Логические связки

Логические связки, или логические операции — это символические конструкции логических языков (см. Язык формализованный), используемые для образования сложных высказываний (формул) из элементарных высказываний (см. Высказывание). Логическими связками называют также соответствующие этим символам союзы естественного языка (см. Язык). Обычно используются пять общеизвестных логических связок:

1. конъюнкция (соединительный союз «и») — читается: «A и B»; записывается: A ⋀ B, другие обозначения: AB, A & B, A × B; другое название: логическое умножение;
2. дизъюнкция (нестрогий союз «или») — читается: «A или B»; записывается: A ⋁ B; другое название: логическое сложение;
3. импликация (условие «если…, то…») — читается: «если A, то B», или «из A следует B»; записывается: A ⊃ B, другое обозначение: A → B; другое название: логическое следование;
4. эквиваленция (условие «если…, то…») — читается: «A эквивалентно B», или «A равнозначно B», или «A, если и только если B»; записывается: А ~ В, другие обозначения: A ≡ B, A ↔ B; другие названия: эквивалентность, равнозначность;
5. отрицание (условие «неверно, что…») — читается: «не A», или «A ложно», или «неверно, что A», или «отрицание A»; записывается: ¬ A, другое обозначение: A´; другое название: инверсия.

Из указанных логических связок отрицание называется одноместной (унарной) связкой; другие называются двухместными (бинарными) связками. В принципе, логические связки могут быть сколь угодно местными, но на практике более, чем бинарные, используются очень редко. В классической логике (см. Логика) любые многоместные логические связки выразимы через перечисленные. Некоторый практический смысл даёт также использование тернарной логической связки, называемой условной дизъюнкцией, связывающей три высказывания A, B и C и означающей, что «A в случае B, и C в случае не-B» или формально: (B ⊃ A) & (¬ B ⊃ C).

Классическая логика рассматривает логические связки экстенсионально (игнорируя содержательный смысл связываемых ими высказываний) как функции истинности, определяемые истинностными значениями связываемых ими высказываний. При двух имеющих место в этой логике истинностных значениях 1 (истинно) и 0 (ложно) высказывания A и B могут иметь четыре возможных набора упорядоченных истинностных значений: (1, 1), (1, 0), (0, 1), (0, 0). Пропозициональная истинностная функция ставит в соответствие каждому перечисленному набору одно из значений истинности — 1 или 0. Всего таких функций 16. Конъюнкция приписывает выражению A & B значение 1 только в случае, когда как A, так и B истинны, то есть оба имеют значение 1, в остальных случаях значение A & B равно 0. Дизъюнкция Α ∨ B, напротив, ложна только в одном случае, когда ложны как A, так и B. Импликация A ⊃ B является ложной только при истинном (антецеденте) A и ложном (консеквенте) B. В остальных случаях A ⊃ B принимает значение 1.

Из четырёх одноместных функций интерес представляет только отрицание, меняющее значение высказывания на противоположное: когда A — истинно, ¬ A — ложно, и наоборот. Все другие унарные и бинарные классические функции могут быть выражены через представленные. Когда принятая в соответствующей семантике система логических связок позволяет дать определение всех остальных, её называют функционально полной. К полным системам в классической логике относятся, в частности, конъюнкция и отрицание; дизъюнкция и отрицание; импликация и отрицание. Конъюнкция и дизъюнкция определимы друг через друга за счёт эквивалентностей (A & B) ≡ ¬ (¬ A∨ ¬ B) и (A ∨ B) ≡ ¬ (¬ A & ¬ B), именуемых законами де Моргана, а также: (Α ⊃ Β) ≡ (¬ Α ∨ B), (A & B) ≡ ¬ (A ⊃ ¬ B), (Α ∨ B) ≡ (A ⊃ B) ⊃ A). Любая эквивалентность вида A ≡ B имеет силу только тогда, когда общезначима (всегда истинна) конъюнкция (A ⊃ B) & (B ⊃ A).

Функции антидизъюнкция и антиконъюнкция, определимые соответственно как ¬ (A ∨ B) и ¬ (A & B), также представляют каждая в отдельности функционально полную систему связок. Это последнее обстоятельство было известно уже Ч. С. Пирсу (неопубликованная при его жизни работа 1880 года) и было переоткрыто X. Шеффером. Используя антидизъюнкцию как единственную логическую связку, Шеффер в 1913 построил полное исчисление высказываний. Антидизъюнкцию обозначают A∣B и называют штрихом Шеффера, читая данное выражение, как «не-A и не-B». Ж. Нико употребил то же обозначение для антиконъюнкции («Неверно, что одновременно A и B») и с помощью только этой связки в 1917 сформулировал полное исчисление высказываний с одной (всего!) аксиомой и одним правилом вывода. Таким образом, штрихом Шеффера называют по сути саму вертикальную черту, которая у разных авторов может обозначать как антидизъюнкцию, так и антиконъюнкцию.

Экстенсиональность логических связок придаёт им однозначность, упрощает проблему построения логических исчислений, даёт возможность решать для последних метатеоретические проблемы непротиворечивости, разрешимости, полноты. Однако в некоторых случаях истинностно-функциональная трактовка связок приводит к значительному несоответствию с тем, как они понимаются в естественном языке. Так, указанная истинностная интерпретация импликации вынуждает признавать верными предложения вида «Если A, то B» даже в том случае, когда между высказываниями A и B (и, соответственно, событиями, о которых в них идёт речь) нет никакой реальной связи. Достаточно, чтобы A было ложным или B — истинным. Поэтому из двух предложений: «Если A, то B» и «Если B, то A», по крайней мере одно приходится признавать верным, что плохо сообразуется с обычным употреблением условной связки. Импликацию в данном случае специально называют «материальной», отличая её тем самым от условного союза, предполагающего, что между антецедентом и консеквентом истинного условного высказывания имеется действительная связь. При этом материальная импликация может прекрасно использоваться во многих контекстах, например, математических, когда при этом не забывают о её специфических особенностях. В некоторых случаях, однако, именно контекст не позволяет трактовать условный союз как материальную импликацию, предполагая взаимосвязь высказываний. Для анализа таких контекстов приходится строить специальные неклассические логики (например, релевантные логики), в язык которых вместо материальной импликации (или наряду с ней) вводятся другие импликации, которые понимаются интенсионально (содержательно) и верность которых не может быть обоснована истинностно-функционально. Интенсионально могут трактоваться также и другие логические связки.