Логики неклассические

Неклассические логики — это широкая область логических исследований, выходящая за пределы или, наоборот, сужающая область исследований классической логики высказываний (см. Логика высказываний) и логики предикатов (см. Логика предикатов). Неклассические логики представляют собой логические системы, в основе которых лежит иное, чем в классической логике (см. Логика), истолкование традиционных логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и кванторов. В некоторых неклассических логиках к числу исходных традиционных логических связок добавляются такие, как «необходимо», «возможно», «разрешено», «будет» и другие.

Неклассические логики начали развиваться в начале XX века. Предпосылки для них были высказаны ещё до того, как стали проводиться систематические исследования по логике высказываний (Э. Пост, 1921). В 1908 году выходит статья Л. Брауэра с вызывающим названием: «О недостоверности логических принципов», где даётся критика классических законов исключённого третьего A ∨ ¬ A и снятия двойного отрицания ¬ ¬ A ⊃ A. Это был ответ Брауэра на обнаружение парадоксов в теории множеств. В 1910 году одновременно и независимо друг от друга русский логик Н. А. Васильев и польский логик Я. Лукасевич подвергли критике закон непротиворечия ¬ (A ∧ ¬ A), став в этом смысле предшественниками паранепротиворечивой логики. В 1929–1930 годах идеи Брауэра были реализованы В. Гливенко и А. Гейтингом, которые аксиоматизировали интуиционистскую логику, а ещё ранее А. Н. Колмогоров (1925) в продолжение начатой Брауэром критики классической логики обратил внимание на аксиому A ⊃ (¬ A ⊃ B) как не имеющую интуитивного основания. В результате появилась аксиоматизация импликативно-негативного фрагмента минимальной логики. В 1920 году в законченном виде появляется трёхзначная логика Лукасевича, которая возникла в результате опровержения философской концепции логического фатализма посредством отбрасывания принципа двузначности (бивалентности). В этой логике не имеют места ни закон исключённого третьего, ни закон непротиворечия, ни закон сокращения (A ⊃ (A ⊃ B)) ⊃ (A ⊃ B).

В 1912 году американский логик К. И. Льюис строит новую теорию логического следования взамен теории материальной (классической) импликации. Исходным мотивом Льюиса было избавиться от так называемых парадоксов материальной импликации: A ⊃ (B ⊃ A) A ⊃ (¬ A ⊃ B) и другие. В результате вводится новая импликация «→», названная им «строгой». Поскольку Льюис считал, что логическое следование тесно связано с понятиями необходимости и возможности, то вводятся также модальные операторы с аналогичным названием. Уже в 1918 году Льюисом была сформулирована первая модальная система, названная им впоследствии S 3. Однако оказалось, что строгая импликация Льюиса не менее «парадоксальна», чем материальная, поскольку имеют место следующие законы: A → (B → B), (A ∧ ¬ A), то есть истина следует из чего угодно и из лжи следует всё, что угодно. Следствием отказа от этих законов явилась логика следования Ε (Ackermann, 1956), а ещё ранее в результате обнаружения ослабленной формы теоремы дедукции появилась релевантная импликация (Church, 1951). Формулировка критерия релевантности (Belnap, 1960; Донченко, 1963) определила бесконечный класс законов классической логики, неприемлемых для релевантных логик. Наконец, с появлением и развитием квантовой физики подвергся критике закон тождества A ⊃ A, поскольку, согласно Э. Шрёдингеру, этот закон в общем случае не имеет места для микрообъектов. Такие логики получили название «логики Шрёдингера».

Таким образом, указанные выше неклассические логики появились в результате критики тех или иных законов классической (аристотелевской) логики, и в итоге напрашивался вывод, что логика не основывается ни на каких принципах или законах. Совершенно иной подход к построению неклассических логик продемонстрировал А. Н. Прайор, который в результате логического анализа и реконструкции «главенствующего аргумента» (kyrieyon) Диодора Крона впервые ввёл в логику временные операторы и построил первые системы временной логики, причём в качестве основы берётся вся классическая пропозициональная логика C₂ и уже к ней добавляются аксиомы, определяющие вновь введённые операторы. Подобным образом строятся деонтические логики, эпистемические, императивные и многие другие, поскольку возможности изобретения всё новых операторов, добавляемых к C₂, неограниченны.

Таким образом, сложились два основных подхода к конструированию неклассических логик:

1. ограничение (сужение) C₂ посредством отбрасывают каких-либо законов классической логики;
2. расширение C₂ посредством добавления новых логических связок.

