Логика пара­непротиворечивая

Паранепротиворечивая логика — это раздел современной неклассической логики, в рамках которого логический принцип, не позволяющий выводить из логического противоречия (см. Логическое противоречие) произвольное предложение, не имеет места. В классической логике (см. Логика) некоторая теория называется противоречивой, когда в ней можно доказать одновременно и предложение, и его отрицание. Если при этом в теории можно доказать и произвольное предложение, она называется тривиальной. В стандартных системах логики понятия противоречивости и тривиальности не различаются, то есть противоречие в теории ведёт к её тривиальности. Паранепротиворечивая логика трактует противоречие иначе, чем классическая логика. В ней исключается возможность выводить из противоречий любые предложения, тем самым противоречие перестаёт быть угрозой разрушения теории. Однако этим не устраняется принципиальная необходимость избавляться от противоречий в ходе дальнейшего развития теории. Отсюда следует ещё одно определение паранепротиворечивой логики, несколько менее общее, чем предыдущее: логика называется паранепротиворечивой, если она может быть положена в основу противоречивых, но не тривиальных теорий. Паранепротиворечивой является также релевантная логика (см. Логика релевантная), в которой новая трактовка противоречия оказалась естественным следствием решения другой задачи — более адекватной, чем в классической логике, формализации условного высказывания. Термин «паранепротиворечивая логика» введён в 1976 году перуанским философом Ф. Миро-Квисада.

Строгое определение паранепротиворечивой логики связано с характеристикой отношения логического следования (см. Логическое следование). Его можно назвать чрезмерным (explosive), если оно удовлетворяет условию, что для любых формул A и B, из A и не-A следует произвольная формула B (символически: {A, ¬A} ⊢ B). Классическая логика, интуиционистская логика, многозначные логики (см. Логики многозначные) и большинство других стандартных логик являются чрезмерными. Логика называется паранепротиворечивой логикой тогда и только тогда, когда её отношение логического следования не является чрезмерным.

Стимулом для появления паранепротиворечивой логики послужила потребность в разработке противоречивых, но нетривиальных теорий. Теория называется тривиальной, если множество её теорем совпадает со множеством её формул; в противном случае теория называется нетривиальной. Стандартные системы логики не отделяют понятия противоречивости от понятия тривиальности, то есть противоречие в теории ведёт к её тривиальности. Отсюда ещё одно определение паранепротиворечивой логики несколько менее общее, чем предыдущее: логика называется паранепротиворечивой, если она может быть положена в основу противоречивых, но нетривиальных теорий. Именно такое определение впервые в литературе дано польским логиком Ст. Яськовским (1948) и независимо бразильским логиком Н. С. А. да Костой (1963). Иногда используется ещё один критерий паранепротиворечивости (критерий Яськовского) для логических исчислений с правилом вывода modus ponens: в таких системах не должен иметь места закон Дунса Скотта A ⊃ (¬A ⊃ B). Таким образом, паранепротиворечивая логика позволяет «локализовать» действие противоречия в том смысле, что наличие в теории противоречия не ведёт последнюю к разрушению, что в известном смысле является реализацией тезиса о неуниверсальности закона противоречия (см. Закон противоречия).

Вопрос о том, противоречив мир или нет, является весьма непростым, тем не менее на протяжении всей истории западной философии находились мыслители, которые настаивали на положительном ответе, начиная уже с досократиков, включая Гераклита. Наиболее значимой фигурой в этом отношении является Г. В. Ф. Гегель. В последнее время всё большее внимание привлекает онтология А. Мейнонга (1908), где утверждается существование противоречивых объектов, и всё чаще приводится высказывание Л. Витгенштейна (1930), что наступит время, когда начнутся математические исследования исчислений, содержащих противоречия, и люди будут гордиться тем, что освободились от непротиворечивости. Признание того, что существуют истинные противоречия, то есть имеются утверждения A такие, что вместе A и ¬A истинны, получило название концепции «диалетизма» (dialetheism). Термин введён в 1981 году Г. Пристом и Р. Роутли, и сама концепция в последнее время усиленно развивается Пристом.

