Исчисление классов

Исчисление классов — это формальная логическая теория математической логики (см. Логика математическая), изучающая логику классов. Под классом в логике (см. Логика) понимается конечная или бесконечная совокупность (множество) выделенных по некоторому признаку предметов, мыслимая как целое. Предметы, образующие класс, называются его элементами. Элементами класса могут быть не только индивиды, но и сами классы, поэтому говорят о различных типах классов. Общее понятие «класс» возникает как абстракция от природы и порядка элементов. Индивидуальный класс обычно определяют, исходя из свойств, общих всем его элементам. Это позволяет понятию «класс» поставить в соответствие понятие одноместной пропозициональной функции или одноместного предиката, поскольку, для того чтобы элемент принадлежал к данному классу, необходимо и достаточно, чтобы он обладал свойством, по которому выделяется этот класс. Систематическое рассмотрение классов, их общих свойств и логических операций над ними даётся в логике классов.

Исчисление классов представляет собой формальную логическую теорию, в которой описываются булевы соотношения (операции) между классами (множествами) объектов. В этом смысле исчисление классов составляет часть более общей теории — теорий множеств. К числу основных булевых операций относятся операции пересечения, объединения и взятия дополнения. Они обозначаются, соответственно, знаками «∩», «∪», «′» и (на языке элементарной логики) определяются следующим образом: x ∈ A ∩ B ≡ _df x ∈ A & x ∈ В x ∈ A ∪ B ≡ _df x ∈ A ∨ x ∈ В х ∈ A′ ≡ _df ¬ (x ∈ A). Остальные операции, например вычитание и симметрическая разность, определяются через основные. Кроме того, с помощью определений можно задать пустой класс: 0 ≡ _df A ∩ A′ и универсальный — 1 ≡ _df A ∪ A′, а также ввести отношение включения класса в класс — A ⊆ B ≡ _df A ∩ B = A.

Исчисление классов является одной из конкретных реализаций булевой алгебры. Последняя является непротиворечивой, полной и разрешимой теорией, в силу чего эти же свойства верны и для исчисления классов. В качестве модели исчисления классов обычно принимается множество всех подмножеств некоторого множества. Для наглядного представления операций над классами часто используют круги Эйлера или диаграммы Венна. При рассмотрении двухэлементной булевой алгебры её реализациями являются двухэлементная логика классов, в которой имеются только универсальный и пустой классы, а также классическая фактор-алгебра высказываний и теория контактных сетей. Исчисление классов эквивалентно одноместному исчислению предикатов, а также так называемой расширенной аристотелевской силлогистике (см. Силлогистика), однако оно не является таковым, поскольку допустимые в исчислении классов пустой и одноэлементные классы Аристотелем не рассматривались. В настоящее время исчисление классов редко излагается уже как самостоятельная логическая теория, поскольку её задачи полностью решаются в логике предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов); силлогистика же Аристотеля находит лучшее выражение в специально посвящённом её формализации исчислении Я. Лукасевича.