понятие истинности в формализованных языках, Тарский в 1936 году вводит центральное для логики понятие отношения логического следования.

Тем самым, логическая семантика, принципиально несводимая к синтаксису, получила право на автономное существование. Логико-синтаксические результаты Гёделя и логико-семантические результаты Тарского сделали очевидными ограниченные возможности замены содержательного рассуждения формальным выводом.

С точки зрения развития логической семантики, новейшую историю символической логики можно разделить на два периода:

1. Исследования экстенсиональной семантики, которые начал К. Гёдель и закончил А. Тарский (в середине 1930-х годов).
2. Исследования интенсиональной семантики, начавшиеся с разработок С. Крипке.

Разработка строгой экстенсиональной семантики не могла не предшествовать возникновению строгой интенсиональной логической системы. Законы экстенсиональной логики (оперирующей понятиями «истинностное значение» на уровне логики высказываний и «объём» (или «класс», или «множество») на уровне логики классов, или предикатов) можно охарактеризовать как действительные в каждой соответствующей теоретико-множественной структуре. При наличии экстенсионального языка такую структуру можно рассматривать как модель логически возможного состояния «мира». Идеи экстенсиональной логики Фреге — Тарского были основополагающими вплоть до появления в 1960 году модальной семантики Крипке — первого интенсионального расширения теоретико-множественной семантики Тарского. Модальная логика Крипке представляет собой упорядоченный класс экстенсиональных структур, моделирующих «возможные миры».

Развитие интенсиональных семантик приближает логику к реальному содержательному мышлению, а значит, к человеческой деятельности в целом. Разработав языки высокой степени обобщённости, логика вернулась к материалу естественных языков с их нерегулярным разнообразием, так как появилась необходимость в расширении сферы формализуемых данных. Обращение к естественным языкам потребовало пересмотра многих тезисов классической логики, включая проблему истинности. Семантика модальной логики может быть только интенсиональной, так как экстенсионалы высказываний, то есть их истинностные значения, определяются в ней не только для одной (реальной) ситуации, но и на множестве других ситуаций. Но в ней ограничено число интенсиональных операторов, то есть модальную логику можно использовать для моделирования только некоторых видов интенсиональностей (необходимость и возможность). Неадекватность классического толкования понятия логического следования эксплицируется экстенсиональной трактовкой выводимости, которая очевидно противоречит реальной практике рассуждений и не согласуется с многими формальными матрицами исторической традиции (интенсионально — содержательно — понимаемых условных связей, контрфактических высказываний, интерпретаций интенсиональных контекстов и так далее). Реакцией на данное несоответствие между формально-логическими структурами вывода и выражаемой им содержательной связью стала разработка теории релевантного (буквально «уместного») следования, являющегося адекватной, то есть интенсиональной, интерпретацией понятия логического следования в рамках релевантной логики.

Системы релевантной импликации используются для решения ряда методологических проблем, связанных с преодолением трудностей в логических моделях дедуктивного объяснения, уточнением понятия номологического высказывания, нетривиальность которых (то есть отсутствие характеристики «быть логической тавтологией», так как её наличие не позволяет отличить общие высказывания, выражающие законы, от истинных общих высказываний, не выражающих законов) определяется наличием смысловой связи между антецедентом и консеквентом импликации и так далее. Современная формальная логика состоит из большого числа логических теорий, систем, направлений в исследованиях, предметно-функциональный статус которых определяется спецификой фрагментов содержательного мышления.

Структура современной логики включает:

1. базисную логику, в которую входят классическая логика и неклассическая логика;
2. металогику.

Логике свойственна экстенсивная (за счёт появления новых разделов и направлений, поиска новых приложений логических исчислений и так далее) и интенсивная (за счёт развития систематизации, всевозможных интерпретаций и так далее) тенденции развития. Это затрудняет её более точное структурирование.

Фундаментальную основу современной логики (классической и неклассической) составляют:

1. логика высказываний;
2. логика предикатов, строящаяся на основе исчисления высказываний и расширяющаяся путём добавления к системе кванторов и индивидных переменных;
3. модальная логика, строящаяся на основе логики высказываний и логики предикатов и расширенная путём присоединения к системе модальностей (модальных операторов).

