Логическая семантика

Логическая семантика — это раздел логической науки, в котором изучаются отношения выражений языка к обозначаемым объектам (см. Знак) и выражаемому содержанию. Если семантика (см. Семантика) как раздел семиотики (см. Семиотика) имеет дело с общими аспектами интерпретации любого типа знаковых систем, то логическая семантика имеет дело с особого рода знаковыми системами — языками, построенными для целей логики (см. Логика).

Приписывание значений (см. Значение) выражениям исследуемого (объектного) языка осуществляется посредством особого рода правил, называемых семантическими. Эти правила в свою очередь описываются в некотором понятном, заранее интерпретированном языке, называемом в этом случае метаязыком (для данного объектного языка). Метаязык для описания семантических правил содержит термины, как относящиеся к описанию выражений объектного языка, так и описывающие вне-языковые (по отношению к объектному языку) сущности:

1. Выражение «победитель под Иеной» обозначает Наполеона.
2. Формула «∀х (x ≥ y)» выражает свойство «быть минимальным элементом».
3. 1 выполняет формулу «x² = 1».
4. Предложение «Ф. Бэкон современник У. Шекспира» истинно, если и только если Бэкон и Шекспир жили в одно время. Понятия «обозначает», «выражает», «выполняет», «истинно» и тому подобные — семантические, они устанавливают отношения между выражениями знаковой системы и объектами или положениями дел в области интерпретации.

Проблемы логической семантики тесно связаны с целым рядом традиционных философских вопросов (см. Философия), таких, как исследование понятий истинности и аналитической истинности, проблема универсалий и онтологических предпосылок в логике, анализ содержания модальных высказываний, высказываний с временными, эпистемическими терминами, проблема информативности логических форм, типология семантических категорий и их связь с теоретико-познавательными категориями и другими. Связь логики с философией в значительной степени осуществляется именно через логическую семантику.

Многие проблемы логической семантики и большинство основных её понятий, таких, как «смысл», «значение», «обозначение», «имя», «суждение», «истинность», «ложность», «логическая истинность», «аналитическая истинность», «логическое следование» и так далее не являются новыми в философии и логике. Логика никогда не разрабатывалась в отрыве от анализа семантических проблем.

Начало современной логической семантики восходит к работам Г. Фреге. Однако её разработку как особого раздела логической науки можно датировать началом 1930-х годов. В это время выходят работы А. Тарского по логической семантике и методологии дедуктивных наук. В 1935 году вышла его работа «Понятие истины в формализованных языках», имевшая решающее значение для становления логической семантики как самостоятельного раздела логической науки. В 1942–1947 годах выходит трёхтомное «Исследование по семантике» Р. Карнапа. Значительной вехой в разработке логической семантики явились доказательство К. Гёделем семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов и установление неполноты исчислений предикатов высших порядков, а также доказательство А. Тарским неопределимости понятия истинности средствами исследуемого языка.

В дальнейшем наблюдается интенсивное развитие логической семантики. Значительные результаты получены в теории моделей в узком смысле — в теории, рассматривающей связь между синтаксическими свойствами формул и свойствами их моделей (А. Мальцев, 1970; Р. Робинсон, 1967). Появилась как отдельное направление теория моделей. Строятся семантики для различного типа модальных логик (С. Крипке, Я. Хинтикка, С. Кангер, Р. Монтегю и другие), интуиционистской логики (Э. Бет, С. Крипке), релевантных и немонотонных и многих других классов логик. Были построены семантики с истинностными провалами и пресыщенными оценками, ситуационные семантики. В настоящее время интенсивно разрабатываются семантики интенсиональных и эпистемических контекстов.

В последние десятилетия намечается сближение семантики и прагматики. Строятся семантики, в которых учитываются определённые прагматические аспекты: контексты употребления высказываний, определённые характеристики субъекта познавательной деятельности (его знания, установки и так далее). Так, возможные миры в семантике могут трактоваться как объективные или субъективные обстоятельства, которые мы учитываем при истинностной оценке высказываний, и даже как цели. В таком случае вместо термина «возможные миры» используют термин «точки соотнесения» (Д. Скотт, Р. Монтегю).

