Наименование: | Интуиционизм. |
Определение: | Интуиционизм — это одно из трёх главных направлений (наряду с логицизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики и логики, в основе которого лежит принцип математического построения. |
Раздел: | Концепты философского дискурса Концепты научного дискурса |
Дискурс: | Философия Наука |
Субдискурс: | Логика Логика математическая |
Связанные концепты: | Программа логицизма Программа формализма Логика интуиционистская |
Текст статьи: © Η. Η. Непейвода. Подготовка электронной публикации и общая редакция: © Центр гуманитарных технологий. Ответственный редактор: А. В. Агеев. Информация на этой странице периодически обновляется. Последняя редакция: 29.07.2025. | |
Программа интуиционизма, или интуиционизм — это одно из трёх главных направлений (наряду с логицизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики и логики (см. Логика), в основе которого лежит принцип математического построения. Основное отличие интуиционизма от других направлений в том, что он ставит иную цель математике: не доказательство «истинных» теорем, а поиск «интуитивно убедительных» и «наглядно-содержательных» математических («умственных», в терминологии первоначального интуиционизма) конструкций, органично соединяющих в себе построение и его обоснование; при этом построение является единственным средством обоснования в математике. Интуиционизм отвергает использование в математике и логике идеи актуальной бесконечности и взгляд на логику как на науку, «предшествующую» математике. Главным объектом интуиционистской критики стал широко используемый в классической математике и логике закон исключённого третьего (см. Закон исключённого третьего). Согласно интуиционизму, вся математика должна опираться на интуитивное представление ряда натуральных чисел и на принцип математической индукции, истолковываемый как требование действовать последовательно, шаг за шагом; допускаются лишь конструктивные доказательства существования рассматриваемого объекта, указывающие способ его построения. Представители интуиционизма полагают, что чистая математика является мыслительной активностью, не зависящей от языка, её объект — нелингвистические математические конструкции. Язык служит лишь для сообщения математических идей, математика не сводится к языку и тем более не может быть истолкована как особый язык. Предметом исследования (математической) логики является математический язык, более или менее адекватно передающий математические построения. Логика вторична по отношению к математике, последняя не может быть обоснована с помощью логических средств. Предшественниками интуиционизма являются немецкий математик XIX века Л. Кронекер, французские эффективисты, А. Пуанкаре и Э. Борель. Они с разных позиций отмечали признаки неблагополучия в математике, связанные с тем, что в классической математике доказательства многих теорем существования не дают построений искомых объектов, и пытались несколько ограничить математические конструкции для устранения данного недостатка. Идеи интуиционизма в явном виде были сформулированы в начале XX века голландским учёным Основания для выводов Брауэра (с несколько модернизированной точки зрения) таковы. Согласно теореме К. Гёделя о неполноте, в достаточно богатой теории имеется такая формула G, что ни она, ни её отрицание недоказуемы. При помощи классической логики легко вывести: ∃x(G ⇒ x = 0) & (⌉G ⇒ Согласно анализу При таком подходе логика не может рассматриваться как нечто данное a priori, она должна подбираться в соответствии с классом рассматриваемых объектов Наиболее интересны следующие результаты Брауэра. Операторы над последовательностями выбора должны использовать конечное число значений последовательности для получения конечной выходной информации. На основе этого он доказал непрерывность интуиционистски определимых функций действительной переменной. Брауэр показал, что на самом деле в разных областях математики использовались разные понятия функции действительной переменной, в частности, что измеримые функции не стоит для конструктивных целей трактовать как операторы над действительными числами. Сразу же после формализации интуиционистской логики многие математики начали развивать вариации интуиционизма, либо ещё сильнее ограничивая логику, либо ещё сильнее ограничивая объекты. Йохансон предложил использовать в качестве основы для интуиционизма минимальную логику, но оказалось, что в любой теории, содержащей натуральные числа, интуиционистское отрицание определимо, и переход к минимальной логике ничего нового не даёт. Д. Грис предложил рассматривать безотрицательную математику, в которой запрещены пустые понятия типа квадратного круга. Продвижение в данном направлении идёт весьма медленно Новый импульс исследованиям в области интуиционистских понятий дали интерпретация интуиционистской логики А. А. Марков (1947) и советская школа конструктивизма развили вариант математики, последовательно проводящий идею о том, что нет ничего, кроме конструктивных объектов, а алгоритмы отождествляются с их программами. Он ввёл «принцип Маркова», явно разделивший обоснования и построения, разница между которыми с самого начала ощущалась в интуиционизме. Содержательно принцип Маркова гласит, что для обоснования уже проделаных построений можно пользоваться классической логикой (это показал Реализуемость выявила, что интуиционистские теории могут расходиться с классическими. Например, если A(x) — неразрешимое свойство натуральных чисел, то конструктивно верна формула — ∀x(A(x) ∨ ⌉A(x)). Зафиксировав понятие вычислимой последовательности, мы сохраняем свободу при определении операторов высших типов. Первым это показал Клини, построив общерекурсивную реализуемость, при которой выполнена схема: ∀x (⌉A(x) ⇒ ∃yB ( Э. Бишоп (1960), переопределив вычислимые функционалы, предложил вариант интуиционизма, который характеризуется принципом: «использовать лишь алгоритмы, но явно этого не говорить». Этот вариант, в дальнейшем развитый многими учёными, в том числе П. Мартин-Лёфом, соединил многие преимущества брауэровского и марковского подходов. Сам Брауэр после появления реализуемости по Клини сосредоточился на примерах вычислимости, не подходящих под понятие алгоритма. В частности, он предложил следующие новые типы последовательностей — творческую последовательность α(n) = 0, если в году n не доказана формула A, и 1, если она доказана; и беззаконную последовательность, обладающую следующим свойством: ∀α(A(α) ∃n∀β(∀m(m < n ⇒ α(m) = β(m)) ⇒ A(β))), то есть всё, что мы о них знаем, мы знаем из уже полученной информации. А. С. Трулстра (1974) доказал, что композиции алгоритмов и беззаконных последовательностей образуют интуиционистскую модель, в которой можно промоделировать творческие последовательности. Беззаконные последовательности явились первым примером позитивного использования незнания в точных науках. Возможность сформулировать незнание в виде логической формулы — ещё одно достижение интуиционизма. С конца Голландская школа, наоборот, рассмотрела приложения интуиционистских понятий к теории множеств, расширяющие понятие эффективной операции, и получила ряд глубоких результатов. В частности, аксиома выбора интуиционистски становится почти безвредной, так что она концептуально противоречит закону исключённого третьего, а не эффективности построений. Интуиционистские теории возникают также при категорной интерпретации логики. Интуиционизм, остро поставив вопросы оснований математики, способствовал развитию других направлений, в частности, формулировке программы Гилберта. Он выдвинул на первый план понятие построения, что способствовало повороту математики в сторону приложений. Он показал важность идеальных объектов при построениях, что обосновало неполноценность плоских прагматических и утилитаристских концепций и возможность рациональной альтернативы традиционному рационализму, что до сих пор как следует не использовано современной философией (см. Философия) и систематикой (см. Систематика). | |
Библиография | |
---|---|
| |