Логика нечёткая

Нечёткая логика — это раздел многозначной логики (см. Логики многозначные), который базируется на обобщении классической логики (см. Логика) и теории нечётких множеств, предложенной американским математиком Лютфи (Лотфи) Заде (Lotfi A. Zadeh) для формализации нечётких знаний, характеризуемых лингвистической неопределённостью. Основы теории нечётких множеств были заложены в работе Л. Заде «Fuzzy Sets», опубликованной в 1965 году в журнале «Information and Control» (Zadeh L. A. Fuzzy Sets. — Information and Control, 1965, Vol. 8, № 3, pp. 338–353). Он же дал и название для новой области исследований — «нечёткая логика» (Fuzzy Logic). Предметом нечёткой логики считается исследование рассуждений в условиях нечёткости, размытости, неопределённости, сходных с рассуждениями в обычном смысле. В настоящее время нечёткая логика широко применяется в вычислительных и информационных системах различного назначения, так как она оказалась незаменимой в тех случаях, когда на поставленные вопросы не возможно получить чёткие ответы или наперёд неизвестны все возможные ситуации.

Под нечётким множеством понимают множество с нечёткими границами, когда переход от принадлежности элементов множеству к непринадлежности их множеству чётко не определён. В классической логике элемент x из соответствующей предметной области принадлежит или не принадлежит некоторому множеству М. Характеристическая функция принадлежности элемента множеству принимает лишь два значения: 1, когда x действительно принадлежит М, и 0, когда x не принадлежит множеству М. Например: какая-либо геометрическая фигура либо принадлежит множеству треугольников, либо не принадлежит ему. С нечётким множеством дело обстоит иначе. Здесь элемент x принадлежит множеству A (где A — нечёткое множество) лишь с известной степенью, поэтому функция принадлежности элемента множеству может принимать любые значения в интервале [0, 1], а не только значения 0 или 1.

Согласно Л. Заде, классическое понятие функции принадлежности элемента множеству является недостаточным для рассмотрения ситуаций, которые описываются с помощью нечётко определённых понятий типа «очень истинно», «более-менее истинно», «не очень ложно» и тому подобных. Подобные лингвистические значения представляются нечёткими множествами. Здесь дихотомия рассмотренной функции принадлежности не позволяет любому элементу или принадлежать, или не принадлежать данному множеству. Таким образом, дихотомия функции принадлежности должна быть отвергнута точно так же, как в многозначных логиках отвергается дихотомия функции приписывания истинностных значений (принцип двузначности). Тогда, следуя логике Л. Заде, в основе теории нечётких множеств лежит представление о том, что составляющие множество элементы, обладающие общим свойством, могут обладать этим свойством в различной степени и, следовательно, принадлежать данному множеству с различной степенью. При таком подходе высказывание типа «элемент принадлежит данному множеству A» теряет смысл, поскольку следует указать, с какой степенью элемент принадлежит данному множеству. Обычно это множество степеней принадлежности оценивается на бесконечной шкале действительных чисел от 0 до 1, то есть на интервале [0, 1], который используется как универсальное множество для задания лингвистической переменной «истинность». В целом, это позволяет определить промежуточные значения для таких общепринятых выражений, как да|нет, истинно|ложно, черное|белое и тому подобных. Таким образом, выражения нечётко определённых понятий стало возможно формулировать математически. Затем над множеством нечётких [под]множеств определяются простейшие логические операции пересечения «∩», объединения «∪» и дополнения «¯».

В 1973 году Л. Заде вводит понятие такой нечёткой логики, в которой множеством истинностных значений является счётное множество лингвистических названий значений истинности, понимаемой как лингвистическая переменная, в качестве значений которой выступают нечёткие множества, то есть такая переменная, значениями которой являются слова или предложения естественного или искусственного языка. Множество допустимых значений лингвистической переменной называется терм-множеством. В свою очередь, лингвистические значения истинности имеют числовые значения, в качестве которых уже выступают нечёткие множества, то есть понятие истинности само является нечётким, в отличие от классической логики, где истинность может принимать только два значения: «истинно» и «ложно». Понятие лингвистической переменной играет важную роль в нечётком логическом выводе и в принятии решений на основе приближённых рассуждений.

Формально, нечёткая и лингвистическая переменные определяются следующим образом.

Нечёткая переменная характеризуется набором-тройкой 〈 a, X, A〉, где:

• a — имя переменной;
• X — универсальное множество (область определения a);
• A — нечёткое множество на X, описывающее ограничение (то есть mA(x)) на значение нечёткой переменной a.

Лингвистическая переменная характеризуется набором-пятёркой 〈 b, T, X, G, M〉, где:

• b — имя лингвистической переменной;
• T — множество его значений (терм-множество), представляющие имена нечётких переменных, областью определения, которых является множество X. Множество T называется базовым терм-множеством лингвистической переменной;
• G — синтаксическая процедура, позволяющая оперировать элементами терм-множества T, в частности, генерировать новые термы (значения). Множество T И G(T), где G(T) — множество сгенерированных термов, называется расширенным терм-множеством лингвистической переменной;
• M — семантическая процедура, позволяющая преобразовать новое значение лингвистической переменной, образованной процедурой G, в нечёткую переменную, то есть сформировать соответствующее нечёткое множество.

Использование символов:

• символ b используется как для названия самой переменной, так и для всех его значений;
• для обозначения нечёткого множества и его названия используется один символ.
• Присваивание нескольких значений символам предполагает, что контекст допускает неопределённости.

К настоящему времени сложились два основных направления исследований в нечёткой логике.

Первое направление включает нечёткую логику в широком смысле, под которой зачастую понимается всё, что связано с нечёткими множествами. Начиная с 1970-х годов теория нечётких множеств приобрела значительную популярность. С 1970 года начал выходить международный журнал «Fuzzy Sets and Systems». С конца 1980-х годов нечёткая логика занимает одно из ведущих положений в информационных технологиях. Поскольку нечёткая логика оказалась весьма пригодной для работы с аппроксимированной информацией, она применяется для управления нелинейными системами и для моделирования сложных систем, где неясность и неопределённость общеприняты. Сегодня нечёткая логика заложена в различные управляющие, информационные, электронные и многие другие системы, включая системы искусственного интеллекта. Эффективное моделирование приближённых рассуждений нашло важное применение для решения сложных задач программирования и вообще в технологии так называемых «мягких вычислений» (Soft Computing). К настоящему времени опубликованная литература, посвящённая проблематике нечётких множеств, насчитывает уже свыше 10 тысяч работ.

Второе направление включает нечёткую логику в узком смысле, использующую методы символической логики (см. Логика символическая): семантика, синтаксис, аксиоматизация, дедукция, полнота и другие — как для логики высказываний (см. Логика высказываний), так и для логики предикатов (см. Логика предикатов). В этом русле нечёткая логика разрабатывается как раздел многозначной логики. Это направление является относительно молодой дисциплиной, исследующей новые логические исчисления с далеко идущими перспективами.