Новый подход к анализу понятия истинности и семантических парадоксов наметился в последнее время в работах С. Крипке, Р. Мартина, П. Вудруфа. Несемантические предикаты рассматриваются как всюду определённые, а семантические — как не всюду определённые. В семантике Крипке возможно построение самоприменимых высказываний, утверждающих собственную истинность или неистинность, однако парадоксы не возникают. Это достигается за счёт того, что предикат истинности не является всюду определённым. В настоящее время неортодоксальный анализ семантических парадоксов, как и в целом проблема истинности, находятся в центре внимания логиков и философов.

Построение теоретической семантики начинается с описания объектного языка, семантику которого мы строим. Семантика как строгая наука может быть построена только для языков с точным образом заданной структурой. Формальные системы, удовлетворяющие сильному требованию эффективности, то есть системы, для которых принадлежность к следующим классам объектов — исходным символам, термам, формулам (предложениям), аксиомам, доказательствам — устанавливается эффективным образом (эти классы выражений разрешимы), называют логистическими системами. Такого рода системы представляют собой неинтерпретированные исчисления и являются предметом логического синтаксиса.

Формальные, логистические системы являются именно теми «языками» логики с точным образом заданной структурой, путями и способами интерпретации которых занимается логическая семантика. Именно благодаря интерпретации формальная система выступает как формализация некоторой содержательной теории. Под интерпретацией языка словаря σ имеется в виду функция I, приписывающая значения исходным символам, то есть элементам из σ: каждой индивидной константе сопоставляются некоторые объекты области рассмотрения (универсума рассмотрения U); каждой k-местной предикатной (функциональной) константе — k-местное отношение (функция) на U.

Каждому типу переменных сопоставляется соответствующая область объектов, по которым они пробегают. Приписывание значений сложным выражениям определяется семантическими правилами. Интерпретация логических констант задаётся правилами истинности.

Реляционную систему M называют возможной реализацией языка L, если существует такая интерпретация I на область U, что M = <U, І (σ)>. Возможная реализация M есть модель множества высказываний Г, если и только если каждое высказывание из Г истинно в этой реализации. M является моделью (дедуктивной) теории, если в ней истинны все аксиомы теории. Противоречивая теория не имеет моделей.

Не всякий класс выражений, обладающих некоторым интересующим нас содержательным свойством (например, класс истинных предложений некоторой теории) можно задать процессом порождения — представить как множество слов (выражений), доказуемых в некотором исчислении (формальной системе). Свойство D формализуемо, если существует такая формальная система L, что все выражения (формулы), доказуемые в этой системе, обладают свойством D (например, все доказуемые предложения истинны при данной интерпретации). В этом случае говорят, что система семантически непротиворечива относительно свойства D. И если имеет место обратное — все выражения (формулы), обладающие свойством D, доказуемы в формальной системе, то система семантически полна относительно этого свойства. Так, класс логически истинных утверждений логики высказываний (см. Логика высказываний) может быть представлен как класс формул, доказуемых в некотором исчислении (исчислении высказываний), и такая формализация является полной; аналогично, класс общезначимых формул логики предикатов (см. Логика предикатов) — как класс формул, доказуемых в исчислении предикатов. Таким путём определённые содержательные, семантические свойства можно представить в исчислениях с точным образом заданными правилами образования и преобразования.

Задача теоретической семантики — введение семантических понятий логически корректным образом и установление условий их адекватности некоторым исходным содержательным понятиям.

Согласно А. Тарскому, возможны два подхода, два пути введения семантических понятий:

1. Семантические понятия (например, понятие истинного высказывания) вводятся в метаязык как первичные, исходные, а их свойства определяются системой аксиом.
2. Семантические понятия вводятся посредством определений.

Согласно первому подходу, семантическая теория строится как самостоятельная дедуктивная теория с собственной системой аксиом и требуются специальные доказательства непротиворечивости и полноты построенной теории.

Согласно второму подходу, метатеория в качестве первичных, неопределяемых терминов не содержит никаких семантических терминов, относящихся к объектному языку. К метаязыку данного объектного языка предъявляются следующие требования:

1. В метаязыке имеются средства для описания синтаксических свойств объектного языка, в частности имеются средства для построения имён выражений объектного языка.
2. Метаязык должен быть настолько богат, чтобы для каждой формулы (предложения) существовала формула (предложение) метаязыка, являющаяся переводом первой, другими словами, всё то, что можно утверждать в терминах объектного языка, может быть сказано в метаязыке.
3. Метаязык должен содержать логико-математическую часть.

