Логика символическая

Символическая логика — это раздел формальной логики (см. Логика формальная), в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «символическая логика» впервые применил для обозначения нового этапа в развитии логики (см. Логика) английский логик Дж. Венн, опубликовавший в 1881 году под таким названием книгу. Наряду с термином «символическая логика» в настоящее время широко используется также термин «математическая логика» (см. Логика математическая). Хотя эти два термина часто отождествляются, термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», подразумевающего изучение только тех типов логических рассуждений, которыми пользуются математики.

Принято считать, что символическая логика — следующая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов, и исследующая мышление с помощью исчислений. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии (см. Философия). Новые методы дали логике такие преимущества, как высокая точность формулировок, возможность изучения более сложных, с точки зрения логической формы, объектов. Многие проблемы, исследуемые в символической логике, вообще невозможно было сформулировать с использованием только традиционных методов. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном (формализованном) языке. Такие точные языки имеют две составляющие: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Уже в Античности (в частности Аристотелем) широко применялись буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в XVII веке Г. В. Лейбницем. Однако только к середине XIX века стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, значительные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа, основоположником которой можно считать А. де Моргана, который в 1847 году опубликовал книгу «Formal Logic; or The Calculus of Inference, Necessary and Probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля. В 1847 году он публикует брошюру «Mathematical Analaysis of Logic», а в 1854 — свой главный труд по логике «An Investigation into the Laws of Thought, on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулём, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 годов можно считать началом алгебры логики (см.  Алгебра логики ), первоначальный этап развития которой был завершён Э. Шрёдером в трёхтомной монографии «Vorlesungugen uber die Algebra der Logik» (1890–1905).

С другой стороны, возникновение и развитие символической логики связано с работами Г. Фреге и Ч. С. Пирса. После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 году ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем символической логики в её современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в «Begriffsschrift» (лучшая книга по символической логике XIX века) изобрёл символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (например, формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов. Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов. Кроме этого для исчисления предикатов Фреге даёт строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны итальянским математиком Дж. Пеано, чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его широко известный труд «Formulaire de mathématiques», опубликованный (в соавторстве) в 1894–1908 годах, был нацелен на развитие математики в её целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А. Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их широко известной трёхтомной работе «Principia Mathematica» (1910–1913), а затем воспринята Д. Гилбертом. Таким образом, был введён в употребление символический язык, где появляются логические знаки:

• отрицания: ¬
• конъюнкции: &
• дизъюнкции: ∨
• импликации: ⊃
• кванторов всеобщности: ∀
• кванторов существования: ∃

Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке XIX века возникла потребность в символической логике. В первую очередь это было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость пятого постулата Евклида из остальных постулатов и аксиом в его геометрии. Только с развитием символической логики появился аппарат, позволяющий решать проблему независимости аксиом данной теории чисто логическими средствами.

Основным стимулом развития символической логики в начале XX века была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Таким образом, вся математика сводилась к теории множеств. Однако в 1902 году математический мир был потрясён простотой и глубиной парадокса, обнаруженного Расселом в первом томе «Оснований арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik) Фреге (основной закон V).

Ответом на этот и на другие парадоксы теории множеств стало возникновение четырёх направлений в основаниях математики:

1. Логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество).
2. Интуиционизм (нужна новая логика).
3. Теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств).
4. Формализм (программа Гилберта).

Как отмечает Э. Мендельсон: «Какой бы мы, однако, не избрали подход к проблеме парадоксов, следует сперва исследовать язык логики и математики, чтобы разобраться в том, какие в ней могут быть употреблены символы, как из этих символов составляются термы, формулы, утверждения и доказательства, что может и что не может быть доказано, если исходить из тех или иных аксиом и правил вывода. В этом состоит одна из задач математической логики» (Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е издание. — М., 1984, с. 11).

Развитие и применение мощного технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Гилберта (начиная с 1904), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства её непротиворечивости, то есть доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида A вместе с формулой ~А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств, после чего, считал Гилберт, используя только финитные методы, можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и таким образом решить проблему оснований математики.

Однако результат К. Гёделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гилберта невыполнима. Эта теорема утверждает, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S, то есть всякое такое доказательство обязательно должно использовать невыразимые в теории S идеи и методы (вторая теорема о неполноте). Примером тому может служить доказательство непротиворечивости арифметики, предложенное Г. Генценом (1936).

Обширным полем деятельности для современной символической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула A из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости послужило основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча–Тьюринга, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, стало наиболее важным достижением символической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.

И наконец, важное место в современной символической логике занимает теория моделей, которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула A не может быть дедуцирована из определённого множества постулатов или, если A есть аксиома, то показать недоказуемость A из остальных аксиом системы, к которой A принадлежит (если это возможно). Тогда A является независимой аксиомой.

Совершенно очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами символической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. Так, в предисловии к «Handbook of Mathematical Logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD–1998), уже применительно к символической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью символической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гилберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «символическая логика» гораздо шире термина «математическая логика», где под последней понимается изучение тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к символической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно.

Особенное свойство символической логики заключается в том, что она является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь это результаты Гёделя (1930) о непротиворечивости и полноте чистой логики, то есть логики предикатов. Поэтому последняя, будучи весьма богатой по своим выразительным средствам, и лежит в основе большинства теорий. Но средствами этой же логики доказано, что любая достаточно богатая теория, включающая всего лишь арифметику или даже часть её, неполна, то есть в ней есть утверждение, которое нельзя ни доказать, ни опровергнуть (первая теорема Гёделя о неполноте, 1931). Более того, неполнота арифметики принципиальна, то есть подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии революционен, так как поставлен вопрос о самом статусе математики: может ли она основываться на глубоко скрытых противоречиях? Но более того, рефлексия чистой логики над собой достигла к концу XX века критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики. Дело в том, что в отличие от математики, рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов неклассических логик. О единстве символической логики не может быть и речи, столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик. Происходит структурализация исходных понятий логики и семантики, а именно структурализация самих истинностных значений и точек соотнесения в семантике возможных миров в виде различных алгебраических структур. Что приписывается высказыванию? Чем является высказывание? Что собой представляют логические операции над этими высказываниями? Это становится всё большей проблемой. Возникает вопрос об иерархии, взаимоотношениях и классификации всех этих логик (что сделать невозможно) или хотя бы их определённых классов. Становится всё более ясным, что компьютеры, в основе которых лежит классическая логика, какой бы вычислительной мощностью они не обладали, никогда не приблизятся к логике человека, создавшего эти компьютеры. Все эти проблемы уже принадлежат XXI веку.