Логика модальная

Модальная логика — это раздел формальной логики (см. Логика формальная), в рамках которого изучаются логические операторы, называемые модальностями. В качестве стандартных обычно используются [алетические] модальности типа «необходимо» и «возможно». К модальным операторам в настоящее время относят большинство операторов, с помощью которых удаётся учитывать степень истинности утверждаемого, хотя с учётом их специфики и выделяют разделы логики, их изучающие, внутри модальной логики. Примерами таких разделов являются временная логика (операторы «всегда будет», «всегда было» и «когда-нибудь будет», «когда-то было»), логика знаний («агент n знает»), логика доказуемости («в данной теории доказуемо»), динамическая логика («после выполнения программы n») и многие другие. Такое расширение предметного поля изучения в модальной логике связано с тем, что в этих специфических разделах используются сходные идеи и методы, изначально применявшиеся, как правило, к классическим модальным операторам «необходимо» и «возможно». В то же время эти частные разделы модальной логики имеют многочисленные приложения в конкретных областях знания, например, в философии, в основаниях математики, в теоретических основаниях информатики и их практических применениях, в когнитивных науках, лингвистике и других.

Первые правила обращения с модальными операторами были сформулированы Аристотелем, который, наряду с ассерторическими силлогизмами ввёл в обращение модальные силлогизмы, где хотя бы одна из посылок является высказыванием типа «A необходимо принадлежит B», «A возможно принадлежит B». При этом необходимое Аристотель не считал возможным. В целом, модальная силлогистика Аристотеля неоднозначно истолковывается исследователями и имеет сейчас лишь историческое значение. Следующий шаг в развитии модальной логики сделал ученик Аристотеля Теофраст, который стал относить модальность к высказываниям в целом, а не к отдельным понятиям. Кроме того, он принял тезис: всё необходимое возможно, что открыло дорогу к определению возможности через необходимость: «возможно A» эквивалентно «не необходимо не-A». В Средние века произошло разделение модальностей на модальности de dicto (о речи), относящиеся к высказыванию в целом, и модальности de re (о вещи), относящиеся к свойствам.

По-настоящему точно аксиоматически системы модальной логики были сформулированы К. И. Льюисом в первой половине XX века и названы им системами исчислений S1 — S6. Множественность модальных систем связана с тем, что классические модальные операторы в разных контекстах понимаются по-разному, то есть существуют разные «необходимо» и «возможно», и поэтому они не могут быть описаны заданием одной лишь системы: формулируя модальную систему, мы фиксируем одно из возможных пониманий этих операторов. Характерным примером могут служить его исчисления S4 и S5 (в трактовке К. Гёделя). Эти исчисления строятся как расширения классической логики высказываний (см. Логика высказываний) и классической логики предикатов (см. Логика предикатов). Язык логики пополняется модальным оператором □ (необходимо), действующим на предложения языка. Оператор возможности ◊ вводится как сокращение для ¬ □ ¬. Определение формулы пополняется пунктом: если A — формула, то □A — тоже формула.

Аксиоматику пропозиционального модального исчисления получаем, добавляя к аксиомным схемам и правилам вывода классической логики высказываний модальную схему аксиом □ (A ⊃ B) ⊃ (□A ⊃ □B) и правило вывода: «если доказуемо A ⊃ B, то доказуемо □A ⊃ □B» (правило C). Это пропозициональное модальное исчисление C2. Заменив правило C более сильным правилом вывода: «доказуемо A → доказуемо □A» (правило Гёделя) и добавив к C2 одну из аксиомных схем □A ⊃ A, □A ⊃ □□A, ¬ □A ⊃ □ ¬ □A, получаем пропозициональные модальные исчисления Т, S4 и S5 соответственно. С этими исчислениями не возникает никаких принципиальных проблем.

Совершенно иная ситуация возникает, если эти «модальные приставки» добавлять к классической логике предикатов, поскольку в предикатных модальных контекстах может нарушаться закон подстановочности тождественных ∀x∀y (x = y ⊃ (F (x) ⊃ F (y)). К примеру (пример В. Куайна), утверждение «необходимо, что 9 больше 7» и его экзистенциальное обобщение «∃x такой, что необходимо, что x больше 7» верно, если x есть 9 и 9 есть натуральное число, но неверно, если x есть 9 и 9 есть число планет.

