Конструктивизм математический

Математический конструктивизм — это направление в метаматематике и математической логике и построенные на его основе логико-математические теории. Конструктивное направление представляет собой одно из основных направлений в основаниях математики. С точки зрения конструктивистов вся классическая математика является недостаточно строгой наукой, поскольку основана на разного рода нечётких понятиях, таких как «актуальная бесконечность», «универсальный характер» ряда законов логики (см. Законы логики) как необходимого и достаточного критерия существования математического объекта и других. Согласно конструктивистам, основным методом построения математических теорий должна быть не дедукция, а конструктивно-генетический метод (см. Законы логики), согласно которому любой математический объект и любые утверждения о нём должны быть результатом деятельности мышления (см. Мышление) по построению более сложных конструкций из более простых, по определённым, простым и контролируемым правилам построения — алгоритмам, позволяющим с помощью конечного числа шагов, конечного числа операций за конечное время однозначно получить итоговую конструкцию. Математический конструктивизм широкое признание и развитие в связи с развитием вычислительной математики и информационных систем.

Математический конструктивизм впервые возник и получил дальнейшее развитие в связи с проблемами обоснования математики в XX веке, однако конструктивистские тенденции в математике прослеживаются в той или иной форме со времён Античности, где в дискуссиях о математическом методе и способе бытия математических объектов зарождается понятие собственно конструктивности. Теория бесконечных множеств, созданная в конце XIX века усилиями немецкого математика Г. Кантора, пыталась дать окончательное обоснование всей классической математике. Однако через некоторое время в ней возникли антиномии, или парадоксы (см. Парадокс), которые свидетельствовали о том, что она не может считаться надёжным фундаментом здания математики. Со временем число парадоксов стало увеличиваться, и в математике заговорили о кризисе её оснований. В поисках выхода из этого кризиса было выдвинуто несколько новых программ её обоснования, одной из которых стала программа аксиоматизации теории множеств Кантора. Основная цель этой программы заключалась в том, чтобы, во-первых, ограничить использование понятия множества такими рамками, которые исключили бы возможность образования произвольных множеств, которые служат источником появления парадоксов. (К таким понятиям относится, например, понятие множества всех множеств Б. Рассела, которое не содержит себя в качестве собственного элемента. Для его популяризации он приводит пример деревенского парикмахера, бреющего тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами. На вопрос, как он должен поступить с собой, нельзя дать никакого определённого ответа. В самом деле, если он бреет себя, тогда, согласно принятому условию, он не должен брить себя; если же не бреет себя, тогда обязан брить себя.) Кантор, провозгласивший идею, что сущность математики состоит в её свободе, ничем не ограничивал процесс образования множеств. По мнению многих математиков, именно ничем не ограниченная свобода в образовании множеств и приводит к появлению парадоксов в этой теории. Во-вторых, необходимо было позаботиться, чтобы все свойства и отношения множеств, необходимые для обоснования математики, можно было логически вывести из аксиом теории множеств.

В начале XX века и позднее было создано несколько различных систем аксиоматической теории множеств. Однако все эти теории имели один общий недостаток: они доказывали, что в их рамках не могут появиться известные до сих пор парадоксы, но не гарантировали появления других, неизвестных, парадоксов. Наиболее радикальные программы по устранению парадоксов и выходу из кризиса оснований математики были выдвинуты сторонниками формализма (см. Формализм) во главе с Д. Гилбертом и интуиционизма (см. Интуиционизм), объединившихся вокруг Л. Е. Я. Брауэра. Гилберт пытался справиться с парадоксами теории множеств и спасти классическую математику от кризиса путём полной её формализации с помощью аксиоматического метода. Для этого необходимо было, во-первых, представить её в виде формализованной аксиоматической системы, а во-вторых, доказать непротиворечивость полученной формальной системы. Такие доказательства не используют абстракции актуальной бесконечности и поэтому должны проводиться с помощью финитных, или конечных, методов, которые являются настолько элементарными, что не вызывают каких-либо сомнений. Такие доказательства Гилберт рассматривает в метаматематике, которая выступает по отношению к формализованной математике как содержательная теория. Если с помощью финитных методов метаматематики в формализованной системе математики нельзя будет обнаружить противоречие, то есть доказать появление в ней двух противоречащих теорем или формул A и n A, то система будет считаться непротиворечивой, и в ней не могут появиться парадоксы. Однако доказательство в 1931 году К. Гёделем его широко известной теоремы о неполноте формальной арифметики показало невозможность осуществления полной формализации классической математики. Программу Гилберта математик А. А. Марков характеризует как неудавшуюся попытку обосновать теоретико-множественную математику на базе конструктивной, а самого Гилберта считает одним из основоположников конструктивной математики.