Логика высказываний и логика предикатов составляют алгебру современной классической логики. Алгебра логики в её современной интерпретации занимается исследованием:

1. операций с высказываниями, то есть предложениями, характеризуемыми только одним свойством — истинностным значением (истина или ложь);
2. высказываний-функций, которые могут принимать значение «истина» или «ложь» в зависимости от значения переменной, входящей в высказывание-функцию.

Логика высказываний представляет собой логическую систему (исчисление), средствами которой осуществляется формализация рассуждений, основанных на истинностных отношениях между высказываниями, которые рассматриваются в отвлечении от их субъектно-предикатной структуры (вне их конкретного содержания). В ней определяются:

1. основные логические операции над высказываниями: конъюнкция (грамматический аналог — союз «и»), дизъюнкция («или»), импликация («если, то»), эквиваленция («если и только если»), отрицание («неверно, что»);
2. понятие правильно построенной формулы;
3. понятие логического вывода.

Логика предикатов представляет собой дальнейшее расширение алгебры логики. Она включает в себя всю логику высказываний и вводит новое логическое понятие — предикат (признак). Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, структурирует простое высказывание на субъект и предикат. Отношение между субъектом и предикатом может быть представлено в виде высказывательной формы «X есть P», в которой предикат становится функцией субъекта и выражает свойства субъекта. Например, предикату «быть основоположником логики» можно поставить в соответствие множество из одного элемента: Аристотель, при котором высказывание будет истинным, при других подстановках (Фреге, Рассел и другие) высказывание будет ложным. Данный предикат, являясь функцией от одной переменной P (x), называется одноместным. Двухместным предикатом является функция двух переменных P (x, y). Например: «Аристотель был современником Демосфена». Различают также n-местные предикаты. В логике предикатов даётся определение логических операций над предикатами (конъюнкции предикатов, дизъюнкции предикатов, отрицания предиката, импликации предиката, кванторные операции); вводится понятие формулы логики предикатов, задаётся алгоритм определения значения формулы, выявления общезначимости и выполнимости формул.

Модальная логика может быть только неклассической, так как является многозначной системой (по меньшей мере, трёхзначной).

Отдельные разделы современной логики используются для анализа различных философских проблем. Недостаток средств для адекватного формально-логического выражения той или иной проблемы приводит к разработке новых логических исчислений. Например, появление и дальнейшее развитие временной (темпоральной) логики было инициировано необходимостью анализа историко-философских текстов. А. Н. Прайор построил первую временную логику для анализа «главного аргумента» Диодора Кроноса, выдвинувшего аргументы против возможности отображения в понятийном мышлении движения, любого изменения, в частности, против толкования изменения как трансформации возможного в действительное. Исследования логических структур прескриптивных (предписывающих, нормативных) рассуждений в работах А. Хааса, К. И. Льюиса, Р. Тейлора, А. Д. Айера, Г. Кастенды, А. А. Ивина и других привели к созданию деонтической логики.

Важным разделом современной логики является металогика (см. Металогика), в которой исследуются различные проблемы, относящиеся к логическим теориям. Основными здесь являются вопросы о тех свойствах, которыми обладают логические теории: о непротиворечивости, полноте, наличии разрешающих процедур, независимости исходных дедуктивных принципов, а также о различных отношениях между теориями и так далее. В этом смысле металогика является своего рода саморефлексией логики относительно своих построений. Все метатеоретические исследования проводятся на специальном метаязыке, в качестве которого используется обычный естественный язык, обогащённый специальной терминологией и метатеоретическими дедуктивными средствами. Металогические исследования в современной логике выдвинулись на прагматический уровень. Прагматические исследования не имели никакого строго технического воплощения вплоть до 1959 года, когда Р. Монтегю начал реализацию проекта по изучению проблемы истины не только при определённой интерпретации (уровень семантического исследования), но и в определённой ситуации использования (уровень прагматики). В связи с развитием информатики, программирования и исследованиями в области искусственного интеллекта особую значимость обрели новые аспекты логики, определяемые её прикладным значением. Развитие компьютерных технологий и сетей потребовало соответствующего логического обеспечения: углублённого логического анализа естественных языков, разработки специальных языков для баз данных и для представления знаний.