Согласно Куайну, вхождение переменной x в открытую формулу «необходимо, что x больше 7» референциально неясно, поскольку нельзя гарантировать, что, будучи связанной, переменная x именует в точности один объект. Поэтому модальная логика предикатов требует некоторого изменения принципов, на которых построена немодальная стандартная теория квантификации. В частности, экзистенциальное обобщение в модальных контекстах должно основываться на следующем правиле: ∃-квантификация открытого предложения справедлива, если, и только если, имеется замкнутый терм, подстановка которого на место переменной квантификации приводит к истинному предложению. Соответственно подстановочность тождественного имеет место, если, и только если, взаимозаменяемые термины являются синонимами. Принятие такого принципа в теории квантификации ведёт к так называемой подстановочной интерпретации кванторов, в отличие от стандартной, или объектной, их интерпретации. В стандартной интерпретации значениями связанных переменных являются объекты универсума, в подстановочной — термины языка. Подстановочная теория ничего не говорит о существовании или несуществовании объектов; она исследует лишь определённые отношения между утверждениями языка. Все истины теорий подстановочного типа являются в общем случае лингвистическими, и их использование для описания конкретных ситуаций требует дополнительных допущений о характере универсума (множестве объектов, допустимых в данной ситуации). Ещё один способ обоснования квантификации в модальных контекстах основан на допущении, согласно которому значениями связанных переменных в модальных контекстах являются не объекты и не термины, а смыслы, то есть определённые способы понимания объектов. При этом одному и тому же объекту могут соответствовать различные смыслы.

С учётом этих разъяснений становится понятным, что, хотя чисто технически нет никаких препятствий к построению предикатных модальных исчислений С 2, Т, S4, S5 посредством указанных выше «модальных приставок», в этих исчислениях (за исключением S5) нельзя гарантировать безусловного выполнения принципа подстановочности тождественного. Поэтому поступают следующим образом: помимо предикатных исчислений С 2, Т, S4 строятся исчисления ВС 2, ВТ, BS4, которые отличаются от С 2, Т, S4 введением дополнительной аксиомной схемы, известной как формула Баркан: ∀x □ A (x) ⊃ □∀хA (x) (в S5 эта формула является теоремой). Принцип подстановочности тождественного строго выполняется в ВС 2, ВТ, BS4, S5. В модальных предикатных исчислениях с равенством («модальная приставка» присоединяется в этом случае к классическому исчислению предикатов с равенством) для обеспечения подстановочности тождественного должно выполняться условие ∀x∀y (x = y ⊃ □ (x = y).

Содержательные трудности возникают и в связи с самой «модальной приставкой». Исчисления с правилом Гёделя и аксиомной схемой □A ⊃ A называются нормальными, то есть соответствующими содержательным стандартам логической необходимости: всякая теорема логически необходима (логически истинна) и всякое необходимо истинное утверждение истинно. Все остальные исчисления не считаются нормальными, и для них отдельно должны быть указаны смыслы, в каких они используют операторы необходимости и возможности. Ниже представлены некоторые возможные смыслы этих операторов, отличные от указанного выше «алетического» смысла □ и ◊:

• □ означает доказуемость, а ◊ — непротиворечивость (интуиционистские модальности, не исключающие, впрочем, существования специальной логики доказуемости).
• □ означает обязательность в смысле необходимости соблюдения норм, а ◊ — позволение, или отсутствие запрещения (деонтические модальности).
• □ означает приемлемость эмпирической гипотезы, а ◊ — её неотвергаемость (индуктивные модальности).
• □ означает «везде» или «всегда», а ◊ — «кое-где» или «иногда» (пространственно-временные модальности).
• □ означает «знаю, что», а ◊ — «не знаю не» (эпистемические модальности). Существенно, что этот список потенциально неограничен (то есть он ограничен только нашей изобретательностью, а не существом дела).

Синтаксические характеристики операторов □ и ◊ во всех этих случаях должны быть различными. Например, для деонтических модальностей не проходит аксиомная схема □A ¬ ⊃ A, поскольку нормы могут быть нарушены. Вместо неё должна использоваться аксиомная схема □A ⊃ ¬ □ ¬ A (обязательная норма допустима).

Следует отметить, что льюисовские модальные системы изначально не имели точной семантики, и, более того, было доказано, что они не являются конечно-значными, то есть не могут быть описаны с помощью таблиц истинности с конечным числом истинностных значений. (Хотя почти одновременно с К. И. Льюисом модальные системы как конечно-значные логики строил Я. Лукасевич, но его системы не получили развития в описываемом разделе логики.) С другой стороны, начиная с середины XX века, были найдены адекватные алгебраические семантики для модальных систем, которые позволили решить многие задачи, связанные с этими системами. Для большинства конкретных систем были доказаны: их финитная аппроксимируемость, то есть найдено их представление как пересечение конечно-значных логик; разрешимость, то есть наличие алгоритма, выясняющего по произвольной формуле, является ли она выводимой в этой системе, и многие другие. При этом адекватная алгебраическая семантика существует практически для любой модальной системы. Однако эта семантика лишена содержательного смысла, что, помимо прочего, лишает возможности уточнения вопроса о правильности выбора модальных аксиом и правил вывода в соответствии с избранным пониманием модальных операторов.

Таким образом, для модальных исчислений остро встала проблема их формальной интерпретации: построение адекватной им формальной семантики, в которой:

• каждая формула исчисления является либо истинной, либо ложной;
• каждая доказуемая формула истинна (непротиворечивость исчисления);
• каждая истинная формула доказуема (полнота исчисления);
• установлена тесная связь с содержательной семантикой.

