Множество

Множество — это произвольная совокупность определённых и различимых объектов, мысленно объединённых в единое целое. Эти объекты называются элементами, или членами множества. Множество представляет собой одну из базисных категорий философского (см. Философия) и научного (см. Наука) дискурсов, рассматриваемая, как правило, совместно с категорией единого, а также одно из главных логико-математических понятий, развитое на основании этих категорий.

Введение в рассмотрение множества тех или иных предметов является одной из основных познавательных операций; при этом понятие множества становится отчётливым лишь в предположении, что элементы данного множества можно рассматривать как отдельные предметы. Кроме того, обычно предполагается возможность сравнивать — различать и отождествлять — любые два элемента множества. Основным принципом образования множества служит возможность рассматривать, в связи с каждым свойством, множество предметов, обладающих этим свойством. В соответствии с этим, в связи с каждым понятием можно рассматривать множество предметов, обладающих тем свойством, которое выражается этим понятием; соответствующее ему множество может состоять из любого (конечного) числа предметов; оно может также быть бесконечным; оно может быть и пустым, то есть вовсе не содержать элементов — так, в частности, бывает тогда, когда рассматриваемое понятие логически противоречиво (например, множество всех круглых квадратов пусто, так как никакой квадрат не может быть круглым). Множество может оказаться пустым и в том случае, когда соответствующее понятие непротиворечиво (то есть когда мыслимы предметы, обладающие выражаемым им свойством). Если понятие, в связи с которым образуется множество, имеет в виду конкретный предмет, — таковы, например, понятия, выражаемые собственными именами, — то множество состоит ровно из одного элемента. При этом множество, состоящее из одного элемента, следует отличать от самого этого элемента. В связи с рассмотрением множеств, состоящих лишь из одного элемента, могут возникать определённые трудности. Элементы множества могут быть отвлечёнными объектами, в их обозначение могут входить неопределённые имена (то есть языковые выражения в таком их употреблении, которое соответствует употреблению существительных с неопределённым артиклем в немецком и английском языках), или так называемые параметры. Так постоянно бывает, когда в рассмотрение вводятся множества точек, чисел и других математических объектов, которые при этом рассматриваются как неопределённые.

Понятие множества подробно рассматривалась уже в античной философии. Платон вводит понятие множества, исходя из противопоставления единого и иного. Единое, по определению, не подразумевает ничего, кроме себя, то есть не допускает никакого отношения и может быть мыслимо лишь само по себе. Иное же всегда есть иное по отношению к чему-то (также иному по отношению к нему). Следовательно, иное подразумевает множество. Однако множество невозможно мыслить, исключив представление о едином, поскольку в противном случае каждая его часть (элемент) не может быть рассмотрена как единство, а будет дробиться до бесконечности. Этот аргумент был впоследствии развит Проклом, который всякое множество рассматривал как причастное единому в двух отношениях: во-первых, как ограниченное целое, а во-вторых, как составленное из единичностей. Мысль о причастности множества единому он истолковал так, что всякое множество произведено от единого-в-себе, а единство является одновременно производящей мощью, которая уменьшается вместе с количественным ростом множества, поскольку последний означает уменьшение причастности единому. Важный аспект отношения единого и многого был рассмотрен Аристотелем, который среди других значений единства указал непрерывность (см. Континуум). Непрерывное количество (величина) едино и противопоставляется раздельному количеству, которое есть множество единиц (см. Количество). Попытка рассмотрения непрерывного количества как множества является грубой логической ошибкой, приводящей к апориям. Возникновение последних Аристотель объясняет именно неправомерным представлением единого (непрерывного) как множества — единого интервала времени как множества моментов или единого отрезка прямой как множества точек.

Философия Нового времени не уделила понятию множества такого серьёзного внимания, как античная. И. Кант ввёл эту категорию в свою таблицу чистых понятий рассудка как одну из трёх категорий количества (две другие — единство и цельность), но, рассматривая схемы количества, говорил уже не о множестве, а об экстенсивной величине. Последняя должна быть рассмотрена как цельность, формируемая последовательным прибавлением друг к другу множества частей.