Логическая методология является ещё одним разделом современной логики. Как правило, в системе научно-ориентированных дискурсов методологию (см. Методология) подразделяют на общенаучную, в рамках которой изучаются познавательные приёмы, применяемые во всех областях научного знания, а также методологию отдельных наук: методологию дедуктивных наук, методологию эмпирических наук, а также методологию социального и гуманитарного знания (см. Методология науки). Во всех этих разделах логическая методология участвует в качестве специфического аспекта исследования. Так, в общей методологии к числу логических аспектов относится исследование таких познавательных приёмов, как выработка и формулировка понятий, установление их видов и различных способов оперирования с понятийными конструкциями (деление, классификация — см. Классификация), определения терминов и так далее.

Наиболее значительные успехи достигнуты в области методологии дедуктивных наук. Это было обусловлено как построением самой логики в форме дедуктивного аппарата, так и использованием этого аппарата для обоснования такой дедуктивной дисциплины, как математика. Всё это потребовало разработки существенно новых познавательных методов и введения новых методологических понятий. В ходе проводившейся здесь работы удалось, например, так обобщить понятие функции, что оно перешло фактически в разряд общеметодологических, теоретико-познавательных понятий. Теперь появилась возможность рассматривать не только числовые функции, но и функции любой другой природы, что позволило сделать функциональный анализ языка ведущим методом исследования языковых выражений. Удалось со всей тщательностью и строгостью отработать такие важные методы познания, как метод аксиоматизации и формализации знания. Впервые удалось в чёткой и при этом разнообразной форме задать теоретико-доказательные (дедуктивные) методы познания, разработать теорию выразимости и определимости одних терминов через другие в составе теорий, определить различными способами понятие вычислимой функции.

В настоящее время активно разрабатывается логическая проблематика методологии эмпирических наук. К этой области относятся исследования по построению и проверке гипотез (в частности, гипотетико-дедуктивному методу), анализу различных видов правдоподобных рассуждений (индукции и аналогии), теории измерения. Здесь получены интересные результаты по вопросам соотношения эмпирического и теоретического уровней знания, процедурам объяснения и предсказания, операциональным определениям. Строятся различные модели эмпирических теорий, призванные прояснить их логическую структуру.

К числу общих методолого-логических принципов относятся и те законы и принципы познания, которые исследуются в рамках диалектической логики. Во многих случаях они выступают как некоторые предупредительные знаки о том, с какими неожиданностями возможно встретиться на пути познания. В области методологии эмпирического, а также социального и гуманитарного познания большое значение имеет различение абсолютной и относительной истины; в области исторического познания существенным становится требование о совпадении исторического и логического, что фактически означает обычное требование адекватности познания, перенесённое в сферу исторических дисциплин. В последнее время делаются попытки построения дедуктивных систем, в которых формализуются отдельные особенности диалектической логики.

Наиболее активное развитие современной логики происходит в сфере прикладной логики, объединяющей разработки и методы систематического использования логического аппарата для решения конкретных практических задач. При этом различаются отдельные направления прикладной логики и отдельные приложения логики. Для прикладной логики характерен акцент на систематичность и алгоритмизированность её методов и аппарата.

В XX веке активное развитие прикладной логики поначалу было связано с использованием аппарата алгебры логики (см. Алгебра логики) для проектирования контактно-релейных схем. Если вначале речь шла лишь о проектировании относительно простых электрических цепей, то впоследствии, с помощью этого аппарата и аппарата линейных логик, проектируются различные электронные микросхемы, имеющие высокую степень сложности. Стремительный рост числа областей, в которых используются микропроцессорная техника, и развитие элементной базы полупроводниковых устройств обогнали в определённый момент возможности их проектирования. Потребовалось развить соответствующие методы верификации таких устройств. Наиболее подходящим языком описания функционирования конечных автоматов послужила линейная временная логика. В настоящее время созданы и используются микропроцессоры, базовыми операциями которых являются элементарные логические выводы. Для понимания принципов их работы требуется знание первопорядковой логики. Эти процессоры используются преимущественно в интеллектуальных системах, требующих высокой скорости решения задач. В робототехнике используются микропроцессоры на базе нечёткой логики, так как она позволяет наиболее эффективно решать задачу управления движением различных механических устройств.