В редакционной статье первого номера журнала «The Journal of Non-Classical Logic» (1982) именно эти два подхода и выделены. Точно такое же разделение на два основных класса принято и в «Handbook of Philosophical Logic», где во второй том вошли неклассические логики, расширяющие C₂, а в третий том — неклассические логики, сужающие C₂ (здесь они названы «альтернативными» к C₂). Но такое деление не является исчерпывающим, поскольку существуют неклассические логики, не принадлежащие ни к одному из этих двух классов, например комбинаторная логика, инфинитарные логики, системы Лесневского и так далее. Однако возникают более существенные трудности при допущении дихотомии, указанной пунктами 1 и 2. Оказалось, что модальные логические системы строгой импликации Льюиса и Лэнгфорда (1932) можно строить как расширение C₂, добавив к последней аксиомы, определяющие модальные операторы (Гёдель, 1933). То же самое можно сделать с абсолютным большинством многозначных логик. Например, конечнозначные логики Лукасевича, Бочвара, Поста и так далее есть расширение C₂ (Аншаков и Рычков, 1984). Более того, существует погружающая операция, которая переводит (вкладывает) C₂ в интуиционистскую логику Н (Гливенко, 1929). Это означает, что последняя богаче C₂, хотя на первый взгляд является подсистемой C₂. Но Гёдель показал (1933), что Н есть расширение C₂, если в качестве логических связок последней взять конъюнкцию и отрицание. Более того, существуют подсистемы C₂, слабее Н, но в которые переводится C₂. На самом деле, перевод одной логики в другую довольно распространённое явление и в последние десятилетия стала разрабатываться теория такого феномена (Wbjcicki, 1988; Epstein, 1990). В свою очередь следует отметить, что целый ряд неклассических логик содержит фрагмент (или фрагменты), изоморфный C. Таково, например, большинство конечнозначных логик. Тогда можно предположить, что C₂ переводится в некоторую логику L, если L содержит фрагмент, изоморфный C₂. Отсюда следует возможность аксиоматизации L как расширения C₂.

Вот некоторые достаточно известные неклассические логики: интуиционистская и конструктивная, суперинтуиционистские (промежуточные), подсистемы классической логики (ВСК, ВСІ и так далее), многозначная, модальная, временная, модально-временные логики, релевантная и следования, контрфактуалы и кондиционалы, паранепротиворечивая логика, логика комбинаторная и лямбда исчисления, квантовая, эпистемическая, деонтическая, императивная, немотонная логика, свободные логики, логика вопросов (эротетическая логика), интенсиональная, индуктивная логика, вероятностная логика, нечёткие (нечёткозначные логики), логика подтверждений и порождения гипотез, логика решений, динамическая логика, логика программ, онтология Лесневского, силлогистика и другие. На современном этапе развития логики многие из указанных направлений представляют разделы символической логики (см. Символическая логика) и давно потеряли какие-либо следы своего философского происхождения.

Большое внимание при изучении неклассических логик уделяется установлению связей между различными логиками. Кроме обычного отношения включения (все верные формулы одной логики являются тавтологиями в другой), большой интерес представляет переводимость одной логики в другую. Например, по любой формуле интуиционистской логики можно построить формулу модальной логики, тавтологичность которой в модальной логике эквивалентна справедливости исходной формулы в интуиционистской логике. Это позволяет свести многие проблемы интуиционистской логики к проблемам модальной логики. Модальные логики являются в некотором смысле универсальными, так как для многих логик возможен их перевод в подходящие модальные логики.

Бесконечное разнообразие неклассических логик (существуют континуумы логик определённого класса, например континуум суперинтуиционистских логик), а также критика и возможная элиминация любого закона логики и результаты, связанные с переводом одних логик в другие, — всё это поставило сложнейшую проблему выработки, по возможности, единого подхода к такому явлению, как «мир логики». Среди основных подходов в этом русле, чётко обозначенных в последнее время, выделяются следующие:

1. алгебраический подход — логика есть часть универсальной алгебры (W. J. Block, D. Pigozzi, 1989);
2. семантический подход (R. L. Epstein, 1990);
3. теоретико-доказательный подход (D. M. Gabbay, 1996);
4. классификация логик посредством конечных булевых решёток, элементами которых являются различные логические исчисления (А. С. Карпенко, 1997).

Все эти подходы имеют те или иные ограничения, поэтому сейчас обсуждается вопрос о построении универсальной логики (J.-Y. Beziau и другие). Итог развития неклассических логик тот же самый, что для символической логики и философской логики, а именно — постановка к концу XX века вопроса о том, что такое логика.