Тождество

Тождество — это философско-логическое понятие, выражающее равенство (одинаковость) предмета или явления с самим собой либо равенство нескольких предметов или явлений между собой. Тождество обычно представлено в естественном языке либо в форме «a (есть) то же, что и b» или «a тождественно b», что может быть символизировано как «a = b» (такое утверждение обычно называют абсолютным тождеством), либо в форме «a есть то же по свойству Φ, что и b» (утверждения подобного вида называются относительным тождеством и могут быть символизированы как «a = _Φ b»).

Утверждения тождества, как правило, истолковываются различным образом. Наиболее ограничительным является предложение Л. Витгенштейна, выдвинутое в его «Логико-философском трактате» (1921): элиминировать утверждения тождества путём введения специальных ограничений на единичные термины, когда каждому предмету сопоставляется не более одного единичного термина. Альтернативный подход представлен классической теорией тождества (Дж. Перри, Дж. Нельсон), сводящей все тождества естественного языка к абсолютным тождествам (обычно в этом случае тождество определяется с помощью закона Г. В. Лейбница x = y = _Df ∀F(F(x) = F(y))), и релятивистской теорией (П. Гич), сводящей все тождества к относительным.

Существует и смешанная нередукционистская стратегия (Д. Одегард), когда принимаются во внимание оба вида тождества. Классическая теория тождества базируется на утверждении о том, что всё тождественно самому себе, ничто не является тождественным чему-либо ещё, кроме самого себя (Д. Льюис). Однако при подобном понимании тождества для физических объектов возникают проблемы преемственности (самотождественны ли длящиеся во времени предметы, сохраняются ли предметы после замены их частей). Согласно Г. Фреге, мы должны уметь распознавать объект, обозначенный введённым нами символом, как тот же самый. В связи с этим вводится принцип неразличимости тождественных предметов, гласящий, что тождественные объекты неразличимы по свойствам. Такое понятие тождества удобно для математических целей, где объекты заданы жёстко и не изменяются со временем.

Теория относительного тождества принимает следующий постулат: два предмета могут совпадать по отношению к одному свойству и различаться по отношению к другому. Тем не менее, теория относительного тождества сводится к классической теории абсолютного тождества, если ввести двухместный предикат тождества с помощью определения x = y = _Df ∃ψ(x = _ψ y) (Л. Стивенсон), либо считать закон Лейбница определением тождества и принять аксиому х = _Φ y ⊃ ∀Ψ (Ψ(x) ≡ Ψ(y)).

Формальные теории относительного тождества в большинстве своём строятся в рамках второпорядковой логики, поскольку приходится вести речь о совокупности свойств. Отношению относительного тождества в этом случае сопоставляется множество свойств Δ_Φ, такое, что Φ-тождественность влечёт неразличимость по отношению к свойствам из Δ_Φ. Полная спецификация Δ_Φ для данного Φ в общем случае затруднительна (при конструктивистском подходе прибегают к абстракции отождествления, при которой выделяются общие свойства и отношения при одновременном отвлечении от некоторых характеристик исследуемых объектов). Обычно вводят Δ как новый константный (реляционный) символ отношения на свойствах и определяют относительное тождество как x = _Φ у тогда и только тогда, когда для каждого Ψ, такого, что Δ_Φ (Ψ), Ψ(x) тогда и только тогда, когда Ψ(y). Интуитивно Δ_Φ (Ψ) означает, что Ψ является членом множества свойств Δ_Φ, определяемого для Φ и замкнутого относительно отрицания, конъюнкции и импликации. Более гибкая трактовка получается при переходе к неклассической второпорядковой логике, например трёхзначной второпорядковой логике (Р. Роутли и Н. Гриффин).

В последние десятилетия проблема тождества часто обсуждалась в связи с проблемой семантики возможных миров. Центральными вопросами при этом были проблема подстановки тождественных выражений и проблема идентификации индивидов сквозь возможные миры. Закон подстановки тождественного гласит, что если один из двух тождественных объектов обладает определённым свойством, то им обладает и второй объект. Однако в модальных контекстах это приводит к тому, что все тождества являются необходимыми тождествами, то есть если a = b, то выводимо (a = b). Тем самым ставится под сомнение возможность случайных утверждений о тождестве.

Для решения этой проблемы С. Крипке вводит в рассмотрение термин «жёсткий десигнатор», обозначающий один и тот же объект во всех возможных мирах. В этом случае если a и b являются жёсткими десигааторами, то утверждение a = b не только истинно, но и необходимо истинно. В противном случае из a = b не следует (a = b), хотя объекты, обозначенные как a и b, будут тождественны.

Другое решение, предложенное Я. Хинтиккой, заключается в задании подкласса класса индивидуальных концептов (то есть функций, принимающих в качестве своих аргументов возможные миры, а в качестве значений — объекты соответствующих предметных областей). Элементы этого подкласса (индивидуирующие функции или мировые линии) служат для связи индивидов из различных предметных областей, присущих различным мирам (например, имя «Сократ» означает лицо, являющееся Сократом в различных обстоятельствах, другими словами, означает всех индивидов в различных мирах, связанных между собой мировой линией). Индивиды, связанные мировыми линиями, являются как раз теми индивидами, которые предполагаются тождественными в подходе Крипке.

В представлениях знаний и эпистемических контекстах часто возникает необходимость в представлении ложных тождеств, то есть ситуаций, в которых объекты, считающиеся субъектом тождественными, на самом деле различны, или наоборот, тождественные объекты полагаются различными. Теория жёстких десигнаторов не предусматривает таких ситуаций, в то время как подход Хинтикки позволяет рассматривать два различных способа отождествления: субъективный и обычный. Субъективное отождествление связывает два объекта мировой линией тогда и только тогда, когда они полагаются тождественными некоторым субъектом в определённом состоянии знания.