Логика свободная

Свободная логика — это раздел современной (неклассической) логики (см. Логики неклассические), в рамках которого изучаются свойства высказываний с пустыми (необозначающими) терминами. Свободной называют также логику, свободную от экзистенциальных (от латинского existentia — существование) допущений. Классические логики (такие как логика предикатов и силлогистика) являются экзистенциальными логиками (см. Логика), что обусловлено двумя моментами, проявляющимися при интерпретации указанных исчислений:

1. универсум рассуждения, на котором осуществляется интерпретация, не должен быть пустым;
2. все термы (аналоги имён) в обязательном порядке должны иметь значения, свои референты в универсуме рассуждения.

Нарушение этих условий приводит к несоблюдению целого ряда дедуктивных принципов классической логики.

В связи с указанными двумя условиями экзистенциальности различают два типа логик, свободных от экзистенциальных допущений:

1. универсальные логики;
2. свободные логики.

В универсальных логиках отказываются от первого условия экзистенциальности. В них интерпретация осуществляется на любое множество объектов, в том числе и пустое. Впервые такие логики были построены А. Мостовским, хотя их основные принципы содержались уже в двух теориях, построенных Ст. Лесневским — прототетике и онтологии. В свободной логике отказываются от второго условия экзистенциальности, то есть в них допускается использование таких сингулярных терминов, которые не имеют референтов в области интерпретации. Термин «свободная логика» часто используют в более широком смысле, включающем и универсальные логики. Это связано с тем, что в пустом универсуме ни один сингулярный термин заведомо не имеет своих референтов.

Обычно в алфавит свободной логики включается специальный одноместный логический предикат существования — «Е». Выражение Е(x) читается: «x существует». Введение предиката существования обусловлено невозможностью выразить суждения сингулярного существования в классической логике. Вообще, различают два вида суждений существования — общего и сингулярного существований. Суждения общего существования («человек существует») и несуществования («кентавры не существуют») выразимы соответственно предложениями классической логики ∃x Человек (x) и ¬ ∃x Кентавр (x). Однако предложения сингулярного несуществования («Пегас не существует») невыразимы в классической логике, так как единственная возможная форма их записи в классическом исчислении предикатов с равенством ¬ ∃x(x = Пегас) является всегда ложным утверждением в силу того, что в этой логике для любого сингулярного термина «а» является логическим законом формула ∃x(x = a).

Другим основанием для введения предиката существования является использование в исчислении описательных имён — определённых и неопределённых дескрипций (⍳xΑ(x) — «тот самый x, который обладает свойством A», где «⍳» — оператор определённой дескрипции, и εxΑ(x) — «этот A», где «ε» — оператор неопределённой дескрипции). Если пустые сингулярные термины можно при самом построении исчисления элиминировать, то есть не вводить их в алфавит, то в силу неразрешимости исчисления предикатов так нельзя поступить с дескрипциями, так как заранее не известно, обозначают они что-либо или нет.

В свободной логике вместо обычных правил удаления квантора общности и введения квантора существования принимаются следующие правила: для квантора общности — ∀xA(x), E(t) ⊢ A(t) и для квантора существования — A(t), E(t) ⊢ ∃xA(x). В исчислении предикатов с равенством вместо аксиомы x = x принимается аксиома Е(x) ⊃ x = x.

Исторически первой свободной логикой явилась силлогистика, построенная Аристотелем, а в XX веке — онтология Ст. Лесневского и «Principia Mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда. В последней в рамках классической логики был описан и некоторый вариант свободной логики. Основная идея Б. Рассела состояла в том, что в подлинном смысле сингулярными именами являются лишь те, со значениями которых мы знакомы непосредственно (концепция значения по знакомству). Все же остальные сингулярные имена являются лишь сокращениями для некоторых скрытых дескрипций. В соответствии с этим он вводит в язык лишь подлинные (в его смысле) имена и разрешает образовывать определённые дескрипции по любому предикату A(x), но при этом все выражения с дескрипциями элиминируются за счёт их контекстуального определения: Β(⍳xΑ(x)) ≡ _df∃x(A(x) & ∀x∀y(A(x) & A(y) ⊃ x = y) & B(x)). Таким образом, предложение с дескрипцией Β(⍳xΑ(x)) истинно, если выполнены три условия:

1. предикат A(x) не пуст;
2. предикату A(x) удовлетворяет ровно один предмет;
3. этот предмет обладает свойством B.

Другой способ ограждения классической логики от мнимых описательных имён был предложен Д. Гилбертом. Он разрешает навешивать оператор определённой дескрипции на предикат A(x) только в случае доказательства в теории теорем о непустоте предиката — ∃xΑ(x) и единственности того предмета, который удовлетворяет этому предикату — ∀x∀y(A(x) & A(y) ⊃ x = y). Недостатком этого подхода является то обстоятельство, что класс терминов оказывается не рекурсивным.

Согласно принципу У. Куайна, «существовать — значит быть значением квантифицируемой переменной», — существует всё, что является элементом универсума рассуждения. Это так называемое существование в универсуме. Чтобы отличить такого рода существование от реального существования, иногда свободные логики строятся с двумя кванторами общности и существования. Одни из них действуют на всём универсуме, а другие работают лишь на некоторой выделенной области, которая рассматривается как область актуально существующих предметов.