С появлением компьютеров, а затем и компьютерных сетей, значительно выросло число задач, для решения которых используется логика. Высокая сложность программ, выполняемых на компьютерах, потребовала разработки средств проверки их корректности. Это послужило толчком для активной разработки динамических логик. Как частный их случай стали разрабатываться и находить применение логики программ, которые возникли как один из видов динамических логик. Когда возникли задачи, связанные с разработкой средств их верификации и автоматического синтеза компьютерных программ, оказалось, что в современной полимодальной логике уже давно созданы необходимые математические средства. На семантическом уровне модальные операторы интерпретируются вычислительными операциями. Это позволяет корректно сформулировать предусловия и постусловия применимости процедур и функций. При таком подходе были построены логические аксиоматизации ряда языков программирования. Идеи интуиционистской логики и конструктивной логики, хотя и возникли задолго до появления первых компьютеров, в настоящее время также оказались востребованными. Реализованный в них принцип «существовать — значит, быть построенным» позволяет извлекать из доказательства существования некоторого объекта алгоритм его построения. Если мы можем доказать, что решение задачи существует, то мы можем и найти это решение. Алгоритм решения извлекается из структуры доказательства.

Объединение большого числа компьютеров в единые сети потребовало изучения условий их взаимодействия. Проблема заключалась в том, что каждый из компьютеров в этой сети хранит лишь небольшую часть совокупной информации. По каким правилам должен протекать обмен информацией в сети, чтобы взаимодействие было корректным? Для решения этой задачи используется многосубъектная эпистемическая логика. Такая же проблема возникла при построении многопроцессорных суперкомпьютеров, реализующих параллельные вычисления. В настоящее время для накопления и хранения разнообразной информации используются специальные программные системы, называемые базами данных. Чтобы накопленная информация была доступна для использования, необходимо уметь её извлекать. Для этого были созданы специальные языки запросов к базам данных. В основе таких языков лежит логика вопросов и ответов. Ни одна из существующих баз данных не является исчерпывающей, поэтому при построении ответа на запрос опираются не только на ту информацию, которая в явном виде хранится в базе данных, но и на отсутствие требуемой информации (например, если в базе данных не содержится явного указания, что из пункта A в пункт Б летают самолёты, — значит, авиационного сообщения между ними нет). Вопросы корректности такого рода выводов изучаются в немонотонных логиках.

Одним из подходов к написанию программ является логическое программирование. Стандартный процедурный подход определяет программу в виде последовательности действий, которые должен выполнить компьютер для решения конкретной задачи. Такой подход довольно трудоёмкий и имеет много недостатков. При подходе с точки зрения логического программирования достаточно лишь описать с помощью логически-ориентированного языка предметную область. Это и есть программа. Для её выполнения пользователь просто формулирует запросы к предметной области. Значительными преимуществами таких программ является их понятность и модульность. Наиболее известным языком логического программирования является Prolog (создан в 1971 году), основанный на языке предикатов математической логики. В нём ответ на запрос получается как побочный результат некоторого логического вывода. Интересным подходом в рамках логического программирования является семантическое программирование. В этом случае для ответа на запрос строится модель, выполняющая логическое описание предметной области и запрос к ней. В основе лежит уже не логический вывод, а процедура верификации формулы в модели. Возникновение этого языка дало мощный толчок для построения не только логических баз данных, но и баз знаний. Задача эффективного их использования потребовала создания новых типов компьютерных программ, получивших название экспертных систем. В зависимости от типа предметной области требуются различные способы рассуждений, в основе которых могут лежать вероятностная, нечёткая, многозначные, немонотонные и другие логики. Все они нашли применение в экспертных системах.

