Программа эффективизма

Программа эффективизма, или эффективизм, полуинтуиционизм — это направление в философских основаниях математики и логики, выступающее за пересмотр основных классических теоретико-множественных понятий и принципов с точки зрения возможностей их эффективной (конструктивной) определимости (осуществимости). Эффективизм сложился в начале XX века во французской школе теории функций и множеств (А. Пуанкаре, Э. Борель, А. Лебег, Р. Бэр и другие) как реакция на крайнюю абстрактность теории множеств Г. Кантора, претендовавшей на исчерпывающее обоснование математического анализа и математики в целом. Это обоснование «хотя и дало интересные и очень творческие результаты, но не привело к уверенности в строгости, так как сама общая теория множеств, развиваемая чисто логически, вошла в столкновение с парадоксами, остановившими её активное развитие» (Лузин Н. Н. Собрание сочинений, т. 3. — М., 1959, с. 312). Эффективизм послужил предтечей интуиционизма (см. Интуиционизм) и конструктивизма (см. Конструктивизм).

Философские установки эффективизма определялись его оппозицией к основным абстракциям канторовской теории — актуальной бесконечности, произвольного выбора, трансфинитной индукции. Не отрекаясь от теоретико-множественных методов мышления вообще, эффективисты попытались переосмыслить эти абстракции на основе принципов, близких к позиции эмпиризма. В частности, они считали реальными только такие абстрактные объекты математики, которые прошли проверку на их конечную определимость (выразимость) и индивидуацию. В этом смысле вещественный континуум не был строго определённым понятием, не говоря уже о континуумах более высокого порядка (например, всех вещественных функций). Поэтому эффективисты в качестве реальных множеств признавали только счётные (как доступные опыту), а все другие (трансфинитные) рассматривали (ещё до гилбертовского формализма — см. Формализм) как идеальные объекты, возможно полезные (в качестве символов) для классификации математических реалий, но лишённые эмпирического содержания. В этом смысле, одной из главных заслуг эффективизма является конструктивное осмысление континуума без ясной идеи самих конструктивных методов. По существу эффективизм и положил начало осознанию важности этих методов в математике. Он первый (при отсутствии точного понятия алгоритма) ввёл понятие вычислимых точек континуума и отделил «счётность» множества от его «перечислимости» (Борель). Правда, оценивая рассуждения о трансфинитном только как façon de parler, связанные с некритическим использованием абстракции актуальной бесконечности, эффективизм (в отличие от интуиционизма и конструктивизма) недооценил роль логики в признании допустимости тех или иных рассуждений. Встав на путь построения «конструктивной теории множеств», он не отказался от классической логики, полагая, что существование многих логик было бы для математики «печальной роскошью» (H. H. Лузин).

Наряду с этим, историческое значение эффективизма заключается не только в указанной по существу философской роли — он положил начало многим математическим исследованиям, в том числе исследованиям в области дескриптивной теории множеств (функций) — принципиально важному направлению, позволившему глубже понять основы математического анализа, соотношение в нём «конструктивного» и «неконструктивного», уточнить методы и возможности (границы методов) теории множеств и прийти к выводам, многие из которых (например, относительно неразрешимости некоторых её проблем) были позднее подтверждены уже средствами математической логики. Философские установки эффективизма позднее инициировали многие исследования в области логики и металогики (А. Тарский, Т. Скулем, П. С. Новиков). Усилиями эффективистски мыслящих математиков была создана и дескриптивная теория множеств (функций), развитие которой в 1920–1930-х годах связано прежде всего с работами участников московской математической школы Д. Ф. Егорова — Н. Н. Лузина и их учеников: М. Я. Суслина, П. С. Новикова, А. Н. Колмогорова, П. С. Александрова, Е. А. Селивановского, М. А. Лаврентьева, Л. В. Келдыша, Л. В. Канторовича, А. А. Ляпунова и других.