Наличие противоречивых, но нетривиальных теорий и концепция диалетизма являются философской основой для изучения паранепротиворечивости. Примерами таких теорий является наивная теория множеств с парадоксом Б. Рассела, классическая теория истинности, порождающая семантические парадоксы типа «Лжец». Примеры противоречивых, но нетривиальных теорий можно найти в истории науки: теория движения Аристотеля, первоначальное исчисление бесконечно малых, теория атома Н. Бора и другие. Интересные примеры имеются в юриспруденции, в частности различные билли о правах и тексты конституций. Противоречивой является теология (парадокс всемогущества). Также неоспоримым фактом является то, что большинство людей, не осознавая этого, имеют противоречивые убеждения (верования). Вообще, по-видимому, имеет веские основания тезис, что любая достаточно сложная и интересная философия будет противоречивой. Подробно о философском значении паранепротиворечивости и обширнейшую литературу по этой теме можно найти в фундаментальном труде «Паранепротиворечивая логика. Эссе о противоречивости» (Paraconsistent logic: Essays on the inconsistent. — München, 1989). Концепция диалетизма требует применения паранепротиворечивой логики для рассуждения о противоречивой, но истинной теории.

На возможность построения логик без закона противоречия впервые одновременно (1910) и независимо друг от друга указали Н. А. Васильев и Ян Лукасевич. Первый из них предложил модифицировать аристотелевскую силлогистику за счёт новой формы: S есть P и не-P; Лукасевич же подверг серьёзной критике все формулировки закона противоречия у Аристотеля. Впоследствии паранепротиворечивая логика разрабатывалась в работах Ст. Яськовского и Н. С. А. да Коста.

Существуют различные способы опровержения и ограничения принципа «из противоречия следует всё что угодно». Отсюда и большое разнообразие самих паранепротиворечивых логик, которых на самом деле бесконечно много. Ниже перечислены четыре основных подхода в развитии пропозициональных паранепротиворечивых логик (предикатные их варианты являются их непосредственным расширением).

1. Дискуссивные (дискурсивные) паранепротиворечивые логики. Дискуссивная логика является исторически первой. Её построил Ст. Яськовский (1948), обозначив посредством D2. Как следует из названия, эта логика предназначена для выявления логики дискуссии, в которой участники могут иметь противоречивые мнения. Яськовский определяет эту логику посредством подходящей интерпретации в модальной логике К. Люиса S5. Дискуссивная логика является паранепротиворечивой, поскольку мы можем подобрать такую интерпретацию в S5, что ◊A и ◊ ¬ A имеют место, но не ◊B. Для того чтобы проходило правило modus ponens, Яськовский определяет дискуссивную интерпретацию импликации ⊃_d: A ⊃_d B = ◊A ⊃ B. Примечательной особенностью такой логики является то, что в ней не имеет места правило введения конъюнкции {A, B} ⊢ A & B. Поэтому зачастую такие логики называются не-адъюнктивными (non-adjunctive). Дискуссивным логикам посвящена большая литература, и есть различные обобщения данного подхода. Более того, в 1984 году было показано, что дискуссивную логику в духе Яськовского можно построить во всякой нормальной модальной логике.
2. Релевантные логики. По своей мотивации и развитию релевантные логики являются одним из классов паранепротиворечивой логики. Уже в силу критерия релевантности, сформулированного А. Белнапом в 1960 году, следует, что в релевантной пропозициональной логике доказуема не каждая формула, главный знак которой — релевантная импликация →, а антецедент противоречив, то есть, например, недоказуема формула (A & ¬A) → B. Существуют различные семантические подходы, показывающие паранепротиворечивость релевантных логик. Наиболее известной семантикой для релевантных является семантика возможных миров с тернарным отношением, развитая Р. Раутли и Р. Мейером в 1973 году. Конъюнкция и дизъюнкция для таких логик ведут себя обычным образом. Однако наиболее важным с точки зрения паранепротиворечивой логики является рассмотрение отрицания. С каждым миром w ассоциируется мир w*, так что w** = w*. Истинностные условия для — A следующие: — A истинно в w тогда и только тогда, когда A ложно не в w, a в w*. Таким образом, если A истинно в w, но ложно в w*, (A & ¬A) истинно в w. Ясно, что отрицание здесь является интенсиональным оператором. Тернарное отношение требуется при определении истинностных условий для релевантной импликации. Однако уже существуют различные упрощения первоначальной тернарной семантики возможных миров, данные Г. Пристом, Р. Силваном и Г. Ресталлом посредством разделения множества возможных миров на нормальные и ненормальные. Как и в случае с модальными логиками, различные ограничения на отношение достижимости между мирами дают различные релевантные, а следовательно, паранепротиворечивые логики.
3. Многозначные логики. Наиболее простым и наглядным способом конструирования паранепротиворечивости является такой, когда к двум классическим истинностным значениям 1 (истина) и 0 (ложь) добавляется третье истинностное значение S, интерпретируемое разными авторами как «антиномично», «парадоксально», «противоречиво». Приняв в качестве выделенных истинностных значений 1 и S и взяв S в качестве неподвижной точки, что позволяет определить отрицание как ¬(S) = S, имеем случай, когда (p & ¬ p) принимает выделенное значение. Очевидно, что эти логики, как и классическая, являются истинностно-функциональными. Не представляет труда сконструировать такие трёхзначные логические матрицы, в которых правило modus ponens имеет место, а закон Дунса Скотта нет.
4. Не-истинностно-функциональный подход. Это класс паранепротиворечивых логик, который наиболее широко известен и интенсивно исследуется со времени их появления. Основная идея здесь состоит в том, что берётся полный позитивный фрагмент интуиционистской или классической логики и не-истинностно-функциональным образом определяется отрицание. В 1963 году Н. С. А. да Коста построил бесконечную последовательность паранепротиворечивых логик, наименьшей из которых является C_w. К позитивному фрагменту интуиционистской логики добавляются следующие истинностные условия для отрицания:
   • (I) если v (A) = 0, то v (¬ A) = 1;
   • (II) если v (A) = 1, то v (¬ ¬ A) = 1;