Однако далеко не все задачи могут быть решены по точным алгоритмам. Например, задача медицинской диагностики заболеваний выходит за рамки строгого описания. Тем не менее, особые алгоритмы решения таких задач существуют, и относятся они к области искусственного интеллекта. Вполне естественно, что значительная часть таких алгоритмов базируется на логике, которая в данном случае оказалась незаменимым инструментом. Как правило, системы искусственного интеллекта имеют базу знаний и механизм извлечения этих знаний с целью решения конкретных задач. Иногда говорят также о рассуждениях над базами знаний, поскольку считается, что решение задачи должно получаться в результате некоторого рассуждения, быть его продуктом. Для задания баз знаний и рассуждений над ними используется логика. Интересно то, что, в зависимости от типа предметной области, приходится использовать различные формализованные языки и различные правила логического вывода.

На протяжении длительного времени логика была обязательной дисциплиной университетского образования, то есть выполняла свою общекультурную задачу — пропедевтики мышления. Современная логика в полном объёме сохранила за собой эту дидактическую и учебно-методическую функцию. Однако развитие в последнее время мощного аппарата современной логики позволило ей стать и важной прикладной дисциплиной. Так, существенное использование логики отмечается в области оснований математики (метаматематики), лингвистики и информатики. Исследования в этих областях знания оказали определяющее воздействие и на становление самой современной логики, в силу чего можно говорить о значительном взаимовлиянии этих дисциплин. В последнее время логическая проблематика активно проникает и в иные сферы знания. Всё это указывает на идущий процесс логизации знания, который с течением времени будет усиливаться.

Недедуктивные рассуждения в логике

С развитием естественных наук и методов научного анализа, эпистемологических исследований, а особенно с появлением в последние десятилетия работ в области искусственного интеллекта, всё большее значение стали приобретать всевозможные недедуктивные рассуждения, или, в более узком смысле, приближённые (defeasible) рассуждения, которые поддаются логической формализации. В недедуктивных рассуждениях истинность посылок обеспечивает получение заключения, хотя возможно, что заключение окажется ложным. Зачастую это происходит при поступлении новой информации. Самыми известными классами подобных рассуждений являются вероятностные рассуждения, индуктивные рассуждения и немонотонные рассуждения.

Философы изучали природу подобных рассуждений, начиная с аристотелевского анализа диалектических рассуждений в «Топике». Исторически наиболее значительным трудом в этой области является книга Дж. С. Милля «Система логики», изданная в 1843 году. В ней отвергается силлогистика Аристотеля и предлагается новая парадигма получения знания: не «от всеобщего к частному» (дедуктивные рассуждения), а «от частного к всеобщему» (индуктивные рассуждения). В 1902 году Ч. С. Пирсом вводится третий вид рассуждений — абдуктивные рассуждения: «от наиболее приемлемой информации к наилучшему объяснению». Эти рассуждения становятся важным компонентом научного метода.

Кризис логического позитивизма в середине XX века привёл к отказу от рассмотрения физического мира как логической конструкции, состоящей из фактов о чувственных данных. Взамен был предложен новый взгляд на взаимоотношение между чувственным восприятием и внешним миром. Р. Чизхолм, начиная с 1957 года, стал развивать теорию, что чувственные явления дают хорошие, но приближённые рассуждения для веры в соответствующие факты о физическом мире.

Начиная с 1967 года идеи Чизхолма были развиты Дж. Л. Поллоком, утверждавшим, что на основании всех фактов, которыми мы располагаем, заключение считается обоснованным, если оно подтверждено не опровергнутым рассуждением, чьи посылки основаны на этих фактах. Всё это стало играть важную роль в современной эпистемологии не только в отношении к чувственному знанию, но также в отношении к другим источникам знания: к памяти, воображению и даже к свидетельствам. С пионерской работы Дж. М. Маккарти и П. Дж. Хэйса «Некоторые философские проблемы с точки зрения искусственного интеллекта», вышедшей в 1969 году, началась эра развития логических систем для искусственного интеллекта. В этой работе был развит формальный язык под названием «исчисление ситуаций» для применения в экспертных системах, пытающихся моделировать изменения и взаимосвязи среди области объектов и действующих лиц. Впоследствии Маккарти вводит логический принцип очерчивания (circumscription): предположение о том, что реальная ситуация настолько свободна от ненормальностей и странностей, насколько позволяет предположить наше знание данной ситуации.

