Семантика возможных миров

Семантика возможных миров — это метод логического анализа семантических конструкций (модальных и интенсиональных понятий), основу которого составляет рассмотрение так называемых возможных миров — мыслимых положений дел (идеальных альтернатив, описаний состояний, точек соотнесения).

Первым предложил уточнять смысл модальных понятий в процессе анализа альтернативных состояний дел Д. Скотт. В его теории «возможное» понимается как области концептуальной непротиворечивости. Среди логических возможностей (possibile logicum) выделяются классы эквивалентных областей на основе отношения их совозможности (compossibilitas). Из них выделяется один класс — «действительный мир». При этом некоторые логические возможности понимаются как реальные альтернативы действительному миру (possibile real). Идею возможных миров (см. Возможные миры) использовал Г. В. Лейбниц для толкования «необходимо истинного» как того, что имеет место во всех возможных мирах, а случайно истинного как того, что имеет место в некоторых из них. Классически возможный мир (или описание состояния дел) суть совокупность элементарных (атомарных) высказываний и их отрицаний, причём для каждого элементарного высказывания в эту совокупность входит либо оно само, либо его отрицание, но не оба вместе. Элементарное высказывание считается выполняющимся (истинным) в данном возможном мире, если оно ему принадлежит; истинность сложного высказывания определяется индукцией по построению этого высказывания. Идея Лейбница состояла в том, что высказывание необходимо истинно, если оно истинно во всех возможных мирах. Так, высказывание «необходимо, что 2 × 2 = 4» истинно, поскольку во всех возможных мирах (мыслимых ситуациях) действуют основные арифметические истины; в то время как высказывание «необходимо, что вода кипит при 100 градусах» признать истинным нельзя, поскольку температура кипения воды меняется, например, в зависимости от высоты над уровнем моря. На содержательном (доматематическом) уровне такое понимание, распространённое с необходимости на другие интенсиональные операторы, оказалось полезным для уточнения многих концепций в гуманитарных науках, таких как психология (например: экспликация понятий знания, веры, памяти, восприятия, желания, и так далее), лингвистика (например: анализ временных контекстов) и других.

Наибольшее развитие и применение семантика возможных миров получила в логике (см. Логика), точнее — в неклассической логике (прежде всего, в модальной логике), как одном из разделов математической логики (см. Логики неклассические). Р. Карнап (1946), исходя из идей Лейбница, строит первую содержательную семантику для модального языка, уточняя понятие возможного мира в понятии «описание состояния». Его система содержит исчерпывающее определение полных и непротиворечивых описаний состояний атомарных фактов. Точные методы семантики возможных миров были созданы к середине 1950-х годов благодаря независимым работам С. Кангера («классы структур», «свойства модальных операторов»), Р. Монтегю (отношения между «идеальными моделями», «точки соотнесения», «окрестностные семантики»), Б. Джонсона, А. Тарского (связь алгебраических характеристик со свойствами бинарных отношений), Я. Хинтикки («модельные множества», отношение «со-разрешения», отношение альтернативности), К. Мередита, И. Томаса, А. Прайора («мировые скачки», «world-jumping») и в особенности работам С. Крипке (1959) по реляционным семантикам, в которых вводится отношение достижимости (relation of accesibility) между мирами, а также альтернативности, информативности и так далее.

Метод семантики возможных миров используется для определения значения выражений, семантический статус которых зависит не от единственного положения дел, а от многих возможных положений дел, как, например, в языках модальной логики. Модальный язык содержит следующие символы: p, q, r — пропозициональные переменные; &, ∨, ⊃, ¬ — логические связки (конъюнкция, дизъюнкция, импликация, отрицание, соответственно); ⃞ — оператор необходимости, а также скобки. Так, ⃞ A читается: «необходимо A», где A — любая правильно построенная формула модального языка. Под модельной структурой понимают пару <W, R>, где W — множество (непустое) возможных миров, a R — бинарное отношение на W. Отношение R называют отношением достижимости; w₁ Rw₂ читается: мир w₂ достижим из мира w₁ способом, зафиксированным в свойствах отношения R. Модель рассматриваемого модального языка строится как упорядоченная тройка <W, R>, где W и R — как и прежде, a φ есть функция, приписывающая значения переменным: φ (p) ⊆ W. Неформально, функция φ выделяет множество миров, где имеет место событие, описанное высказыванием p. Следующий шаг построения модели состоит в том, что функция приписывания переменным расширяется до функции означивания (сложных) формул. Символ ⊨ используется для обозначения понятий логического следования и общезначимости. Для M = <W, R, φ>, если A, B есть формулы модального языка, то M, w, φ ⊨ A читается: в модели M, в возможном мире w при приписывании φ истинно A. Понятие истины в модели при данном приписывании определяется следующим образом:

