Метатеория

Метатеория — это логическая теория, в которой производится рассмотрение структуры, методов и свойств некоторой другой теории, в том числе её точное описание (то есть определение правил образования и преобразования) и исследование относящихся к ней результатов. Теория, исследование которой проводится в рамках метатеории, называется предметной, или объектной теорией, в качестве которой может выступать любая теория, подвергаемая строгому логическому анализу (см. Теория). В узком смысле метатеория понимается как теория, изучающая синтаксические, семантические и логические (специальные правила вывода) свойства систем с формализованным языком методами аксиоматизации, алгоритмизации, конструктивизации и другими. Основная задача построения метатеории состоит в уточнении (экспликации) соответствующих предметных теорий и анализе их свойств. При этом в рамках общей программы проведения метатеоретических исследований на предметные теории и метатеории не накладывается никаких ограничений: они могут быть содержательными, дедуктивными, частично или полностью формализованными и могут использовать любые логические средства. Метатеория представляет собой одно из наиболее важных понятий современной логики (см. Логика), математики, философии (см. Философия) и методологии науки (см. Методология науки).

В метатеории синтаксис анализируемой теории описывается на так называемом синтаксическом языке (см. Синтактика), а семантика — на семантическом (см. Семантика). Дедуктивные средства предметной теории формулируются в виде метааксиом и метатеорем, к которым следует относить не только исходные и производные правила вывода, но также синтаксические и семантические теоремы. Синтаксический и семантический языки вместе с метааксиомами и метатеоремами составляют метаязык. В метаязыке формулируются специальные аксиомы и теоремы, касающиеся синтаксических, семантических и дедуктивных свойств формализма. Как правило, метаязык включает в себя определённый фрагмент естественного языка, если все пояснения, относящиеся к формальной теории, ведутся на этом языке. Собственной частью синтаксического языка могут быть названы, например, переменные по пропозициональным функциям. Собственной частью семантического языка являются переменные по выражениям различных синтаксических категорий. Зачастую семантический язык включает в себя язык синтаксический, хотя в ряде случаев они могут и совпадать. Введение производных логических констант посредством дефиниций осуществляется в семантическом языке. На метаязыке строится теория моделей того или иного логического исчисления. На этом языке формулируются все теоремы о свойствах логических формализмов. Наиболее распространённой метаязыковой теорией является теория семантических категорий (см. Теория семантических категорий). Более специализированное рассмотрение метатеории имеет место в разделе математической логики — теории моделей, в которой прослеживается связь между дедуктивными и семантическими (алгебраическими) понятиями.

Понятие метатеории возникло в начале XX века в исследованиях по основаниям математики и логики применительно к изучению математического и логического формализма (Д. Гилберт, К. Гёдель, А. Тарский, Р. Карнап, А. Чёрч, С. Клини и другие), результатом чего явились программы построения оснований математики (метаматематики) и логических теорий (металогики). Сам термин «метатеория» был первоначально введён в 1904 году Д. Гилбертом в связи с выдвинутой им программой обоснования математики. Гилберт предложил сделать доказательство в аксиоматической теории предметом специальной математической дисциплины, названной им метаматематикой или теорией доказательств. Возникновение и развитие неклассических логик, стимулировавшее вначале сдвиг логических исследований в сторону металогических исследований, в дальнейшем привело к появлению и метаметалогических исследований. О металогике (см. Металогика) говорит в своей статье, опубликованной в 1913 году, Н. А. Васильев. Общее понятие метаязыка и метатеории было введено А. Тарским в 1933 году в работе «Понятие истины в языках дедуктивных наук», где он чётко формулирует необходимость различать язык, о котором говорим, и язык (метаязык), на котором говорим, а также теорию (науку), служащую предметом исследования, и теорию (метанауку), в которой мы проводим исследование.