В 80-е годы XX века появляются различные системы приближённых рассуждений для применения в системах искусственного интеллекта: логики умолчаний, немонотонных модальных логик, автоэпистимических логик (моделирующих чисто интроспективные рассуждения), формализации оператора «всё, что я знаю». Однако даже в формализованных системах приближённых рассуждений возникают серьёзные проблемы с теоремой дедукции, с понятием отношения логического следования, а вопрос о теореме адекватности зачастую вообще не ставится, поскольку класс истинных высказываний не является рекурсивно перечислимым. В итоге, главной функцией логики, используемой в искусственном интеллекте, является следующее: логика не говорит о том, как человек рассуждает, а лишь указывает, как следует правильно рассуждать и как не следует рассуждать; то есть логика здесь носит нормативный характер.

Основные проблемы логики

Первая проблема логики состоит в том, что считать границами логики. Уже ограничительные теоремы К. Гёделя и А. Тарского говорят о том, что если мы стремимся сохранить свойство дедуктивной полноты и положительное понятие истинного высказывания, то мы должны ограничиться первопорядковой логикой QL. Только в 1969 году П. Линдстрем дал характеризацию QL в терминах её глобальных теоретико-модальных свойств, которыми являются компактность и наличие несравнимых моделей (теорема Левенгейма — Скулема). Эта работа стала образцовой для наиболее важных исследований в логике последней четверти XX века. Ограниченность выразительность средств QL очевидна: она не может дать определение натурального числа, не отличает конечного от бесконечного, счётного от несчётного. К тому же оказалось, что многие лингвистические понятия и дистинкции выходят далеко за сферу применения QL. Поэтому стала применяться квалификация по множествам объектов и самим предикатам; то есть вводятся новые кванторы, а также допускаются инфинитарные языки. Однако как бы мы не расширяли QL, в любом случае теряется или свойство компактности, или свойство Левенгейма — Скулема, или оба вместе. Дедуктивная полнота пропадает. В результате, в конце XX века стал обсуждаться вопрос о границах логики, о том, что считать логическими операциями, логической системой и, вообще, что есть логика, поскольку расширение QL ведёт к тому, что вся, или почти вся, математика становится частью логики.

Вторая проблема касается соотношения логических систем с реальным миром. Если здесь есть связь, то весьма отдалённая и пока не выясненная. Современное исследование самих логических систем приобретает всё более абстрактный характер. С одной стороны, интерес представляют уже не отдельные логические системы, какими бы богатыми возможностями они ни обладали (классическая логика, интуиционистская логика, отдельные модальные логики и другие), а классы логик, зачастую континуальные и упорядоченные решёточным образом. Изучаются свойства этих решёток. С другой стороны, логика всецело имеет дело с классами структур и с некоторыми условиями замыкания на этих структурах. Тогда главным становится определимость классов структур в некоторой логике, их связи и сравнение, например определимость топологической структуры.

