Аксиома

Аксиома — это исходное положение какой-либо теории (см. Теория), принимаемое в рамках данной теории истинным без требования его доказательства и используемое в основе доказательств других её положений по принятым в ней правилам логического вывода. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Положения, выводимые из аксиом, называют теоремами. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. В науке (см. Наука) аксиома понимается как положение научной теории, которое принимается в качестве исходного, причём вопрос об истинности аксиоматического положения решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теоретической системы: реализация некоторой формализованной аксиоматической системы в той или иной предметной области свидетельствует об истинности принятых в ней аксиом (см. Аксиоматический метод).

Необходимость в принятии аксиом без доказательств следует из индуктивного соображения: любое доказательство вынуждено опираться на какие-либо утверждения, и если для каждого из них требовать своих доказательств, цепочка «утверждение — доказательство» получится бесконечной. Чтобы не уходить в бесконечность, нужно где-то эту цепочку разорвать — то есть какие-то утверждения принять без доказательств, как исходные. Именно такие, принятые в качестве исходных, утверждения и называются аксиомами.

Типичные примеры аксиом:

1. Некоторое выражение символического языка исчисления, если под дальнейшими рассуждениями понимаются использующие его выводы в рамках данного исчисления. В этом случае причина принятия аксиом — само определение рассматриваемого исчисления. В этом случае сомнения по поводу принятия аксиом бессмысленны.
2. Некоторая эмпирическая гипотеза, если под дальнейшими рассуждениями понимается, к примеру, систематически развиваемый на её основе раздел физики. В этом случае причина принятия аксиомы — вера в закономерность природы, выражаемую данной гипотезой. В этом случае сомнения по поводу принятия аксиомы не только осмысленны, но и желательны.
3. Соглашение понимать термины, участвующие в формулировке некоторого суждения, как угодно, но всё-таки таким образом, чтобы при этом понимании рассматриваемая формулировка выражала истинное суждение. Это тот случай, в котором под дальнейшими рассуждениями понимается вывод заведомо истинных следствий из неоднозначно понимаемого исходного суждения. В этом случае сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны. Когда такого рода аксиому используют в рамках научной теории, её часто называют постулатом значения.
4. Утверждение, оцениваемое как необходимо истинное (аподиктическое), если под дальнейшими рассуждениями понимается какая-либо систематически развиваемая доктрина, претендующая на совершенство в эпистемологическом отношении. В этом случае причина принятия аксиомы — свидетельство особой познавательной способности (интуиции) к непосредственному усмотрению некоторых (называемых часто самоочевидными) истин. В рамках указанной претензии сомнения по поводу принятия аксиомы бессмысленны, но вопрос об оправданности самой этой претензии — одна из наиболее значительных проблем в философии (см. Философия).

Аксиомы возникают в процессе длительного и сложного развития научного познания. Начиная с Античности и вплоть до XIX века аксиомы рассматривались не просто как отправной пункт доказательств, а как интуитивно очевидные или априорно истинные предложения. Значимость аксиом была обоснована ещё Аристотелем, который считал, что аксиомы не требуют доказательства по причине своей ясности и простоты, так как «обладают наивысшей степенью общности и представляют начала всего». Евклид рассматривал принятые им в рамках своей геометрической системы аксиомы как самоочевидные истины, достаточные для выведения всех других истин геометрии. На основании накопленных к тому времени фактов и знаний он выделил и сформулировал несколько аксиоматических утверждений (постулатов), принимаемых без доказательств, из которых выводились их логические следствия в виде теорем. Наряду с этим аксиомы нередко трактовались как вечные и непреложные истины, известные до всякого опыта и не зависящие от него, попытка обоснования которых могла только подорвать их очевидность. Учение И. Канта об априорности аксиом, то есть о том, что они предшествуют всякому опыту и не зависят от него, было кульминацией таких взглядов на аксиомы.

Переосмысление аксиом связано с открытием в XIX веке неевклидовой геометрии (К. Ф. Гаусс, Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи); появлением в абстрактной алгебре новых числовых систем, причём сразу целых их семейств; появлением переменных структур вроде групп; наконец, широким обсуждение вопросов типа «какая геометрия истинна?» Всё это способствовало осознанию двух новых статусов аксиом: аксиом как описаний (классов возможных универсумов рассуждений) и аксиом как предположений, а не самоочевидных утверждений. Наряду с этим, всё более очевидными становились трудности, связанные со сложностью самого понятия истинности аксиом и проявляющиеся при попытках логико-математического определения этого понятия в применении хотя бы к предложениям некоторой достаточно чётко описанной теории. Эти трудности могли быть обнаружены лишь после того, как стало возможным говорить о математических описаниях самих теорий средствами развитого аппарата математической логики, позволяющего формализовать различные теории. С его созданием связано дальнейшее развитие появление третьего статуса аксиомы: в формальном исчислении аксиома является уже не предложением некоторой содержательной научной теории, а просто одной из тех формул, из которых по правилам вывода этого исчисления выводятся остальные доказуемые в нём формулы (то есть «теоремы» этого исчисления). В современной науке аксиомы являются не исходным началом научного познания (см. Методы научного познания), а скорее его промежуточным результатом. Они обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых составных элементов теории: подтверждение последней есть одновременно и подтверждение её аксиом. Критерии выбора аксиом меняются от теории к теории и являются во многом прагматическими. Если, однако, теория ещё не определена однозначно, выбор её аксиом может диктоваться и содержательными соображениями.