Логика релевантная

Релевантная логика — это раздел современной (неклассической) символической логики, который введён в качестве альтернативы классической символической логике (см. Логика символическая). В названии «релевантная» (под релевантностью принято понимать смыслосоответствие между информационным запросом и полученным сообщением; в русском языке термины «релевантный», «релевантность» представляют собой кальку с английского relevant — «уместный», «относящийся к делу») ¹ нашло отражение то обстоятельство, что в ней исключаются свойственные классической логике (см. Логика) принципы, которые с точки зрения интуиции и, главное, реальной практики рассуждений трактуются как неуместные, не соответствующие этой практике, парадоксальные. Хотя релевантную логику обычно характеризуют как раздел современной символической логики (точнее, как один из разделов современной неклассической логики), возможна, однако, и другая трактовка релевантной логики, а именно как нового этапа развития современной символической логики. Это развитие состоит в усовершенствовании, «релевантизации», отдельных логических систем (классической, интуиционистской логики, модальных систем и других), страдающих парадоксами следования и импликации, за счёт устранения парадоксов, указывающих на неточность фундаментальных понятий логических систем.

Релевантная логика отличается от классической логики в двух основных пунктах.

Во-первых, в объектный язык исчислений вводится интенсионально понимаемая импликация, истинностное значение которой в отличие от экстенсиональной материальной импликации не детерминируется истинностными значениями связываемых высказываний. В одних исчислениях, таких, как R, вводимая импликация близка к обычному условному союзу «Если…, то»… и часто именуется релевантной импликацией. В других, например в известном исчислении Е, импликация вводится в объектный язык как необходимая условная связь (в англоязычной литературе её именуют entailment), которая также понимается интенсионально и, по замыслу, с чем согласны одни (Войшвилло Е. К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. — М., 1988) и не согласны другие (Сидоренко Е. А. Логическое следование и условные высказывания. — М., 1983), должна служить формальным аналогом логического следования (см. Логическое следование). Технически для фигурирующих в релевантной логике импликаций интенсиональность означает, что принципов, аналогичных известным парадоксам материальной импликации A → (B → A) и A → (¬ A → B), в релевантной логике не имеется.

Во-вторых, в релевантной логике, чтобы принять метаутверждение об отношении логического следования между A и B (символически: A ⊨ B), недостаточно того факта, что B — тождественно истинно, или A — тождественно ложно (противоречиво). Соответственно в релевантных исчислениях нет и теорем вида A → B, где B есть теорема, а A — произвольная формула, или A является отрицанием теоремы, а B — произвольной формулой.

Первые попытки преодоления парадоксов следования были предприняты ещё в древности (Диодор Кронос) и в основном основаны на предпосылке о модальном (необходимом) характере условной связи. Своё логическое завершение они получили в работах К. Льюиса, предложившего для формализации условной связи так называемую «строгую» импликацию. Однако такой подход не решил проблемы, сохранив принципы, согласно которым необходимое высказывание следует из любого, а невозможное влечёт любое. Эти принципы называют парадоксами строгой импликации.

В связи с попытками устранить парадоксы следования надо отметить оригинальные идеи, высказанные нашим соотечественником И. Е. Орловым, построившим «исчисление совместности предложений» (Математический сб., 1928, т. 12, № 4), основу которого составляла неклассическая интенсиональная конъюнкция. При жизни автора на эту работу не было обращено заслуженного внимания, но в 70-е годы XX века выяснилось, что предложенная им система эквивалентна негативно-импликативному фрагменту системы R — одной из центральных систем современной релевантной логики.

Однако первым, кто осознанно поставил перед собой задачу экспликации логического следования как связи между высказываниями по содержанию и решил её, построив специальное исчисление, был В. Аккерман (Ackerman W. Bergundung einer strengen Implikation. — «The Journal of Symbolic Logic», 1956, v. 21). С выходом его работы начинается развитие релевантной логики как полноправной логической теории, хотя сам термин «релевантная логика», предложенный, по-видимому, Д. Правитцем, появился и тем более утвердился значительно позднее.

До конца 1960-х годов релевантная логика развивалась как совокупность исчислений, не имеющих адекватной семантики. А. Андерсоном и Н. Белнапом были построены различные системы релевантной логики, среди которых следует отметить четыре наиболее важные. Система E_fde — это система релевантного следования первого уровня, формализующая отношение следования между формулами, не содержащими знака импликации. Самая сильная система релевантной логики — это система R, формализующую условную связь. Она удовлетворяет требованию релевантности — наличия в антецеденте и консеквенте по крайней мере одной общей пропозициональной переменной.