Вероятно, больший смысл имеет вопрос об алгебраических структурах, которые соответствуют логическим исчислениям. А. Тарский в 1935 году детально определяет связь между булевой алгеброй и классическим пропозициональным исчислением, основываясь на оригинальной идее А. Линденбаума (1926), получившей название «алгебры Линденбаума». В середине XX века Л. Хенкином, Р. Сикорским, Е. Расевой и другими было осознано, что этот метод может быть применён и к прочим логикам. В 1989 году В. Блоком и Д. Пигоцци понятию «алгебраизуемая логика» даётся точное математическое определение. Внутренним свойством логики, делающим её алгебраизуемой, является (обобщённая) теорема адекватности. В итоге, в конце XX века появился термин «абстрактная алгебраическая логика», а соответствующие алгебраические представления были найдены и для силлогистики, и для логики предикатов. Булева алгебра есть результат алгебраизации классической логики высказываний. Если в последней при доказательствах применяется правило modus ponens, то в алгебраических доказательствах в тождествах вместо одних терминов подставляются другие термины. По сути, эти два способа рассуждений эквивалентны, но именно логический способ ставит фундаментальную проблему: насколько дедуктивная логика соответствует тому, как человек на самом деле рассуждает? Современная дедуктивная логика является максимальным упрощением и сильным огрублением умственных операций человека, всего лишь некоторой конструкцией, слишком отдалённой от реальных процессов человеческих рассуждений. Однако эта конструкция весьма эффективно работает. В середине 30-х годов XX века было обнаружено, что логика, основанная на принципе двузначности, имеет прямое отношение к работе переключательных электрических схем (В. И. Шестаков, К. Шеннон, А. Накасима), и в дальнейшем она легла в основу проектирования микросхем для электронной цифровой техники. Дополненное характеризацией вычислимости, предложенной А. Тьюрингом, А. Чёрчем и К. Гёделем, это открытие привело в середине XX века к созданию компьютеров. В течение последних десятилетий многие теоретические идеи автоматического доказательства были воплощены в компьютерных программах — так называемых пруверах. Эти программы осуществляют поиск выводов в различных логических исчислениях. Таким образом, отношение логического следования было симулировано этими программами (алгоритмами). Так, в 1970-е годы появился термин «компьютерная логика». Однако между компьютерным доказательством и доказательством человека лежит целая пропасть; к преодолению этой пропасти отчасти ведёт проект создания искусственного интеллекта.

В настоящее время активно дискутируется следующая проблема: может ли логика действительно стать основанием искусственного интеллекта? И если да, то какая логика? Здесь имеются серьёзные трудности. Во-первых, логическая дедукция является дискретным процессом, чего нельзя однозначно сказать о человеческом мышлении. Во-вторых, вычислительные способности человека намного «сложнее» машины и, главное, человек оперирует абстрактными объектами, чего нет в компьютерной логике. Наконец, обнаружение Гёделем абсолютно неразрешимых арифметических предложений, то есть таких, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, говорит о существенном ограничении вычислительных возможностей машин. Зачастую утверждается, что человек использует такие процедуры (методы вычисления), которые не могут быть смоделированы машиной Тьюринга (теоретическим аналогом современного компьютера). Однако проблема заключается в том, чтобы представить в явном виде примеры подобных вычислительных процессов. Если идеальный человек есть машина Тьюринга, то он не сможет знать, которой из машин Тьюринга он является (в силу тезиса Чёрча — Тьюринга все машины Тьюринга эквивалентны). Отсюда возникает классическая проблема о границах человеческого познания и снова о границах логики. Тем не менее, обсуждение этих теоретических проблем не помешало исследователям, начиная с 1959 года, приступить к разработке «логики здравого смысла» (термин Дж. Маккарти) как основы для систем искусственного интеллекта. В качестве основной ставится задача формализации обыденных рассуждений, возникающих при обсуждении и решении каждодневных проблем. Свойство монотонности дедуктивных рассуждений, при котором, если Ф следует из множества посылок Г, то Ф следует из любого непротиворечивого расширения Г, является главным препятствием для достижения этой задачи.

Кризис логики и проблема её оснований

В последнее время остро ставится вопрос об основаниях логики, в связи с чем в западной литературе интенсивно обсуждаются следующие проблемы:

1. Что есть логическое следование?
2. Что есть логические понятия и операции с ними?
3. Что есть логическая система?
4. Что есть логика?