1. M, w, φ ⊨ p, если и только если w ∈ φ (р) (мир  w принадлежит множеству миров, где имеет место факт, описываемый p).

2. M, w, φ ⊨ A & B, если и только если M, w, φ ⊨ A и M, w, φ ⊨ B.

3. M, w, φ ⊨ A ∨ B, если и только если M, w, φ ⊨ A или M, w, φ ⊨ Β.

4. M, w, φ ⊨ Α ⊃ Β, если и только если M, w, φ ⊨ A, то M, w, φ ⊨ Β.

5. M, w, φ ⊨ ¬ Α, если и только если неверно, что M, w, φ ⊨ A.

6. M, w, φ ⊨ ⃞ A, если и только если для всех w’ таких, что wRw’ имеет место M, w, φ ⊨ A.

Понятие истины в модели и общезначимости определяются следующим образом. Формула A истинна в модели М, если A истинна в любом мире w при любом приписывании φ. Формула A общезначима в модельной структуре <W, R>, если A истинна во всех моделях данной структуры. В данной модели возможный мир рассматривается как совокупность фактов, совместимых друг с другом. Именно при определении модального оператора необходимости ⃞ A в рассмотрение включаются возможные миры. (Формула ⃞ A истинна в модели М, в мире w, при приписывании φ, если ⃞ A истинна во всех мирах, достижимых из данного по отношению R).

Данного типа семантики называют реляционными по той причине, что в них отношение между мирами понимается как достижимость определённым способом. Каждой модальной аксиоме (аксиомной схеме), синтаксически заданной, в семантике соответствует отношение достижимости R с определённым набором свойств. Например, в нормальных системах модальной логики принятие аксиомной схемы ⃞ Α ⊃ Α («Если A необходимо, то A») влечёт принятие такого свойства отношение R как рефлексивность. При принятии аксиомных схем ⃞ (A ⊃ B) ⊃ (⃞ A ⊃ ⃞ B), ⃞ A ⊃ A и правила вывода: если ⊨ A, то ⊨ ⃞ A, отношение R становится отношением эквивалентности (R — рефлексивно, симметрично и транзитивно).

В современных неклассических логиках понятие возможного мира обогащается новыми смыслами. Возможные миры по количеству и качеству подразделяются на полные (неполные) и непротиворечивые (противоречивые). Понятие полного возможного мира предполагает построение моделей, в которых все константы (индивидные и предикатные) всюду определены. Этот факт означает, что можно вычислить значение любой правильно построенной формулы. Семантически различаются «твёрдые десигнаторы» (rigid designator — в терминологии Крипке) и «нетвёрдые десигнаторы». В каждом возможном мире w индивидная константа как «твёрдый десигнатор», скажем m, именует индивид, причём константа m указывает на единственный индивид a, какой бы возможный мир ни рассматривали. Примером нетвёрдого десигнатора может служить имя «Мисс Европа», которое в зависимости от возможного мира (времени и ситуации) указывает на разные индивиды. Возможно положение дел, в котором индивидная константа не указывает ни на один индивид (провал в значении). Скажем, если значение m не определено в мире w’, тогда и истинностное значение формулы P ( m) не определено (истинностно-значный провал). Мир w’ представляет собой неполное описание состояния. Противоречивые миры (описания состояния) включают в себя логически противоречивые формулы. Неполные и противоречивые миры могут служить примером неклассических миров или «невозможных возможных миров». Во многих моделях вводятся специальные функции, отождествляющие индивиды в разных возможных мирах («трансмировые линии» в терминологии Хинтикки).

В неклассических логиках смыслы понятия «возможный мир» варьируются от области и задач исследования. Можно различать логическую и физическую необходимость, полагая в последнем случае, что ⃞ φ означает, что «φ есть следствие законов физики». При таком прочтении отношение wRv имеет место, если ν есть научная альтернатива w, то есть мир, в котором выполняются все научные законы мира w. В эпистемической логике ⃞ φ трактуется как «познающий знает, что φ», wRv означает, что ν есть эпистемическая альтернатива к миру w, v должно быть совместимо со всем тем, что известно познающему в мире w. В деонтической логике ⃞ φ понимается как «должно быть так, что φ истинно», a wRv означает, что ν есть идеальная нравственная альтернатива w, то есть ν — мир, в котором сохраняются все нравственные законы мира w.

Современные исследования по неклассическим логикам идут по пути структуризации истинностного значения. Конструируются комплексные модели, сочетающие понятия возможного мира, момента времени, субъекта произнесения (миры наблюдателя), субъектов пропозициональных установок (миры познающих). Иногда различают возможные миры как глобальные описания состояний, включающие все рассматриваемые точки соотнесения, и как локальные описания (возможные миры в узком смысле). Структуризация значения предполагает конструирование многоуровневых семантик возможных миров.