   Где v есть функция оценки формул на множестве классических истинностных значений {0, 1}.

   Тогда для аксиоматизации C_w нужно к полной системе позитивной интуиционистской логики с единственным правилом вывода modus ponens добавить следующие две аксиомные схемы: A ∨ ¬ A и ¬ ¬ A ⊃ A. Добавляя другие истинностные условия, можно получить иерархию систем да Косты C_n (1 ≤ n ≤ w). Каждая логика C_n обладает следующими свойствами:

   • закон противоречия ¬ (A & ¬A) не является тавтологией;
   • из A и ¬A нельзя в общем случае дедуцировать произвольную формулу B;
   • каждая C_n является бесконечнозначной логикой.

   В свою очередь Д. Батенс (1980) берёт позитивный фрагмент классической пропозициональной логики и определяет отрицание условием (I). Тогда аксиоматизация получается посредством добавления к данному фрагменту только схемы аксиом A ∨ ¬ A. Следует отметить, что конверсия условия (I) даёт нам классическую логику.

Основная проблема, очевидно, заключается в определении операции отрицания. Как да Коста (и его школа, в особенности в последующих работах), так и Батенс пытаются определить отрицание максимально приближённо к классическому, но в то же время, чтобы оно было паранепротиворечивым. Дело в том, что истинность A и ¬A ставит вопрос о том, чем на самом деле является паранепротиворечивое отрицание? Эта проблема активно обсуждается в последнее время, что ставит вопрос о философском и логическом статусе отрицания вообще и более того — о статусе самой паранепротиворечивой логики, поскольку для некоторых из них (в определённом выше смысле) имеют место следующие выводимости: {A, ¬A} ⊢ ¬ B или {¬A, ¬ ¬ A} ⊢ B.

Возросший в последнее время интерес к паранепротиворечивым логикам объясняется их многочисленными применениями и приложениями. Наиболее важным применением является исследование возможно противоречивых теорий. В первую очередь это относится к формальной семантике и теории множеств. Уже построен целый ряд паранепротиворечивых теорий множеств, в которых расселовское множество существует. Более того, если формализованную арифметику строить на основе паранепротиворечивой логики, то истинное Гёделево предложение может быть доказуемо вопреки результату К. Гёделя (первая теорема о неполноте). Паранепротиворечивая логика имеет применение в естественных и социальных науках, в квантовой механике, в вероятностных и индуктивных рассуждениях, в теории нечётких понятий, в деонтической логике (моральные дилеммы), в доксатической логике (системы полагания). Особенно важно применение паранепротиворечивой логики в информационных и компьютерных системах, в которых возникают многочисленные задачи логической обработки противоречивой информации, например поступающей из различных источников.