Логическое следование

Логическое следование — это отношение, существующее между посылками и выводимыми из них заключениями, которое характеризуется тем, что заключение с необходимостью (обоснованно) следует из посылок. Правила логического следования вырабатываются с таким расчётом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. Для современной логики характерно то, что класс этих правил устанавливается посредством тех или иных интерпретаций логических исчислений. Хотя логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики (см. Логика), оно не имеет точного универсального определения; в частности, описание его с помощью слов «выводимо», «вытекает» и тому подобных содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова «следует». Понятие «логическое следование» обычно характеризуется через связи с другими логическими понятиями, и прежде всего через понятия логического закона (см. Закон логический) и модели (см. Модель).

Один из основоположников современной логики А. Тарский в 1936 году в работе с характерным названием «О понятии логического следования» писал: «Предложение X логически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К есть также модель предложения X». В связи с этим важный смысл приобретает следующий вопрос: что значит для заключения A следовать из посылок Z? Общепринятым считается следующий принцип: A следует из посылок Z, если и только если любой случай, в котором каждая посылка в Z является истинной, есть случай, в котором A истинна. Основной замысел Тарского состоял в том, чтобы дать определение логического следования, применимого для очень широкого класса рассуждений, причём, как оказалось, настолько широкого, что возникают проблемы уже иного уровня, относящиеся скорее к вопросу о том, что есть логика.

Логическое следование можно представить как отношение между некоторым множеством высказываний Г (гипотез) и высказыванием B (заключением), отображающее тот факт, что, в силу только логической структуры названных высказываний и, значит, независимо от их содержания нельзя приписать всем высказываниям из Г значение истинно, не будучи при этом быть вынужденным приписать это значение и высказыванию B. В этом случае говорят о логическом следовании B из Г в семантическом смысле и записывают этот факт как утверждение Г ⊧ B, читаемое: из Г семантически следует B.

В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение Г ⊧ B обозначает, что формула B этого исчисления в рамках принятой семантики (см. Семантика) является истинной (обобщённо для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.

В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости B из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как Г ⊢ B с указанием, если необходимо, о каком исчислении идёт речь. Г ⊢ B представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определённым правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез, в которой последняя формула есть B. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании B из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что B логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что B является теоремой исчисления Т (символически: ⊢ B).

Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчётом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность B. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а B было при этом ложным. Утверждения Г ⊢ B могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула B.

В классической логике множества верных утверждений вида Г ⊢ B и Г ⊧ B совпадают в том смысле, что каждому Г ⊢ B соответствует Г ⊧ B и наоборот.

Выражение ⊧ B трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности B). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности B, мы должны признавать верным Г ⊧ B и A ⊧ B для любых Г и A. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулы A (a также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула B. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение A ⊢ B, в котором B — теорема исчисления, или A — отрицание теоремы.

Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания, и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования. В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Возникает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида Г ⊢ B, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез.

Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач и трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и развития релевантной логики (см. Логика релевантная). Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все указанные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование пытаются описать (формализовать) в объектном языке самих исчислений, за счёт введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечёт к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.