Система Е — релевантного следования была предназначена для формализации отношения следования, носящего необходимый характер; она является также модальной системой, в которой оператор необходимости выражается через релевантную импликацию — ⎕ A ⇔ (A → A) → A.

Благодаря наличию в её дедуктивном базисе аксиомы (A → A) → B) → B, иногда называемой «аксиома-модализатор», в системе Е оказываются доказуемы следующие формулы с оператором необходимости: ⎕A → A; A → B ⎕ (A → B); ⎕A → A → B → ⎕B.

Наиболее слабой из названных является система Т, в которой импликация эксплицирует понятие законо-подобной связи, понимаемой как множество разрешённых переходов от одних фактически истинных высказываний к другим. Три последние системы содержат E_{f < k} в качестве фрагмента и отличаются друг от друга только импликативными аксиомами. Система R оказывается слишком сильной для выражения модальности. В её дедуктивный базис включается аксиома A → (A → A) → A), известная как «аксиома-демодализатор», поскольку она (учитывая приведённое выше определение модальности через импликацию) разрушает систему модальностей, делая её тривиальной. В свою очередь, система Т слишком слаба для выражения модальностей. Её аксиоматизация не включает ни «аксиому-модализатор», ни «аксиому-демодализатор». Существует целый ряд более слабых систем релевантной логики. Кроме того, Е. А. Сидоренко показала возможность бесконечного множества систем сильнее Е, но слабее R.

Символическая релевантная логика ближе к той логике, которая употребляется в обычных рассуждениях. Вместе с тем в ней, по сравнению с классической, возникают серьёзные семантические проблемы. Например, отвергая утверждение ¬ A, A ⊨ B о выводимости произвольного B из противоречия ¬ A, A, необходимо обосновать отвержение утверждения о логическом следовании ¬ A, A ⊨ B в семантическом смысле, а также иметь семантику, в которой формулы вида ¬ A & A → B, ¬ (A → A) → B, A → (B → B) и так далее, антецеденты которых противоречивы, или консеквенты общезначимы, не были бы семантически истинными. В целом, технические решения найти удалось, однако с содержательной точки зрения предлагаемые семантики выглядят весьма искусственными. Так, в семантику возможных миров пришлось вводить «невозможные возможные миры» и тернарное (вместо обычного бинарного) отношение достижимости одних миров из других. Такого положения удаётся избежать на пути построения двухуровневой семантики возможных миров (Сидоренко Е. А. Реляционная семантика релевантных исчислений. — В книге: Логические исследования, вып. 3. — М., 1995), позволяющей считать формулу B исчисления семантически истинной, если и только если она верифицируется в тех мирах, где постулирована истинность B → B. При этом семантическая истинность B не влечёт семантической истинности A → B. Двухуровневая реляционная семантика позволяет избежать парадоксов следования и легко адаптируется ко всем исчислениям релевантной логики и их модальным и кванторным расширениям.

В конце 1960-х годов М. Данном были предложены различные варианты алгебраических семантик для систем E_fde и R. В начале 1970-х годов Р. Роутли и Р. Майер и независимо от них советский логик Л. Л. Максимова построили семантику возможных миров (см. Семантика возможных миров) с трёхместным отношением достижимости, обобщающую семантики Крипке, для системы R. Наиболее существенными характеристиками семантики возможных миров для релевантной логики являются следующие:

• вводится понятие «невозможного» возможного мира, то есть мира, в котором некоторая формула и её отрицание могут быть либо одновременно истинны, либо одновременно ложны;
• условие истинности для формул импликативного вида формулируется с использованием тернарного отношения между возможными мирами — а ⊧, A → B ⇔ ∀b∀c (Rabc ⇒ (b ⊧, A ⇒ c ⊧, B));
• условие истинности для негативных формул задаётся через специальную семантическую функцию, что подчёркивает неклассический характер отрицания в релевантной логике, — а ⊧, ¬ A ⇔ неверно, что а *⊧, A.

Позднее данный подход был распространён авторами на другие системы релевантной логики. В 1980-е годы было доказано, что все достаточно богатые системы релевантной логики (включая R, Т, Е) являются неразрешимыми. Лишь для их фрагментов, полученных исключением аксиом дистрибутивности или сокращения, эта проблема нашла позитивное решение. В этой связи интерес к дальнейшей разработке релевантной логики в последнее время связан с развитием слабых разрешимых систем, которые находят применение в компьютерной науке, моделировании аргументации и процессов изменения знаний.