Наименование: | Алгебра логики. |
Определение: | Алгебра логики — это один из основных разделов символической логики, в основе которого лежит применение алгебраических методов к логике. |
Раздел: | Концепты философского дискурса Концепты научного дискурса |
Дискурс: | Философия Наука |
Субдискурс: | Логика Логика формальная Логика символическая |
Текст статьи: © А. В. Кузнецов. А. С. Карпенко. Б. В. Бирюков. Подготовка электронной публикации и общая редакция: © Центр гуманитарных технологий. Ответственный редактор: А. В. Агеев. Информация на этой странице периодически обновляется. Последняя редакция: 29.07.2025. | |
Алгебра логики — это один из основных разделов символической логики, в основе которого лежит применение алгебраических методов к логике (см. Логика). Алгебра логики — исторически первая форма символической логики (см. Символическая логика), возникшая в середине XIX века в трудах Дж. Буля. К её созданию привела аналогия между решением алгебраических уравнений и выводом следствий из посылок, а также то, что алгебраические уравнения применимы при решении задач из различных областей знания. Поначалу алгебра логики имела своим предметом классы (как объёмы понятий), соотношения между классиками по объёму и связанные с этим операции над ними. Позднее, в связи с появлением в Попытки сведения логики к алгебре предпринимались ещё в В XIX веке поиск способов решения логических задач алгебраическими методами продолжился. Были введены чёткие представления об операциях над объектами логики, что стало возможным, прежде всего, благодаря трактовке понятий по их объёму. Кроме того, было введено понятие универсума — предметной области логики, Принципиальный прорыв в алгебраизации логики совершили А. де Морган и Дж. Буль; «Формальная логика» де Моргана и «Математический анализ логики» Буля вышли в 1847 году. В построениях обоих учёных содержались основания системы, которая ныне называется «булевой алгеброй». Де Морган кроме этого развил исторически первую систему алгебры отношений. Система Буля, называемая «алгеброй логики» (а иногда «алгеброй классов»), получила более широкую известность, чем построения де Моргана. В трудах В основе обычной, так называемой классической алгебры логики лежит абстракция высказывания как величины, имеющей одно (и только одно) из двух значений: «истина» или «ложь» (короче: И, Л), или могущей принимать оба эти значения (но не одновременно). В первом из этих случаев имеем индивидуальное высказывание (высказывание в узком, наиболее принятом смысле этого слова), во втором — высказывание-функцию. Примеры высказываний: « Абстракция в алгебре логики идёт дальше. Все истинные высказывания отождествляются между собой, так как истинное высказывание не отличается от другого истинного высказывания по значению (от других сторон высказываний в алгебре логики отвлекаются). Ложные высказывания тоже отождествляются. При рассмотрении же высказываний-функций в алгебре логики обычно отвлекаются от рассмотрения зависимости их от иных переменных, кроме таких, значениями которых тоже являются высказывания, вводя для их рассмотрения буквенные переменные, которые называют переменными высказываниями. Таковыми являются буквы A, B, C, … Α₁, A₂, A₃, … и так далее (при этом выбор букв — вопрос не существа, а соглашения) при условии, что они играют роль переменных, значениями которых могут быть всевозможные индивидуальные высказывания, то есть, в силу упомянутых абстракций, «константы» Кроме простых высказываний, обозначаемых отдельными буквами A, B… или И, Л, рассматриваются также сложные высказывания — результат соединения высказываний связками или отрицания их (соответствующего частице «не»). Сложные высказывания рассматривают как функции от входящих в них буквенных переменных A, B, C и так далее. Так появляется понятие функции алгебры логики — функции от аргументов, являющихся переменными высказываниями, то есть принимающих значения И, Л, которая (функция) может принимать тоже лишь эти значения. Вводятся алгебраические операции над высказываниями: конъюнкция Одной из важных сторон формализации, принимаемой в алгебре логики, является то, что знаками этих операций (то есть по смыслу, соответствующими им связками) можно соединять любые высказывания, без ограничения, в том числе и те, которые сами являются сложными. При этом удаётся точно и строго описать класс всех рассматриваемых выражений алгебры логики. В данном случае он состоит из констант Основная суть алгебры логики как системы методов состоит в использовании преобразований высказываний на основе алгебраических законов, которые имеют место для операций над высказываниями. Эти законы чаще всего имеют вид тождеств (см. Тождество), то есть равенств, верных при всех значениях переменных. Важную роль играют следующие тождества:
