Отношение

Отношение — это логико-философская категория, которая определяет связь между некоторой сущностью и тем, что с ней соотнесено. Понятие об отношении возникает как результат сравнения любых двух предметов (называемых субъектами или членами отношения) по выбранному (или заданному) основанию сравнения (признаку). Таким образом, отношение характеризует взаимозависимость элементов определённой системы.

Категорию отношения в философию (см. Философия) впервые ввёл Аристотель, писавший, что нечто «есть то, что оно есть», лишь «в связи с другим или находясь в каком-то ином отношении к другому» (Аристотель. Сочинения, т. 2. — М., 1978, с. 66). В этом смысле существовать для соотнесённого — значит находиться в каком-либо отношении к другому. По Аристотелю, сущность есть условие возможности отношений. При этом подразумевается, что всякое отношение соотносит сущности определённых видов (или сортов, как принято говорить в прикладной логике). Однако ещё до Аристотеля понятие отношения фактически рассматривалось другими эллинскими мыслителями, в частности Платоном. Для последнего отношение есть связь между идеями, благодаря которой они становятся доступными познанию. Начиная от Платона и Аристотеля идёт осмысление комплекса проблем, связанных с бытием отношений, и, прежде всего, вопрос об онтологическом (см. Онтология) статусе отношения — является ли отношение столь же реальным, что и объекты, в этом отношении находящиеся. Различные философские школы давали на этот вопрос разные ответы. В целом, естественно считать, что отношения между вещами столь же реальны, как и сами вещи, — в том смысле, что нет вещей вне каких-либо отношений и нет отношений, которые не связывали бы какие-либо вещи (явления, события, процессы и так далее).

В формулировках естественных языков отношения выражаются обычно сказуемыми фраз, имеющих более одного подлежащего (или подлежащее и одно или несколько дополнений). В зависимости от числа этих подлежащих (или подлежащих и дополнений) различают двухместные (бинарные), трёхместные (тернарные) и вообще n-арные отношения. С точки зрения современной логики (см. Логики неклассические) отношения рассматриваются как многоместные (многочленные) предикаты — в отличие от свойств как одноместных предикатов (см. Логика предикатов). Понятие «отношение» служит исходным для определения некоторых важных для математики и логики понятий. Теория отношений, особенно её [полу]формализованное изложение в виде так называемого исчисления отношений (см. Логика отношений), была объектом пристального внимания многих логиков. Первые её систематические изложения принадлежат О. де Моргану и Ч. С. Пирсу, наиболее полное — Э. Шрёдеру.

Содержательные представления об отношении как логической категории реализуются в точных терминах на различных уровнях абстракции и процедур формализации. Простейший подход — теоретико-множественный, когда отношение понимается как упорядоченное множество пар (для бинарного отношения), троек (для тернарного отношения), вообще n-ок предметов. Если задан упорядоченный набор (кортеж) x₁, x₂, … x_n, где x_i (i = 1, 2, … n) — переменные из некоторой предметной области или областей (из множества или множеств, на которых определены соответствующие переменные), то говорят, что между предметами, представляемыми данными переменными, существует отношение R, и записывают это как R (x₁, x₂, … x_n); при n = 2 — это бинарное отношение, обычно представляемое формулой x₁ R x₂, — наиболее простой и вместе с тем весьма важный случай отношения, иллюстрируемый, например, равенствами и неравенствами (x₁ = x₂, x₁ ≠ x₂) для чисел и выводимостями (x₁ ⇒ x₂) для высказываний. Совокупность первых элементов, входящих в какое-либо бинарное отношение x₁ R x₂, называется областью (определения) отношения R, a совокупность вторых элементов — конверсной областью этого отношения, или противообластью. Область и противообласть могут не входить, а могут и входить в одно и то же множество и даже совпадать с ним (обозначим его через M). В этом случае бинарное отношение R на множестве M оказывается подмножеством Декартова произведения M x M, коим является множество всех упорядоченных пар элементов из M. Это означает, что выполнение R для элементов x и y из M равносильно включению кортежа x, у в R.

Бинарное отношение как двухместный предикат, интерпретируемый как высказывание x₁ Rx₂ относительно индивидных переменных x₁ и x₂, обращается в истину при выполнении отношения для некоторых предметов a и b, подставляемых на места переменных x₁ и x₂. Для бинарных отношений естественно определяются операции дополнения, объединения и пересечения (аналоги соответствующих операций над классами), а также операция умножения (композиции) двух отношений — R₁ и R₂; а именно R₁ R₂ выполнено для x₁ и x₂ (то есть верно высказывание x₁ R₁ R₂ x₂), если, и только если, в множестве M существует элемент x_k, для которого верны как x₁ R₁ x_k, так и x_k R₂ x₂ (если R₁ = R₂, то данная операция порождает степень отношения R₁ и обозначается R₁ ²). Для каждого бинарного отношения существует обратное ему отношение R_–1, обладающее свойством x₁ R_–1 x₂ = x₂ Rx₁.

Бинарное отношение R на множестве M геометрически интерпретируемо как граф, множеством вершин которого являются элементы множества M, a отношение x₁ R x₂ изображается стрелкой (ориентированным ребром графа), которое выходит из вершины x₁ и входит в вершину x₂. Среди бинарных отношений особо важны отношения эквивалентности (типа равенства), толерантности (сходства) и порядка. Эти отношения различаются по тому, выполняются или не выполняются для них свойства рефлексивности (или антирефлексивности), симметричности и транзитивности, имеющие следующий смысл: (1) рефлексивность: для любого объекта x_i из M верно высказывание x_i R x_i, то есть всякий элемент x_i находится сам с собой в данном отношении; (2) симметричность: для любых объектов x₁ и x₂ из высказывания x₁ R x₂ следует высказывание x₂ R x₁; (3) антисимметричность: если верно, что x₁ R x₂, то обратное отношение x₂ R x₁ верно, только если R рефлексивно; (4) транзитивность: если выполнены отношения x₁ R x₂ и x₂ R x₃, то выполнено и отношение x₁ R x₃.

Рефлексивное и симметричное отношение R называется отношением толерантности (сходства) или просто толерантностью; антисимметричное и транзитивное отношение называется отношением порядка; рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение называется отношением эквивалентности (равенства) или эквивалентностью. Эквивалентность задаёт разбиение множества M на непересекающиеся подмножества (классы эквивалентности), так что если для неких x₁ и x₂ верно x₁ R x₂, то x₁ и x₂ принадлежат одному и тому же классу. Отношение толерантности порождает систему классов толерантности: выполнимость x₁ R x₂ для x₁ и x₂ означает в этом случае их попадание хотя бы в один общий класс.

Важный случай составляют тернарные отношения, обладающие тем свойством, что для любых x_i и x_j существует единственный x_k, при котором x_i, x_j, x_k входит в R. Такое отношение называется (некоторой) операцией, элементы x_i и x_j — операндами, а элемент x_k — результатом операции x_k = x_i * x_j, где * есть знак данной операции. Так, операция сложения чисел соответствует отношению, выполняемому на всех тройках чисел, для которых x_k = x_i + x_j.

На заданной области M можно определить отношение и неопределённой арности, когда R состоит из кортежей разной длины. Например, если M — множество слов, то можно задать отношение ранжированности, которое, по определению, выполняется для любого набора слов, в котором они перечислены в алфавитном порядке.

Для создания так называемых реляционных баз данных полезно формальное описание связи между объектами разных сортов; в этом случае отношение R понимается как подмножество Декартова произведения, определяемого не на единственном множестве M, a на многих множествах M₁, M₂, … M_m.