Сам факт возможности определения семантических понятий на базе несемантических понятий имеет важный философский смысл и, кроме того, играет особо существенную роль в разработке методологии дедуктивных наук. Преимущество указанного пути построения семантики состоит в том, что мы получаем своего рода «гарантию», что связанные с употреблением семантических терминов парадоксы не появятся в этом случае. Если несемантическая часть метаязыка непротиворечива, то добавление семантических терминов, вводимых указанным путём по определению, не ведёт к противоречию. Но задача построения непротиворечивой системы таких определений сложная. В частности, указанный способ введения семантических терминов возможен лишь при условии, что метаязык существенно богаче объектного языка в том смысле, что метаязык дополнительно содержит переменные категорий более высокого порядка. Этот список условий далеко не полон.

Уточнение классического, аристотелевского понятия истинности применительно к языкам с точно заданной структурой было предложено А. Тарским. Согласно Тарскому, предикат «быть истинным» должен удовлетворять следующей схеме (I): X — истинно тогда и только тогда, когда p, где вместо p подставляется некоторое высказывание, а вместо X — его имя. Примерами такого рода подстановок будут эквивалентности:

1. «Der Schnee ist weiß» истинно ≡ Снег бел
2. «2³ > 3» истинно ≡ 2³ > 3

И так далее.

(I) представляет собой общую схему такого рода эквивалентностей, которые устанавливают условия истинности конкретных высказываний языка.

Схема (I) не является определением понятия истинности (истинного высказывания). Но она устанавливает условие адекватности вводимого семантического понятия. Введённое строгим образом семантическое понятие истинности будет адекватным, если оно охватывает все случаи применения исходного интуитивного понятия истинного высказывания, а это имеет место, если для него верны (могут быть доказаны) все случаи подстановки в схему (I). Подстановки в схему не являются тавтологиями: в левой части эквивалентности речь идёт о высказывании (даётся определённая его оценка), а в правой — об определённом положении дел, утверждаемом этим высказыванием.

Понятие истинности является одним из центральных понятий логической семантики. Но для логических систем различного типа (модальных, интуиционистских, временных, эпистемических и так далее) оно уточняется с учётом предпосылок и характера этих систем.

На базе понятия истинности может быть определено понятие семантической определимости свойств, отношений, операций в языке рассматриваемой теории. Это понятие связано с анализом выразительных возможностей языков и теорий. Синтаксис достаточно богатых систем (содержащих рекурсивную арифметику) выразим в самом объектном языке. Согласно теореме Тарского, понятие истинности (класс всех истинных высказываний) непротиворечивой формализованной теории, содержащей рекурсивную арифметику, не определимо в языке этой теории. Таким образом, теорема говорит об ограниченности выразительных возможностей достаточно богатых систем со стандартной формализацией. С другой стороны, теорема позволяет выявить важные характеристики самого понятия истинности. Так, любой эффективно порождаемый (рекурсивно перечислимый) предикат семантически определим в первопорядковой арифметике P. Соответственно, предикат, не определимый в Ρ (или системах, содержащих P), не является рекурсивно перечислимым. Таким образом, класс истинных утверждений первопорядковой арифметики в принципе неформализуем.

Для уточнения логических понятий (L-истинность, L-ложность, общезначимость, L-эквивалентность и так далее), а также модальных понятий недостаточно обращения к положениям дел в действительности (в данном мире) — как это имело место в случае классического понятия истинности. Необходимо обращение к альтернативным положениям дел. Так возникают семантики возможных миров: описания состояний (Р. Карнап), модельные множества (Я. Хинтикка), реляционные семантики (С. Крипке), окрестностные семантики (Р. Монтегю).

Понятие логической истинности для интерпретированной языковой системы может быть уточнено как истинность во всех возможных реализациях (то есть истинность во всех возможных областях при любых интерпретациях). В отличие от истинности предполагается, что предложение логически (или аналитически) истинно, если его истинность может быть установлена на основе одних лишь семантических правил, без обращения к внеязыковым фактам.

В логической семантике различают теорию референции, базирующуюся на понятии истинности, и теорию смысла. Уточнение понятия смысла наталкивается на принципиальные трудности, вызванные многогранностью и неоднозначностью этого понятия. Существуют различные методы семантического анализа смысла и значения выражений языка, рассматриваемые в логической семантике: метод отношения именования (Г. Фреге), метод экстенсионала и интенсионала (Р. Карнап, Р. Монтегю), теория неполных символов (Б. Рассел), концепция жёстких десигнаторов (С. Крипке) и другие.