Эти тождества, устанавливаемые, например, с помощью таблиц, позволяют получать другие тождества. Тождеств Тождества V, VI, VII показывают, что константы Φ (a₁, a₂, … an) × (A₁ ~ a₁) × (A₂ ~ a₂) … (An ~ an), где a₁, a₂, … an, — набор из значений И, Л. Заменяя в этой дизъюнкции выражения Ai ~ И на Аi, а Аi, ~ Л — на ¬ Аi, а также стирая «коэффициенты» Φ (a₁, a₂, … an») равные И (по закону Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется выражение, которое есть буква И или Л или имеет вид A₁ ⋁ A₂ ⋁ … ⋁ As, где каждый член Ai, является либо буквенной переменной, либо её отрицанием, либо конъюнкцией таковых, причём s не обязательно отлично от 1, то есть знаков «⋁» может и не быть. ДНФ называется совершенной, если она есть И или Л или в каждом члене содержит ровно по одному разу все имеющиеся в ней буквы (переменные) и не имеет одинаковых членов. Всякое выражение алгебры логики можно привести к ДНФ. А всякую ДНФ можно привести к совершенной ДНФ, «домножая» члены на недостающие буквы (по закону Приведение к совершенной ДНФ позволяет по любым двум данным выражениям Важную роль играет так называемая сокращённая ДНФ. Последнюю можно определить как такую ДНФ, в которой 1) нет повторений букв ни в одном члене; 2) нет таких пар членов Аi, и Aj, что всякий множитель из Аi, имеется Кроме ДНФ, употребляются также конъюнктивные нормальные формы (КНФ). Это такие выражения, которые можно получить из ДНФ путём замены в них знаков «⋁» на «×», а «×» на «⋁». Преобразованием двойственности называется такое преобразование выражения алгебры логики, при котором в этом выражении знаки всех операций заменяются на знаки двойственных им операций, а константы: И на Л, Л на И; причём операция (или функция) Φ называется двойственной для операции Ψ, если таблица, задающая Φ, получается из таблицы, задающей Ψ, путём замены в ней всюду И на Л, а Л на И (имеется в виду одновременная замена и значений функции, и значений её аргументов). Если Φ двойственная Ψ, a Ψ двойственная X, то Φ = X. Например, конъюнкция и дизъюнкция двойственны между собой, отрицание двойственно самому себе, константа И (как функция) двойственна константе Л. Функция Φ(A₁, A₂, … An) двойственна функции Ψ (A₁, A₂, An), если, и только если, верно тождество: ¬ Φ(A₁, A₂, … An) = Ψ (¬ A₁, ¬ A₂, … ¬ An). Совершенную КНФ и сокращённую КНФ можно определить как такие КНФ, что двойственные им выражения есть соответственно совершенная ДНФ и сокращённая ДНФ. Совершенные и сокращённые ДНФ и КНФ можно использовать для решения задачи обзора всех гипотез и всех следствий данного выражения алгебры логики. Причём под гипотезой выражения A алгебры логики естественно понимать такое выражение B, что Ещё один, часто употребляемый в алгебре логики шаг абстракции, состоит в отождествлении И с числом 1, а Л — с числом 0. Вводится операция Всякую функцию алгебры логики можно представить через умножение (то есть конъюнкцию), сложение и константу 1 (теорема Жегалкина). В частности, верны следующие тождества:
Обратные представления имеют вид:
Тождества VIII позволяют «переводить» выражения «языка» конъюнкции, дизъюнкции и отрицания (КДО) на «язык» умножения, сложения и единицы (УСЕ), а тождества X — осуществлять обратный «перевод». Тождественные преобразования можно производить и на «языке» УСЕ. В основе их лежат следующие законы:
Этих тождеств достаточно для того, чтобы из них можно было вывести любое (верное) тождество, обе части которого суть выражения «языка» УСЕ. А добавив к ним тождества VIII, мы сможем выводить и все тождества «языка» КДО. Выражение «языка» УСЕ называется приведённым полиномом, если оно есть Кроме «языков» КДО и УСЕ существуют и другие «языки», обладающие тем свойством, что через операции (и константы) этих «языков» можно представить всякую функцию алгебры логики. Такие системы называются (функционально) полными. Примеры полных систем:
