Наименование: | Математическая логика. |
Определение: | Математическая логика — это раздел современной формальной логики, в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации. |
Раздел: | Концепты научного дискурса |
Дискурс: | Наука |
Субдискурс: | Логика Логика формальная |
Связанные концепты: | Логика символическая |
Текст статьи: © А. С. Карпенко. А. И. Лойко. Подготовка электронной публикации и общая редакция: © Центр гуманитарных технологий. Ответственный редактор: А. В. Агеев. Информация на этой странице периодически обновляется. Последняя редакция: 29.07.2025. | |
Математическая логика — это раздел современной формальной логики (см. Логика формальная), в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации. В качестве другого названия современного этапа в развитии логики (см. Логика) используется также термин «символическая логика» (см. Логика символическая). Иногда термин «математическая логика» употребляется в более широком смысле, охватывая исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое металогикой (см. Металогика) или метаматематикой. В целом, определение «математическая логика» подчёркивает её сходство с математикой, основывающееся, прежде всего, на методах построения логических исчислений на основе строгого символического языка, аксиоматизации и формализации. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии (см. Философия). Математические методы дали логике такие преимущества, как высокая точность формулировок, возможность изучения более сложных, с точки зрения логической формы, объектов. Многие проблемы, исследуемые в математической логике, вообще невозможно было сформулировать с использованием только традиционных методов. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном (формализованном) языке. Такие точные языки имеют две составляющие: синтаксис (см. Синтактика) и семантику (см. Семантика). Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет. Уже в Античности (в частности Аристотелем) широко применялись буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в XVII веке Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля. В 1847 году он публикует брошюру «Mathematical Analaysis of Logic», С другой стороны, возникновение и развитие математической логики связано с работами Г. Фреге и Основы современной логической символики были разработаны Дж. Пеано, чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его широко известный труд «Formulaire de mathématiques», опубликованный (в соавторстве) в Основным стимулом развития математической логики в начале XX века была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Таким образом, вся математика сводилась к теории множеств. Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению ряда парадоксов в теории множеств, ответом на которые стало развитие четырёх направлений в основаниях математики:
Развитие и применение технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Д. Гилберта (начиная с 1904 года), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства её непротиворечивости, то есть доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида A вместе с формулой ~ А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств, после чего, считал Гилберт, используя только финитные методы, можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и таким образом решить проблему оснований математики. Однако результат К. Гёделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гилберта невыполнима. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории. С 20-х годов XX века начинается современный этап развития математической логики. Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач. Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (формализация), с последующими процедурами логического анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надёжных оснований) и полноты. Основным объектом современной математической логики являются исчисления. В качестве их компонентов выступают: язык (формальный); аксиомы; правила вывода. На их основе стало возможным дать точное определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории. Обширным полем деятельности для современной математической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула A из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости послужило основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча — Тьюринга, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, стало наиболее важным достижением математической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы. Важное место в современной математической логике занимает теория моделей (см. Теория моделей), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула A не может быть дедуцирована из определённого множества постулатов или, если A есть аксиома, то показать недоказуемость A из остальных аксиом системы, к которой A принадлежит (если это возможно). Тогда A является независимой аксиомой. Наряду с этим стало очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами математической логики, Развитие современной логики показывает, что термин «математическая логика» постепенно сужается и часто используется для обозначения области исследования тех типов рассуждений, которыми пользуются математики, тем самым приобретая всё большее методологическое и прикладное значение, прежде всего в рамках вычислительной математики и связанных областей. В целом, символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к математической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно. | |
Библиография | |
---|---|
Издания на русском языке: | |
| |
Издания на других языках: | |
| |