Дальнейший философский интерес к понятию множества обусловлен развитием теории множеств в математике. Именно с этой теорией был в значительной мере связан кризис оснований математики, потребовавший значительной переоценки не только содержания математического знания, но и его философских оснований.

В качестве математической теории «учение о множествах» было создано Г. Кантором, который, впрочем, рассматривал его не как одну из математических дисциплин, а как фундамент для всей математики. Из понятия множества предполагалось вывести все основные математические понятия, прежде всего понятие числа. В основе канторовского представления о множестве лежит аристотелевское определение сущности, то есть того, что может выступать лишь как подлежащее предложения и о чём сказываются его свойства. Кантор рассматривает множество как класс предметов, наделённых общим свойством и ясно отличимых, на основании закона исключённого третьего (см. Закон исключённого третьего), от всех других предметов, этим свойством не обладающих. Само множество также рассматривается как сущность и может объединяться в совокупность с другими множествами. Причём часто используемый Кантором приём формирования множеств состоит в выделении всех предметов, обладающих данным свойством. Этот приём вызвал в дальнейшем серьёзные подозрения из-за того, что не указывает никакой конструктивной процедуры, а потому вводит в рассмотрение объекты, имеющие сомнительный онтологический статус. Для Кантора ясное указание свойства было достаточным основанием признать существующим и предмет, которому это свойство приписывается. Иными словами, свойство конституирует сущность, о которой сказывается. Но поскольку свойство отождествлено с множеством, всякое множество является конституирующим для своих элементов. Существование объекта всегда обусловлено его включением в множество. Поэтому Кантор строит бесконечную иерархию всё более мощных множеств, последовательно включаемых одно в другое. Это явно противоречит идеям Прокла, который в наращивании множественности видел угасание производящей мощи и нарастание неопределённости (беспредельность). Завершением этой иерархии явилось «множество всех множеств, не являющихся собственным элементом». Введённое так понятие содержит очевидное противоречие, однако способ его образования ничем не отличается от способов образования других понятий канторовской теории. Последнее обстоятельство поставило под подозрение всё созданное Кантором учение о множествах, а заодно и значительную часть всей математики, поскольку остался неясен сам механизм появления противоречия. Интересно, что все подобные попытки определить термин «множество» в математике приводят, по существу, к замене его другими, столь же неопределёнными понятиями.

Ещё одно введённое Кантором понятие, которое порождает трудности, — это понятие непрерывного множества. Важным результатом Кантора является теорема о том, что мощность любого множества всегда меньше мощности множества всех его подмножеств. В частности, множество всех подмножеств множества натуральных чисел превосходит последнее по мощности, то есть является несчётным. Кантор доказал также существование взаимно-однозначного соответствия между этим несчётным множеством и множеством всех точек произвольного отрезка прямой или множеством всех действительных чисел, лежащих в заданном интервале. Такие множества Кантор назвал непрерывными, а их множество — континуумом. Хотя эти множества довольно прочно вошли во многие учебники, их использование нельзя считать полностью логически оправданным. Уже Аристотель считал рассмотрение непрерывной конфигурации как множества грубой ошибкой. К этому можно добавить, что если признать, например, отрезок прямой состоящим из бесконечного числа отличимых друг от друга элементов, то невозможно представить никакого способа индивидуации этих элементов и их реального различения между собой, поскольку всякое множество имён или предложений языка может быть только счётным.

Канторовский проект создания теории множеств как основания математики был позднее осуществлён Э. Цермело, который создал аксиоматическую теорию множеств. В рамках этой теории действительно оказалось возможным дать определения основных понятий математики, исходя из понятия множества. Однако за подходом Цермело можно увидеть совершенно иные, нежели у Кантора, философские основания. Термины «множество» и «элемент множества» вводятся как неопределяемые, точнее, они определяются системой отношений, фиксированных в аксиомах. Последнее может значить, что они должны быть рассмотрены не как сущности, обладающие свойствами, а как неопределённые сами но себе объекты, обозначающие лишь места в заданной теорией абстрактной структуре.