Силлогистика

Силлогистика — это раздел логики (см. Логика), в рамках которого изучаются рассуждения в форме силлогизмов. Силлогизм — это вид рассуждения, в котором две посылки, связывающие субъекты (подлежащие) и предикаты (сказуемые), объединены общим (средним) термином, обеспечивающим замыкание понятий (терминов) в заключении (см. Силлогизм).

Впервые теория силлогизмов (силлогистика) была построена Аристотелем и стала не только исторически первой логической теорией, но и одной из первых известных в истории науки (см. Наука) теорий (см. Теория) вообще. Она отличается простотой, элегантностью и кажущейся самоочевидностью выделяемых в ней логических законов, близостью к естественному языку и к естественным способам рассуждения. Силлогистика послужила отправным пунктом для разработки формальной логики (см. Логика формальная). В работах римских, византийских и арабских мыслителей, в средневековой схоластической логике, а затем и в Новое время она детализировалась и уточнялась, оставаясь вместе с тем в рамках, очерченных Аристотелем. Вплоть до XVII века силлогистика считалась совершенной в своей законченности и чуть ли не единственно возможной логической теорией, и в многочисленных учебных пособиях дошла до настоящего времени, составляя традиционный логический элемент гуманитарного образования.

Уникальное место силлогистики в логике определяется особым влиянием, которое она оказала на разработку логико-философской проблематики. Оставаясь в течение многих веков единственным известным аппаратом дедукции, она во многом предопределяла характер и направленность теоретико-познавательных исследований. Например, такие хорошо известные в истории философии антитезы, как «содержательное и формальное», «дискурсивное и чувственное», «рациональное и иррациональное», «интуитивное и рассудочное», всегда обсуждались с учётом гносеологического материала, фиксированного силлогистикой, которая выступала в качестве конкретного примера одной из сторон указанных противоположностей. Поэтому она была не только теорией дедукции, но и выполняла значительную объяснительную функцию при решении гносеологических проблем.

Среди рассматриваемых в силлогистике атрибутивных высказываний различают высказывания о факте наличия или отсутствия у отдельного предмета или нескольких предметов какого-либо свойства (атрибута) и высказывания о характере наличия или отсутствия такого свойства. Первые высказывания называются ассерторическими, вторые — модальными.

К числу атрибутивных высказываний относят высказывания следующих логических форм:

• Всякий α ∗ есть β — общеутвердительное высказывание;
• Всякий α ∗ не есть β — обще-отрицательное;
• Некоторый α ∗ есть β — частно-утвердительное;
• Некоторый α ∗ не есть β — частно-отрицательное;
• α ∗ есть β — единично-утвердительное;
• α ∗ не есть β — единично-отрицательное;

Где ∗ — это либо пустое место, либо является одним из модальных операторов — необходимо (¬ □) или возможно (◊).

В каждом атрибутивном высказывании имеется два термина:

1. субъект — термин, обозначающий те предметы, о которых в высказывании нечто утверждается или отрицается;
2. предикат — термин, обозначающий то, что предицируется (утверждается или отрицается) об этих предметах.

Различают четыре вида простых атрибутивных высказываний, которые получили специальные обозначения:

1. A (от латинского слова: affirmo) — общие высказывания.
2. I (от латинского слова: affirmo) — частно-утвердительные высказывания.
3. E (от латинского слова: nego) — обще-отрицательные высказывания.
4. O (от латинского слова: nego) — частно-отрицательные высказывания.

Для условного буквенного обозначения высказываний здесь используются гласные из латинских слов affirmo (я утверждаю, говорю да) и nego (я отрицаю, говорю нет). Эти обозначения оказались удобным средством сокращённого представления в языке ассерторических и модальных высказываний. Пользуясь ими, часто логическую структуру первых четырёх типов высказываний выражают следующими формулами:

1. αAβ;
2. αEβ;
3. αIp;
4. αOβ.

К настоящему времени силлогистика сформировалась как совокупность различных логических систем, которые можно подразделить на классы в зависимости от того, какого типа атрибутивные высказывания содержатся в языке системы, какого типа термины могут являться субъектами и предикатами этих высказываний, а также в зависимости от интерпретации самих атрибутивных высказываний.