Иногда совершают ещё один важный дальнейший шаг абстракции. Отвлекаются от табличного задания операций и от того, что значениями буквенных переменных являются высказывания. Вместо этого допускаются различные интерпретации рассматриваемого «языка», состоящие из той или иной совокупности объектов (служащих значениями буквенных переменных) и системы операций над объектами этого множества, удовлетворяющих тождествам из полной системы тождеств этого «языка». «Язык» КДО в результате такого шага абстракции превращается в «язык» так называемой булевой алгебры, «язык» УСЕ — в «язык» так называемого булева кольца (с единицей), «язык» конъюнкции и дизьюнкции — в «язык» так называемой дистрибутивной структуры. Важным примером булевой алгебры является алгебра классов, в которой роль элементов играют подмножества (классы) некоторого фиксированного множества (так называемого универсума) U, роль 0 играет пустое множество 0, роль 1 — само U, роль AB, Всякую булеву алгебру можно «переделать» в булево кольцо, определив операцию
В настоящее время алгебра логики развивается главным образом под влиянием задач, встающих в области её приложений. Она находит широкое применение в технике, и наоборот, развивается сама под влиянием запросов техники и задач программирования. Вопросы, касающиеся понятий самой алгебры логики, приводят к проникновению в алгебру логики неалгебраических методов (таких как табличные, топологические, дескриптивные) и вследствие этого к постепенному выделению из алгебры логики самостоятельной области — теории функций алгебры логики (или иначе, теории булевых функций). Другие тенденции возможного дальнейшего развития алгебры логики связаны с успехами теории алгоритмов и попытках алгебраизации последней, то есть построения алгебраической теории алгоритмов. Всё большее прикладное значение приобретает теория булевых функций как самостоятельная область, выделившаяся из алгебры логики. В результате пришли к понятию функциональной системы (Pn, C), где Pn есть множество всех функций Другим направлением современного развития алгебры логики является алгебраическая логика. Она интересна тем, что выдвигает и частично решает задачу построения алгебр неклассических логик (см. Неклассические логики), то есть таких вариантов алгебры логики, которые соответствуют неклассическим исчислениям высказываний. В этой области существенным является вопрос о построении алгебраической семантики, под которой понимается класс всех моделей некоторой алгебры, соответствующей логике L, поскольку посредством алгебраической семантики решаются такие металогические проблемы, как полнота L (относительно общезначимости в классе всех моделей), разрешимость L и другие. В итоге пришли к общему вопросу о том, какая логика алгебраически представима, то есть имеет алгебраическую семантику, а какая нет. Ответ на этот вопрос дан в работе В. Блока и Д. Пигоцци (Blok, Pigozzi, 1989). Существенно, что современное развитие алгебраической логики представляет собой систематическое применение методов и, главное, аппарата универсальной алгебры к символической логике. На сегодняшний день речь уже идёт об алгебраическом охвате всей символической логики, и результаты здесь весьма значительны. К примеру, если Alg (L) обозначает класс алгебр, который соотносится с некоторой логикой L (если L есть классическая логика высказываний, то Alg (L) есть класс булевых алгебр), можно формулировать теоремы, утверждающие, что L имеет определённое логическое свойство тогда и только тогда, когда Alg (L) имеет определённое алгебраическое свойство. Это позволяет дать алгебраическую характеризацию таких логических свойств, как полнота, наличие теоремы дедукции, компактность, разрешимость, Интерполяционность Крейга, истинность формул в модели и так далее. Так, первые два свойства принимают следующий вид: L допускает строго полную гилбертовскую аксиоматизацию (Γ ⊦ A тогда и только тогда, когда Γ ⊨ A) тогда и только тогда, когда Alg (L) есть финитно аксиоматизируемое квази-многообразие; L допускает теорему дедукции тогда и только тогда, когда Alg (L) имеет эквационально определимые главные конгруэнции. | |
Библиография | |
---|---|
Издания на русском языке: | |
| |
Издания на других языках: | |
| |