Одной из исходных посылок метаматематической программы Гилберта послужило утверждение о том, что в качестве предметной теории, для которой будет строиться соответствующая метатеория, следует брать не некую содержательную теорию (например, содержательную математику), а её формализованное представление в виде исчисления или формальной системы (теории). Такая формальная система строится по явно сформулированным, чётким правилам; она может состоять из неинтерпретированных знаков и знакосочетаний (формул, выражений) — в этом случае она является синтаксической, или её элементам приписывается определённая интерпретация, то есть фиксируется их смысл или значение, — и в этом случае она является семантической. Метатеория, которая строится по отношению к таким образом представленной предметной теории, является содержательной теорией, то есть она состоит из содержательно понимаемых элементов естественного языка. В ней формулируются метатеоремы (теоремы о теоремах), которые описывают синтаксические и семантические свойства соответствующей предметной (формализованной) теории.

Для того, чтобы метаматематика выполнила свою основную функцию — обоснования содержательной математики, она, согласно Гилберту, должна пользоваться только так называемыми финитными методами, то есть использовать лишь конечные конструкции и конструктивные доказательства, не допускающие применения абстракции актуальной бесконечности, которая играет важную роль в содержательной математике и в её формализованном представлении. В рамках этой программы был получен ряд важных метатеоретических результатов. Так, была доказана синтаксическая метатеорема о дедукции, которая устанавливает связь между понятием выводимости (доказуемости) в данной предметной теории (например, в исчислении высказываний или исчислении предикатов) и логической операцией импликации, входящей в алфавит данной предметной теории. Примером семантической метатеоремы является теорема о полноте классического исчисления высказываний, согласно которой для этого исчисления понятия доказуемой формулы (формальной теоремы) и формулы, истинной при некоторой его интерпретации, совпадают. Некоторые понятия метаматематики носят смешанный — синтаксически-семантический характер. Таково, например, понятие непротиворечивости, которое синтаксически определяется как невыводимость в предметной теории противоречия, то есть конъюнкции некоторой формулы и её отрицания, а в семантическом плане означает соответствие данной предметной теории некоторой её интерпретации. Эквиваленность этих определений является нетривиальным метатеоретическим фактом.

Несмотря на указанные и многие другие метатеоретические результаты, впоследствии оказалось, что метаматематическая программа Гилберта, и прежде всего его финитистская установка, не могут быть реализованы. Это убедительно показал К. Гёдель (1931), доказав свои две широко известные теоремы. Согласно его первой теореме, любая формализованная система, достаточно богатая для того, чтобы включать в себя арифметику натуральных чисел, неполна, так как в ней имеются правильно построенные формулы (выражения), которые не доказуемы и не опровержимы в её рамках. Вторая теорема утверждает, что если арифметическая формальная система непротиворечива, то невозможно построить доказательство её непротиворечивости, проведённое средствами, формализуемыми в этой системе. Эти теоремы, имеющие несомненное философско-методологическое значение, свидетельствуют об ограниченности метода формализации теорий, который лежит в основе гилбертовской метаматематической программы, и о том, что с помощью финитных методов нельзя доказать непротиворечивость не только классической математики, но даже и классической арифметики. Вслед за результатами Гёделя были раскрыты и другие ограниченности формализмов: Чёрч доказал неразрешимость проблемы разрешения для узкого исчисления предикатов, Тарский показал невыразимость предиката истинности для какого-либо исчисления средствами этого же исчисления и так далее. В связи с этим потребовалась определённая модификация программы Гилберта — необходимо было найти новые, более сильные, чем финитные, но также достаточно убедительные методы метатеоретических рассуждений. Значительный прогресс в этом отношении был получен в середине и во второй половине XX века Г. Генценом, В. Аккерманом, П. С. Новиковым, К. Шютте, А. С. Есениным-Вольпиным и другими исследователями.

Метаматематические и металогические исследования остаются актуальной задачей и в настоящее время. Метатеоретическая направленность исследований в настоящее время становится характерной чертой не только логики и математики, но и других дисциплин. При этом часто сами исследователи не квалифицируют свои исследования как метатеоретические. Результатами таких исследований явились попытки построения метабиологии, метахимии, метатеории физического знания, метатеории теорий систем и далее метанауки, однако в них пока не получены значительные метатеоретические достижения, сравнимые с теми, которые имеются в метаматематике и металогике.