Дальнейшее развитие идеи конструктивизма получили в рамках интуиционистской математики, которую возглавил Л. Брауэр. Интуиционисты считали, что источником возникновения не только парадоксов, но и трудностей в теории множеств, служит использование в ней абстракции актуальной бесконечности. Парадоксы являются лишь симптомами необоснованного применения этой абстракции, поскольку в ней бесконечные множества уподобляются конечным множествам. Например, бесконечный ряд натуральных чисел рассматривается как актуально построенный, завершённый, одновременно заданный всеми своими числами, а не потенциальный, возникающий после прибавления единицы к предыдущему числу. Поэтому интуиционисты вместо абстракции актуальной бесконечности используют абстракцию потенциальной бесконечности. Они считают также, что сторонники теоретико-множественной математики необоснованно переносят законы классической логики, верные для конечных множеств, на бесконечные множества. Прежде всего, это относится к закону исключённого третьего (см. Закон исключённого третьего), который используется в чистых доказательствах существования в математике. В них существование математического объекта считается доказанным, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию. В противоположность этому интуиционисты считают существование объекта доказанным, если его действительно можно построить или вычислить. Поэтому они отказываются и от чистых доказательств существования в математике, и от применения закона исключённого третьего к бесконечным множествам.

Интуиционисты рассматривают математику как науку об интуитивно убедительных построениях математических объектов, а критерием истинности математических суждений считают возможность построения мысленного эксперимента, относящегося к этому суждению. Такая субъективистская трактовка математики подверглась критике со стороны представителей конструктивного направления в особенно советской школы конструктивизм во главе с А. А. Марковым, которые не используют такие неконструктивные объекты, как свободно становящаяся последовательность, континуум, среда свободного становления. Сторонники конструктивного направления, как и интуиционисты, отказываются от абстракции актуальной бесконечности и использования закона исключённого третьего по отношению к бесконечным множествам. Однако, в отличие от интуиционистов, они систематически применяют более слабую абстракцию потенциальной осуществимости, в которой отвлекаются от практических ограничений построения конструктивных объектов. Например, если представить число «один» из натурального ряда вертикальной чёрточкой, «два» — двумя чёрточками и так далее (I, II, III, IIII, …), то указанная абстракция отвлекается от практических ограничений, которые могут встретиться при написании достаточно большого натурального числа (недостаток бумаги, средств, времени и так далее). Однако она допускает возможность построения после натурального числа n следующего числа n + 1, но в отличие от актуальной бесконечности, не разрешает рассматривать все бесконечное множество таких чисел как построенное. Другой основной абстракцией конструктивной математики является абстракция отождествления, согласно которой два одинаковых объекта считаются одним и тем же объектом.

Исходными понятиями конструктивной математики служат понятия конструктивного объекта (см. Конструктивный объект) и конструктивного процесса (см. Конструктивный процесс), которые не определяются, а лишь поясняются. Конструктивными элементарными объектами являются слова в определённом алфавите, в котором под буквами подразумеваются разнообразные знаки, например вертикальные чёрточки, изображающие натуральные числа. Конструктивный процесс, результатом которого является определённое слово, будет сводиться к выписыванию одного знака за другим. Натуральный ряд чисел, начинающийся с нуля, будет задан в алфавите 0, 1. Если добавить к этому алфавиту знак минус (-) и знак дроби (/), то получится алфавит для рациональных чисел 0, 1, -, /, на основе которого можно строить рациональные числа как конструктивные объекты в указанном алфавите. Оформление и развитие конструктивного направления имело место на основе осуществлённого в 30-х годах XX века уточнения понятия алгоритма. Знаки в рассматриваемом алфавите, записи (программы) алгоритмов — всё это потенциально осуществимые конструктивные объекты. С помощью уточнённого понятия алгоритма в дальнейшем определяется понятие конструктивной последовательности рациональных чисел как алгоритма, перерабатывающего всякое натуральное число в рациональное (натуральное) число. Конструктивные действительные числа тогда будут определяться как регулярно сходящиеся последовательности рациональных чисел. Поскольку конструктивные действительные числа заданы в алфавите 0, 1, то алгоритмы над этим алфавитом дают возможность строить конструктивную функцию действительного переменного как алгоритм, перерабатывающий одно конструктивное действительное число в другое конструктивное действительное число. На основе этого определения в дальнейшем была разработана конструктивная теория функций действительного переменного, которая во многом существенно отличается от классической теории.

Методы конструктивного математического анализа дают возможность построить отдельные разделы традиционного анализа на более ясных исходных предпосылках, учитывающих, кроме того, вычислительные их возможности. На основе исходных методологических принципов и современной математической теории алгоритмов в рамках математического конструктивизма состоятся такие математические дисциплины, как конструктивный математический анализ, теория функций комплексного переменного, конструктивная теория дифференциальных уравнений и ряд других. В последние десятилетия намечается некоторая тенденция к сближению интуиционистских и конструктивистских в узком смысле представлений. Это выражается, в частности, в том, что в ряде конструктивистских исследований, в особенности относящихся к семантике (см. Семантика), используются индуктивные определения и доказательства, напоминающие построения, встречающиеся в работах Брауэра.