Аристотель и средневековые логики рассматривали два типа силлогистических теорий — ассерторическую и модальную. Чаще всего под термином «силлогистика» имеют в виду именно ассерторическую силлогистику. В её язык входят лишь ассерторические атрибутивные высказывания, в язык же модальной силлогистики входят как ассерторические, так и модальные высказывания.

Силлогистика называется позитивной, если в ней не учитывается внутренняя структура терминов. Иначе говоря, каждый термин (субъект и предикат) трактуется как элементарное выражение, неразложимое на составные части. Если в языке теории содержится единственный терминообразующий оператор терминного отрицания, позволяющий построить новый термин, являющийся отрицанием исходного, то такая система относится к негативной силлогистике. При этом с отрицательными терминами, например Р´, связываются те предметы из универсума, которые не обладают свойством P. Этот класс принято называть дополнением к Ρ в универсуме U. Если кроме этого вводятся и другие терминные операторы — сложение (объединение классов) и умножение (пересечение классов), то такая система называется расширенной силлогистикой. Если в системе допускается использование сингулярных терминов, то такая силлогистика называется сингулярной.

Чистая позитивная силлогистика была подробно разработана Аристотелем в первой книге «Первой Аналитики». Учеником Аристотеля Теофрастом, и позже, в Средние века, систематически исследована негативная силлогистика. Сингулярная силлогистика (как позитивная, так и негативная) рассматривалась в рамках традиционной логики, причём единичные высказывания трактовались как разновидность общих. Исследование расширенной силлогистики впервые было предпринято одним из основоположников современной логики О. де Морганом. Модальная силлогистика активно разрабатывалась в средневековой логике, при этом выделялись модальности двух видов — de dicto (особые пропозициональные связки) и de re (внутренние, предицирующие связки).

В зависимости от характера интерпретации терминов, все силлогистические теории делятся на экзистенциальные и неэкзистенциальные. В первых запрещается использование пустых терминов, во вторых такого ограничения нет.

Указанные выше виды атрибутивных высказываний относятся к числу простых высказываний. Но, применяя к ним логические операции, выражаемые пропозициональными связками, можно из простых высказываний строить сложные силлогистические высказывания. Например, можно отрицать то или иное высказывание, строить из них конъюнктивные высказывания и так далее.

В каждой силлогистике тем или иным способом задаются условия истинности атрибутивных высказываний. Обычно это делается с помощью так называемых кругов Эйлера (или диаграмм Венна), которые выступают в качестве модельных схем истинности атрибутивных высказываний. Например, в традиционной силлогистике, которая является экзистенциальной системой, термины рассматриваются как знаки таких свойств (классов), которые являются непустыми и неуниверсальными.

Понятие логического следования (см. Логическое следование) вводится в силлогистике следующим определением. Пусть A₁, A₂, … A_n, и B будут силлогистическими формулами. Тогда из посылок A₁, A₂, … A_n, логически следует B, если и только если каждая модельная схема, на которой одновременно истинны все посылки A₁, A₂, … A_n, является модельной схемой, на которой истинно B. Наличие логического следования обозначается записью A₁, A₂, … A_n ⊧ B. В частном случае (при следовании формулы из пустого множества посылок) формула B называется общезначимой (законом силлогистики) и пишется ⊧ B. Формула B в этом случае является истинной на любой модельной схеме. На основе этих определений в любой силлогистике устанавливаются соответствующие силлогистические законы и оправдывается принятие тех или иных правил вывода — элементарных умозаключений. Так, в традиционной силлогистике законами будут следующие:

• Всякий S есть S — закон силлогистического тождества для высказываний типа A;
• ¬ Всякий S есть Ρ ∨ Всякий S не есть P — закон контрарного противоречия;
• Некоторый S есть Ρ ∨ Некоторый S не есть P — закон субконтрарного исключённого третьего.

Что касается умозаключений, то они распадаются на умозаключения по логическому квадрату, непосредственные и опосредованные умозаключения. К числу непосредственных умозаключений в позитивных силлогистиках относится операция обращения (conversio), а в негативных силлогистиках — превращение (obversio) и различные виды противопоставления (contrapocisio).