Отношение именования имеет место между выражением языка и конкретным или абстрактным объектом, именем которого оно выступает. Метод отношения именования базируется на принципах: предметности, однозначности и взаимозаменимости. Однако замена тождественных по значению выражений в неэкстенсиональных контекстах приводит к противоречиям.

Метод экстенсионала и интенсионала предполагает обращение к семантикам возможных миров. Тождества интенсионалов двух выражений достаточно для их замены в модальных контекстах, но недостаточно для взаимозаменимости в иных неэкстенсиональных контекстах.

Согласно концепции неполных символов Б. Рассела, не всякое выражение, имеющее структуру обозначающего выражения, действительно является десигнативным выражением (именем). К числу неполных символов относятся определённые дескрипции (автор «Гамлета», нынешний король Франции, то есть выражения вида (x) A (x)), неопределённые дескрипции, выражения для классов. Значения приписываются не самим неполным символам, а контекстам, в которые они входят. Неполные символы вводятся (и устраняются) посредством контекстуальных определений. Для определённых дескрипций, например:

B (ιx) A (x) ⇔ ∃x (∀y (A (y) ≡ (y = x)) & B (x)).

Введение дескрипций, выражений для классов в качестве неполных символов не предполагает включения в универсум рассмотрения теории описываемых ими сущностей. Высказывания, в которых встречаются выражения, относящиеся к такого рода вызывающим возражения сущностям как воображаемые объекты, классы, числа и так далее, могут быть заменены посредством контекстуальных определений высказываниями, в которых встречаются лишь собственные имена и предикатные знаки.

Существует несколько основных направлений в разработке логической семантики. По идейной, философской установке, положенной в основу семантических исследований, можно выделить следующие подходы:

• номиналистический (Ст. Лесьневский, Р. Мартин и другие);
• конструктивный (А. А. Марков, Р. Гудстейн, Н. А. Шанин, работы Ст. Клини по реализуемости и другие);
• экстенсиональный, или теоретико-множественный (подавляющее большинство работ, включающее работы А. Тарского и его школы);
• интенсиональный (Г. Фреге, А. Чёрч, Р. Монтегю и другие).

Именно логическая семантика, опирающаяся на теорию познания, даёт ключ к пониманию феномена многообразия логических систем (принимаемых типов рассуждений). Можно выделить два рода предпосылок, от которых зависят логики. Во-первых, это предпосылки — назовём их предпосылками онтологического характера, — налагаемые на миры, на объекты универсума рассмотрения (например, «воображаемые миры» H. A. Васильева или идеальные и реальные объекты Д. Гилберта). Во-вторых, это предпосылки, связанные с концептуальным аппаратом познающего субъекта: принимаемыми понятиями истинности, ложности, логического следования, отрицания, суждения и так далее.

Кроме того, построение семантик все более богатых логических систем предполагает введение в семантику все более сильных абстракций и идеализаций. Вводятся такие объекты, как истинностные значения, возможные миры, мыслимые положения дел, отношения, заданные на возможных мирах и семействах возможных миров, невозможные возможные миры и так далее. Выявление, как и порождение, такого рода конструктов (см. Конструкт), «идеальных образов» в логической семантике, анализ их правильности и границ использования позволяет вскрывать философские аспекты логики, её связь с теорией познания.

Следует различать вопросы семантики логических языков и вопросы применения средств и методов логической семантики к анализу естественных языков, поскольку методы семантического анализа смысла и значения выражений, разработанные в логической семантике, могут применяться и к анализу естественных языков. Однако эти методы не являются в последнем случае достаточными. Необходимо учитывать определённые лингвистические характеристики выражений естественного языка. Смысл выражений зависит также от коммуникационных аспектов, от контекста употребления, от пресуппозиций носителя языка.

Разработка искусственных языков логики, «моделирующих» различные логические структуры и способы рассуждения, позволяет всё более точным образом репрезентировать логическую форму предложений естественных языков. С другой стороны, интенсивная разработка различного типа модальных и интенсиональных логик, построение точных семантик для них позволяет включать в сферу логического анализа всё более широкий круг контекстов естественных языков.