Ровно через сто лет после выхода в свет широко известной работы Г. Фреге «Исчисление понятий» (1879), где вводится идея формальной системы, в которой демонстрации должны осуществляться посредством явно сформулированных синтаксических правил, — после ста лет триумфального развития логики как самостоятельной науки, вдруг появляется статья Я. Хэкинга под названием «Что есть логика?» (1979). Эта статья положила начало целому ряду работ с аналогичным названием. Необычное многообразие логических систем, порождаемое, с одной стороны, серьёзной критикой «основных» и не только основных законов логики, с другой стороны, почти неограниченное расширение понятия логической истинности, или даже отказ от этого понятия, различные спецификации понятия логического следования, безуспешные попытки смоделировать хотя бы зачатки искусственного интеллекта и дискретный характер всевозможных вычислительных устройств, в том числе компьютеров, — всё это постепенно привело к выводу о кризисе логики. И не только это. Было обращено внимание и на крайне малую эффективность преподавания логики (когда даже простейший метод истинностных таблиц вызывает непреодолимые препятствия), а там, где логика вообще не преподаётся (например, для физиков и биологов), или очень ограничено (например, для математиков), — это нисколько не мешает их выдающейся интеллектуальной деятельности.

Попытки определения некоторых оснований логики, пусть это будет «минимальная» логика (А. Чёрч, Х. Карри и другие) или «базисная» логика (Г. Баттилотти и Г. Самбин; П. Хаек), или «абстрактная» логика (Д. Браун и Р. Сушко), или «универсальная» логика (Ж. Безье), и тем более логика Я. Хинтикки с независимыми кванторами, — всё это упирается в серьёзную проблему допущений, на которых основывается исходный базис. Например, здесь под абстрактной логикой понимается пара (A, C), где A есть абстрактная алгебра, а C есть абстрактная операция присоединения следствий. Один из выходов из создавшегося положения предложен В. И. Шалаком (2010), который выделяет некоторое протологическое ядро, которое априорно лежит в основе человеческих рассуждений и не основывается ни на каких допущениях. Для этого необходимо вначале выделить ту естественную среду, которая априорно детерминирует некоторые исходные (прото) схемы рассуждений. Такой средой является естественный человеческий язык, в котором оформляются все полученные знания. Но при этом «мы должны отвлечься от всякой специфики конкретных языков (будь-то греческий, санскрит, китайский, арабский, английский, русский и так далее) и взглянуть на них лишь как на абстрактные знаковые системы». Только при таком подходе мы можем подойти к построению логики, освобождённой от всяческих онтологических и эпистемологических допущений. Исходя из этого вводится понятие протологического следования: из посылок Σ = {B1, …, Bn} протологически следует выражение A, если и только если существует правило R, позволяющее на основании значений посылок Σ определить значение выражения A. Далее строится протологика — система правил знаковых преобразований — аналогов логических умозаключений.

Протологику можно представить как пару, где имеется множество абстрактных знаков, структурированное операцией взятия в скобки. Дедукция осуществляется с помощью следующих трёх правил:

1. правила введения констант;
2. правила построения термов;
3. правила замены на основе ранее принятых определений.

Оказалось, что протологика в строго определённом смысле полна относительно комбинаторной логики и лямбда-исчисления Чёрча, а это означает ни много, ни мало, что в протологике выразимы все эффективно вычислимые функции. Многие математические объекты оказались имплицитно содержащимися в абстрактных языковых структурах. Таким образом, нет ничего удивительного в том, что пространственно разделённые культуры приходили к одним и тем же вычислительным математическим структурам. Им для этого не требовалось никакой развитой логики, а требовалось всего лишь владение собственным языком. Вычислимость — главное свойство протологики. В итоге, получается реализация программы Лейбница: рассуждения заменяются вычислениями.

В целом это объясняет многое, но не всё. По существу получается ещё одно подтверждение того, что рассуждения человека происходят в рамках тезиса Чёрча — Тьюринга. Это не объясняет такие феномены как озарения, вспышки сознания, гениальные выводы, противоречащие всему, что было сделано до этого, и тому подобные. Следовательно, существуют другие логические процессы, которые в отличие от логической дедукции, являющейся дискретным и конечным процессом, основаны на восприятии бесконечности, которая схватывается мгновенно, что в пошаговом рассуждении недоступно. Недавно Р. Пенроуз и другие исследователи аргументировали, что есть человеческие процедуры (методы вычисления), которые не могут быть смоделированы машиной Тьюринга. Но если сила человеческого разума превосходит любую машину, тогда он каким-то образом постигает истину, не доступную машине. Так считал и К. Гёдель в своих неопубликованных работах.