В позитивной силлогистике одним из наиболее важных видов опосредованных умозаключений является простой категорический силлогизм, свойства которого наиболее известны и хорошо исследованы в логике ещё со времён Аристотеля. В нём всегда содержится не более трёх терминов — меньший, бóльший и средний. Меньшим термином является субъект заключения, а бóльшим — тот, который является предикатом заключения. Термин же, являющийся общим для обеих посылок, называется средним. Посылка, содержащая меньший термин, называется меньшей посылкой, а содержащая больший термин — бóльшей. Обычно условливаются помещать бóльшую посылку на первое место, а под ней записывать меньшую посылку.

Согласно указанным условиям силлогизмы делятся на так называемые фигуры, которые представляют собой множество простых категорических силлогизмов, имеющих одну и ту же структуру, определяемую расположением среднего термина в посылках. С точностью до порядка посылок выделяют следующие фигуры силлогизмов:

Каждой фигуре соответствуют модусы, различающиеся в зависимости от логических отношений, связывающих термины в высказываниях силлогизма. Модусом простого силлогизма называется набор простых суждений, входящих в силлогизм. Модус простого категорического силлогизма составляет три суждения. Во всех четырёх фигурах силлогизмов насчитывается 256 модусов. В каждой фигуре насчитывается 64 модуса. Однако из всех этих 256 модусов только 24 дают достоверные выводы. Это те модусы, для которых между посылками и заключением существует отношение логического следования. Эти 24 модуса называются правильными. Остальные модусы приводят к вероятностным выводам и называются, соответственно, неправильными.

В традиционной силлогистике для 24 правильных модусов каждой фигуры имеются мнемонические имена. В этих названиях (см. таблицу ниже) гласные буквы слева направо указывают тип большей, меньшей посылок и заключения.

Правильные модусы различных фигур имеют следующие свойства:

• в первой фигуре большая посылка является общей, а меньшая утвердительной;
• во второй фигуре большая посылка общая, одна из посылок отрицательная;
• в третьей фигуре меньшая посылка является утвердительной, а заключение частным.

Для проверки правильности рассуждений, строящихся в форме простого категорического силлогизма, сформулирован специальный перечень правил. Выполнение каждого правила является необходимым, а всех вместе — достаточным условием, чтобы считать некоторый модус правильным. Эти правила называются общими правилами силлогизмов и подразделяются на правила терминов и правила посылок.

1. Правила терминов:
   • средний термин должен быть распределён, по крайней мере, в одной из посылок (субъекты распределены в общих, а предикаты — в отрицательных высказываниях);
   • если термин распределён в заключении, то он распределён и в посылке;
   • если термин распределён в посылке, то он не должен быть распределён в заключении.
2. Правила посылок:
   • одна из посылок, по крайней мере, должна быть утвердительной;
   • если обе посылки утвердительные, то заключение — утвердительное высказывание;
   • если одна из посылок отрицательная, то заключение — отрицательное высказывание;
   • число отрицательных посылок должно быть равно числу отрицательных заключений.

Другими формами опосредованных умозаключений являются сориты, которые в общем случае представляют собой выводы некоторого силлогистического утверждения из произвольного множества посылок. Вопрос о выводимости в общем случае может быть решён различным образом. Можно, например, построить аксиоматическую дедуктивную теорию силлогистики и считать, что некоторое опосредованное умозаключение обосновано, если оно доказуемо в данной аксиоматической теории. На такую возможность обратил внимание уже Аристотель. Он взял в качестве исходных положений (аксиом) модусы Barbara, Celarent, Darii и Ferio 1 фигуры, а все остальные модусы сводил к указанным.

При практическом осуществлении некоторого аргументационного процесса обычно не пользуются развёрнутой формой силлогизма. На самом деле в аргументации обычно используют так называемые энтимемы, то есть сокращённые формы рассуждения (с пропуском некоторых посылок или заключения). Иногда такие пропуски делаются намеренно (например, когда недобросовестному спорщику не всегда бывает выгодно раскрывать подлинные свои цели и намерения, то есть подлинные теоретические основания аргументации).

Другие виды силлогистических рассуждений — полисиллогизм и эпихеирема — трактуются как сложные или сложно-сокращённые силлогизмы.

Традиционная силлогистика, как указывалось выше, содержит два ограничения на используемые термины: они не должны быть пустыми и универсальными. В отличие от этого силлогистика, построенная самим Аристотелем, не содержала такого рода ограничений. Его понимание смыслов простых категорических высказываний можно задать посредством их перевода в исчисление предикатов следующим образом:

• ααβ → ∀x(α(x) ⊃ β(x)) & ∃хα(x);
• αeβ → ∀x(α(x) ⊃ ¬ β(x));
• αiβ → ∃x(α(x) & β(x));
• αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x)) ∨ ¬ ∃xα(x);

Где знак → — это показатель процедуры перевода.

