Логика отношений

Логика отношений — это раздел логики предикатов (см. Логика предикатов), в котором рассматриваются отношения между объектами определённой предметной области (областей). Хотя логика отношений представляет собой частный случай логики предикатов, а именно многочленных, или многоместных (n-местных, n ≥ 2), предикатов (свойств и отношений; свойства трактуются как одноместные отношения), изучение отношений составляет особую сферу, особенно когда исследуются двуместные (бинарные) отношения. Обычное обозначение последних имеет вид R₂(x, y) или хRy, где х, y — переменные, значениями которых являются предметы заданной области (областей), a R — какое-либо отношение («раньше», ≥, «отличаться от», и так далее), на бинарность которого указывает индекс при знаке предиката (Р, Q, R).

С объёмной точки зрения, бинарное отношение — это класс упорядоченных пар (для трёхчленных, или тернарных, отношений — это упорядоченные тройки, для четырёхчленных — четвёрки и так далее) предметов (данной предметной области или областей), для которых действует данное отношение.

В общем случае отношение записывается в виде R_n (x₁ x₂ … x_n), что читается: предметы x, x_r, x_n (из заданной предметной области или областей) находятся между собой в отношении R_n. Если n = 1, то отношение «вырождается» в свойство. При этом знак отношения (свойства) — в зависимости от принятого построения логики — может выступать как метазнак для соответствующего предиката, как переменная для предикатов или как обозначение конкретного отношения либо свойства.

Хотя теория отношений входит в логику предикатов, рассмотрение тернарных (когда n = 3) и особенно бинарных отношений составляет в нём относительно самостоятельный раздел. Тернарное отношение может служить для выражения бинарной операции над предметами данной предметной области, например, когда R(x, y, z) есть x + y = z, где переменные означают числа из некоторой числовой области.

В случае бинарных отношений, кроме записи R(x, y), применяется запись хRy, что соответствует принятым обозначениям вида x = y x < y, x |– y (x логически влечёт y), x муж y, и так далее. Совокупность первых элементов бинарного отношения называется областью его определения, а совокупность вторых элементов (y) — его конверсной областью, или противообластью. Область и противообласть могут входить в одну и ту же предметную область, но могут относиться к разным областям (ср. приведённые примеры).

Бинарное отношение, рассматриваемое как двуместный предикат, то есть высказывательная форма xRy, где x и y индивидные переменные, обращается в истинное либо ложное высказывание aRb после подстановки вместо x и y предметов (точнее, имён предметов — b) из данной предметной области (областей).

Если два бинарных отношения определены на одной и той же предметной области, то для них естественным образом определяются операции объединения и пересечения двух произвольных отношений и дополнения отношения до отношения, являющегося универсальным, то есть выполняющемся для любых пар предметов данной области; эти операции аналогичны операциям над классами (множествами, объёмами понятий). Но для бинарных отношений определена операция, не имеющая аналога в теории классов: умножение двух отношений. А именно: PQ, являющееся произведением двух отношений, есть такое отношение xPQy, которое обращается в истинное высказывание, когда в предметной области существует предмет z такой, что верно как xPz, так и zQy; так, отношение «a есть внук b» есть произведение отношений «сын» и «дочь», если существует такой человек c, что «a есть сын c» и «c есть дочь b».

Существует ряд бинарных отношений, которые особенно важны с гносеологичекой точки зрения. Это отношения эквивалентности (отношения типа равенства), сходства (толерантности), порядка — строгого и нестрогого и другие. Эти отношения различаются выполнением либо невыполнением свойств:

1. рефлексивности;
2. транзитивности;
3. симметричности;
4. антисимметричности.

Свойство (1) состоит в том, что для любого x из некоторой предметной области М верно xRx, то есть любой предмет находится к самому себе в данном отношении.

Свойство (2) — в том, что для любых предметов x, y из М xRy влечёт обратное отношение yRx.

Свойство (3) — в том, что если верно xRy и yRz, то верно xRz.

Свойство (4) — в том, что если xRy и yRx один и тот же предмет.

Отношение эквивалентности обладает свойствами (1), (2) и (3), отношение сходства — свойствами (1) и (3) (в частности, оно не транзитивно). Отношение, которому присущи свойства (1), (2) и (4), называется (нестрогим, частичным) порядком; это отношение типа х < y. Транзитивное и антисимметричное отношение (при котором если верно xRy, то x отлично от y) образует строгий порядок (отношение типа x < y); это отношение линейно в том смысле, что для любых х, y либо xRy, либо yRx.

Бинарые отношения, обладающие теми или иными из указанных (и других) свойствами, выражают различные стороны познавательных процессов. По крайней мере, начиная с Г. В. Лейбница, они используются при формализации мышления. Было выяснено, что отношение эквивалентности лежит в основе абстрагирующе-обобщающего мышления. Предметная область М, на которой оно определено, разбивается на непересекающиеся классы (классы эквивалентности), в совокупности её исчерпывающие. Эти классы оказываются некими абстрактными объектами, имеющими то свойство, что в каждый из них входят предметы, одинаковые («равные») с точки зрения данного отношения (равенства чисел, веса материальных вещей, стоимости товаров, и так далее). Отношение сходства разбивает область М на классы толерантности, в каждый из которых входят сходные предметы. На отношениях типа равенства основаны методы решения уравнений в алгебре логики. Идеи равенства и сходства предметов (по их признакам) пронизывает учение об индуктивных методах исследования причинных связей, разработанных Дж. С. Миллем. Зарубежное (Ж. Лашелье, Ш. Серрюс) и отечественное (М. И. Карийский, Л. В. Рутковский, С. И. Поварнин) направление логики отношений, претендовавшее на замену и обобщение традиционной силлогистики, было основано на правилах замены равным и сходным.

Отношения порядка играют большую роль в логических исчислениях, так как логическое следование (доказуемость формул) упорядочивает высказывания и их формульные образы по-разному — от линейного порядка, преобладающего в аксиоматических конструкциях, до тех или иных видов частичного порядка (древовидные структуры). Алгебраический подход к представлению «законов мышления» существенно использует порядковые структуры: булева алгебра является частным случаем решётки, а она есть вид частично упорядоченного множества.

В социальных науках логика отношений часто используется в «геометрическом варианте» теории бинарных отношений, использующем графы. С помощью последней в науках о человеке и обществе (культурология, социология, социопсихология, этнология, генеалогия и другие) представляются те или иные конкретные отношения; например, системы родства, важные в традиционных обществах. При описании многих социумов бинарных отношений недостаточно и требуются трёх- и более местные отношения. Если отношения носят эмпирический характер, то нередко приходится ослаблять те или иные из их свойств; например, для бинарного отношения предпочтения альтернатив ограничивать действие транзитивности. Обширная математическая и социопсихологическая проблематика теории шкал проникнута категориями отношений, обогащёнными использованием понятия величины.

Одна из главных гносеологических трудностей логики отношений связана с описанием иерархии «свойства — отношения», когда предметом рассмотрений становятся свойства отношений, отношения между свойствами, свойства свойств и отношения между отношениями, а также операции над свойствами и отношениями различных уровней абстрактности. Основной же философской проблемой логики отношений является вопрос о «степени» реальности отношений в их сравнении со свойствами и о сравнении «силы» бытия свойств и отношений с бытием индивидов. Различные ответы на возникающие здесь вопросы приводят к разным вариантам интерпретации наглядно-эмпирических и абстрактно-теоретических аспектов познания.