Равенство

Равенство — это логическое понятие, выражающее отношение взаимной заменимости объектов, которые именно в силу их взаимной заменимости считаются равными. Такое понимание равенства восходит к Г. В. Лейбницу. Взаимозаменимость может быть более или менее полной, что связано с глубиной (или интервалом) равенства, но, вообще говоря, она всегда относительна, поскольку приравниваемые объекты — будь то предметы объективного мира или наши мысли (идеи, понятия, высказывания) — индивидуальны и неповторимы: в понятии «взаимозаменимые объекты» уже содержится посылка о разделяющем их условии (признаке), то есть индивидуализация. Степень полноты взаимозаменимости (размерность равенства) естественно возрастает от сходства к тождеству.

В последнем случае говорят просто о неразличимости, которую обычно приводят как критерий логического равенства, или тождества (см. Тождество), что, однако, неточно, поскольку неразличимость гарантирует, вообще говоря, только равенство в интервале [с точностью до] условий неразличимости, а это последнее, в отличие от логического равенства, не связано с обязательным выполнением транзитивности. Тем не менее, стало уже традицией говорить о принципе равенства неразличимых, который в языке логики предикатов первого порядка выражается аксиомой (экстенсиональности): x = y ⊃ (φ(x) ⊃ φ(y)) и аксиомой x = x, а в языке второго порядка определением: x = y = ∀φ(φ(x) ≡ φ(y)).

Практикуемая в приложениях логики замена этих выражений конечным списком «содержательных» аксиом равенства для всех исходных индивидуальных функций и предикатов рассматриваемой теории с добавлением аксиом рефлексивности x = x, симметричности (x = y ⊃ y = x) и транзитивности (x = y ∧ y = z ⊃ x = z) равенства является по существу переходом от чисто логической формулировки равенства к более слабой его формулировке — к равенству в интервале абстракции отождествления по функциям и предикатам конкретной теории.