Следует отметить, что целый ряд соотношений, имевших место в традиционной силлогистике, в аристотелевской логике оказываются неверными. Например, в аристотелевской логике неверны законы силлогистического тождества ни в форме SαS, ни в форме SiS. В негативной аристотелевской силлогистике остаются в силе лишь превращения от утвердительных высказываний к отрицательным и так далее. В то же время в аристотелевской силлогистике верны все 24 модуса простого категорического силлогизма.

Кроме аристотелевской силлогистики были разработаны и другие силлогистики, отличающиеся друг от друга условиями истинности атрибутивных высказываний. Хорошо аргументированная система так называемой фундаментальной силлогистики была предложена Г. В. Лейбницем. Основные идеи, заложенные в ней, неоднократно повторялись различными исследователями: де Морганом, Ф. Брентано, Ч. Пирсом, Б. Расселом, Д. Гилбертом.

В языке логики предикатов (см. Логика предикатов) интерпретация категорических высказываний Г. В. Лейбница выражается следующим образом:

• ααβ → ∀x(α(x) ⊃ β(x));
• αeβ → ∀x(α(x) ⊃ ¬ β(x));
• αiβ → ∃x(α(x) & β(x));
• αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x)).

Иная силлогистическая система была детально разработана Б. Больцано. В языке логики предикатов больцановская интерпретация может быть выражена следующим образом:

• ααβ → ∀x(α(x) ⊃ β(x)) & ∃хα(x);
• αeβ → ∀x(α(x) ⊃ ¬ β(x)) & ∃хα(x);
• αiβ → ∃x(α(x) & β(x));
• αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x)).

Интересная силлогистика была разработана Л. Кэрроллом. Она основана на понимании смыслов категорических высказываний, выражаемом в языке логики предикатов следующим образом:

• ααβ → ∀x(α(x) ⊃ β(x)) & ∃xα(x);
• αeβ → ∀x(α(x) ⊃ ¬ β(x));
• αiβ → ∃x(α(x) & β(x));
• αοβ → ∃x(α(x) & ¬ β(x)).

Одним из вариантов расширенной аристотелевской силлогистики является следующая аксиоматическая система:

• Α1. γαα & αeβ ⊃ γαβ´
• А2. γiα & αeβ
• A3. (α ∩ β) eγ ⊃ (γ ∩ α) eβ
• A4. αe(β ∪ γ) ≡ (αeβ & αeγ);
• A5. αe(β ∩ γ)´ ≡ (αeβ´ & αeγ´);
• А6. αeα´
• A7. αoα´
• A8. ααβ ⊃ αeβ´;
• A9. αiβ ⊃ ααα;
• A10. ααβ´´ ⊃ ααβ.

По определению вводятся следующие знаки:

• (α ≡ β) ↔ (α ⊃ β) & (β ⊃ α);
• α = β ↔ αeβ´ & βeα´;
• 0 ↔ α ∩ α´;
• 1 ↔ α ∪ α´;

Где знаки «´» «∩» «∪» являются соответственно знаками терминных отрицания, сложения и умножения; «≡» — эквиваленция, «=» — равенство двух классов, «0» — пустой термин, «1» — универсальный термин. Данная система расширенной аристотелевской силлогистики представляет собой булеву алгебру, выраженную в терминах силлогистики.

Для всех указанных систем силлогистики показана их погружаемость в первопорядковое исчисление предикатов. Для сингулярной расширенной аристотелевской силлогистики показана её дефинициальная эквивалентность элементарной онтологии Ст. Лесневского, то есть атомной булевой алгебре. Что касается исследований в области модальных силлогистик, то в настоящее время усилиями логиков построены различные их варианты. Однако до сих пор не удаётся в полном объёме оправдать дедуктивные принципы модальной силлогистики Аристотеля. Возрождение интереса к силлогистике на современном этапе развития логики и её исследование алгебраическими и теоретико-множественными средствами связано с фундаментальной работой Я. Лукасевича (1957), который построил на базе классического исчисления высказываний аксиоматическую систему, формализующую традиционный вариант чистой позитивной силлогистики.