Первый шаг был сделан Р. Карнапом. Используя идеи Г. В. Лейбница о возможных мирах (см. Возможные миры), он строит семантику на основе множества описаний состояния (положений дел, характеризуемых средствами языка, или «возможных миров»). Высказывание «A возможно» семантически характеризуется им как «A истинно хотя бы в одном описании состояния (возможном мире)» и высказывание «A необходимо» как «A истинно во всех описаниях состояния (возможных мирах)».

Следующий шаг связан с именем С. Крипке. Он отказался от обязательного представления возможного мира в виде описания состояния, зависящего от структуры логического языка. Такое представление сохраняется только в канонических моделях (максимально непротиворечивых множествах), тогда как в общем случае возможный мир — это просто элемент произвольного непустого множества (возможных миров). При этом допускается возможность существования изолированных элементов такого множества (элементов, не связанных ни с какими другими элементами множества).

Для формального выражения указанной идеи Крипке вводит отношение достижимости — некоторое бинарное отношение R, определимое на множестве возможных миров. Пусть a и b — возможные миры. Тогда, если имеет место aRb, то эти миры связаны: из мира а можно достичь мира b. В противном случае это оказывается невозможным. Формальные семантики для различных исчислений различаются теперь только свойствами отношения R. Так, чтобы получить адекватную семантику для S4, достаточно предположить, что отношение R рефлексивно и транзитивно. Если дополнительно предположить симметричность этого отношения, то получим адекватную семантику для S5. В этом последнем случае каждый возможный мир достижим из каждого, и надобность в специальном отношении достижимости отпадает. Предложенная Карнапом формальная модальная семантика соответствует этому частному случаю и годится, следовательно, только для S5.

Далее, для каждой предикатной модели каждый мир w из множества возможных миров W, на котором определено бинарное отношение достижимости R, характеризуется непустым множеством D_w индивидов, существующих в этом мире. Существует также выделенный элемент w*, называемый действительным миром. Для разных w множества D_w могут быть разными. С этой точки зрения понятно, почему принцип подстановочности тождественного и экзистенциальное обобщение требуют ограничений в модальных контекстах. Если индивидные константы или переменные находятся в сфере действия модального оператора, то они могут обозначать один и тот же индивид в действительном (выделенном) мире, но различные индивиды в других возможных мирах (а в каких-то мирах ничего не обозначать). Поэтому, чтобы указанные принципы были применимыми в модальных контекстах, каждый входящий в этот контекст индивидный символ должен обозначать один и тот же объект во всех мирах, связанных с данным миром отношением R.

Быстрый рост числа модальных исчислений в 1970–1980-е годы поставил вопрос о создании более общей и более богатой по своим возможностям формальной семантики, чем семантика Крипке. Один из путей создания такой семантики связан с именем З. Стахняка. Его основная идея элегантна и проста, хотя её реализация технически может быть очень сложной. Семантика Крипке является теоретико-множественной. Каждый «возможный мир» есть просто лишённый внутренней структуры элемент некоторого множества, которому (элементу) в предикатных интерпретациях приписано ещё одно множество — множество индивидов, допустимых в этом мире. Вся её изобразительная сила определяется поэтому только свойствами отношения R. Если удастся наделить и сами элементы внутренней структурой, то изобразительная мощь формальной семантики резко возрастёт. Для реализации этой идеи Стахняк использовал сочетание алгебраических и теоретико-множественных подходов. На исходном множестве, рассматриваемом в качестве алгебраического объекта, можно построить вторичное множество алгебраических структур (например, ультрафильтров). На новом множестве процесс можно повторить, получая множество элементов с более богатой структурой, а затем построить на нём отношение достижимости R. Тем самым мы получаем семантику возможных миров (см. Семантика возможных миров), в которой в отличие от семантики Крипке элементы базисного множества могут быть наделены сколь угодно сложной внутренней структурой. Такого рода формальная семантика обладает высокой изобразительной силой. Её можно использовать не только для интерпретации существующих модальных исчислений, но и для построения новых модальных исчислений, обладающих наперёд заданными желательными семантическими свойствами. Фактически впервые появилась возможность того, что современная формальная логика может быть использована не только и даже не столько в качестве преимущественного средства для построения оснований математики, как это повелось со времён Д. Гилберта, сколько в качестве метода построения оснований любой области научного знания.

К настоящему времени исследования в модальной логике на пропозициональном уровне (на уровне логики высказываний) весьма продвинуты и вширь, и вглубь. Кроме исследований свойств конкретных модальных систем — их полноты относительно того или иного вида семантики, выразительности языка в этой семантике, финитной аппроксимируемости, разрешимости синтаксических свойств типа интерполяционного свойства и свойства дизъюнкции и многого других — значительный прогресс достигнут в описании классов логик и их свойств. В частности, практически все естественные классы модальных систем оказались имеющими континуальную мощность (то есть в них систем столько же, сколько действительных чисел), и устройство этих классов является довольно сложным; с другой стороны, созданы инструменты получения модальных систем с заданными свойствами и инструменты исследования создаваемых систем.