Логика предикатов

Логика предикатов — это раздел символической логики (см. Символическая логика), изучающий рассуждения и другие языковые контексты с учётом внутренней структуры входящих в них простых высказываний, при этом выражения языка трактуются функционально, то есть как знаки некоторых функций или же как знаки аргументов этих функций.

Наиболее важная особенность логики предикатов состоит в том, что так называемые общие имена (например, «человек», «город», «металл»), знаки свойств («белый», «умный», «электропроводный») и знаки отношений («старше», «севернее», «тяжелее») рассматриваются как принадлежащие одной категории знаков, а именно, категории предикаторов — предметно-истинностных функторов. Предикаторы репрезентируют функции, возможными аргументами которых являются объекты некоторого универсума рассмотрения, а значениями — истинностные оценки (в классической логике — это «истина» и «ложь»). Например, предикатор «человек» представляет функцию, которая каждому отдельному человеку сопоставляет оценку «истина», а каждому отличному от человека существу — оценку «ложь». Функция, соответствующая предикатору «севернее», сопоставляет «истину» каждой такой паре географических точек, первая из которых действительно расположена севернее второй (например, паре «Петербург, Москва»), всем остальным парам географических точек (например, парам «Москва, Санкт-Петербург» и «Москва, Москва») эта функция сопоставляет оценку «ложь».

Предикаторы различаются, как принято говорить, своей «местностью»: предикаторы, представляющие предметно-истинностные функции от одного аргумента, называются одноместными, те, которым соответствуют функции от двух аргументов, — двухместными и так далее (например, предикатор «человек» одноместный, а предикатор «севернее» двухместный).

Множество тех объектов универсума (или же множество тех n-ок объектов), которым одноместная (многоместная) предметно-истинностная функция сопоставляет значение «истина», называется областью истинности соответствующего предикатора. Часто при построении логики предикатов предикаторам в качестве значений сопоставляются области их истинности, то есть свойства (для одноместных предикаторов) и отношения (для многоместных предикаторов), рассматриваемые с объёмной, экстенсиональной точки зрения.

Другой отличительной чертой логики предикатов является использование особого типа логических символов — кванторов и связываемых ими (квантифицируемых) переменных для воспроизведения логических форм множественных высказываний. Квантифицируемые переменные «пробегают» по множеству всех объектов рассмотрения, а роль квантора состоит в указании на ту часть объектов этого множества, для которых справедливо содержащееся в высказывании утверждение. Наиболее употребимы в логике квантор общности ∀ (в естественном языке ему соответствуют термины типа «всякий», «каждый», «любой», «произвольный») и квантор существования ∃ («существует», «найдётся», «имеется», «некоторый»). К примеру, логическая форма высказывания «Некто умён» может быть выражена с использованием квантора ∃ и переменной x, пробегающей по множеству людей, так; ∃xP (x), где символ Ρ соответствует одноместному предикатору «умный», а форма высказывания «Каждый знает кого-нибудь» — посредством формулы ∀x∃ yR (x, y), где квантифицируемые переменные x и y пробегают по тому же множеству, а символ R соответствует двухместному предикатору «знает».

Логика предикатов как раздел символической логики включает в себя логические теории разных типов, отличающиеся как выразительными возможностями языков, в которых они формулируются, так и классами выделяемых в них логических законов (см. Логические законы).

В зависимости от типа сущностей, составляющих допустимые в теории области пробега квантифицируемых переменных, различают логику предикатов первого порядка и логику предикатов высших порядков. В первопорядковой логике имеется лишь один тип квантифицируемых переменных — предметные (индивидные) переменные, возможными значениями которых являются индивиды, отдельно взятые предметы (люди, города, числа и так далее). В логике предикатов второго порядка дополнительно вводятся переменные, пробегающие по признакам индивидов — их свойствам и отношениям между ними (эти переменные тоже разрешается связывать кванторами, получая выражения типа ∀PΑ — «Для всякого свойства Ρ верно, что Α», ∃RΑ — «Существует отношение R, такое, что Α»); в логике предикатов третьего порядка разрешается квантификация по признакам признаков индивидов и так далее.

Выделяют также односортные и многосортные системы логики предикатов: в односортной все переменные, принадлежащие к одному и тому же типу, имеют одинаковую область пробега; в многосортной с каждой переменной связывается собственное множество её возможных значений.

Наконец, данный раздел логики включает как классические, так и неклассические логические теории. В основе классической логики предикатов лежат, прежде всего, общие для всех классических систем логики принципы — двузначности (всякое высказывание принимает ровно одно из двух значений: «истину» или «ложь»), экстенсиональности (значение сложного выражения зависит только от значений составляющих его выражений), а также идущая от Аристотеля классическая трактовка истины как соответствия наших утверждений действительности. Кроме того, в классической логике предикатов принимаются специфические именно для кванторной теории предпосылки экзистенциального характера — допущение о существовании объектов в предметной области и существовании денотатов у сингулярных терминов (термин «существование» здесь следует понимать в смысле известного критерия У. Куайна: «существовать — значит быть возможным значением квантифицируемой переменной»). В неклассических предикатных системах в той или иной форме происходит пересмотр указанных принципов.

Наиболее фундаментальный статус имеет классическая односортная логика предикатов первого порядка. Её язык задаётся следующим образом. В алфавит вводится некоторая функционально полная система пропозициональных связок, например {¬, ∧, ∨, ⊃} (где ¬ — это знак отрицания, ∧ — это знак конъюнкции, ∨ — это знак дизъюнкции, ⊃ — это знак материальной импликации), а также кванторы ∀ и ∃ (имеется возможность выбрать в качестве исходного символа языка лишь один из этих кванторов, другой может быть введён по определению). В алфавите содержится также бесконечный список предметных переменных (x, y, z, x₁, …) Среди нелогических символов обязательно наличие непустого множества предикаторных констант — аналога предикаторов естественного языка (будем использовать для них символы Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, P₁ⁿ, … где верхний индекс n — натуральное число, указывающее на местность предикаторной константы). Кроме этого в алфавит могут быть введены нелогические символы других типов: предметные константы (α, β, c, α₁, …) — аналоги собственных имён (знаков отдельных предметов) естественного языка, например, «Москва», «Луна», «медь», а также предметно-функциональные константы различной местности (fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, …) — аналоги предметных функторов (знаков таких функций, аргументами и значениями которых являются индивиды, например, «+», «возраст», «расстояние от… до…»). Иногда в алфавит языка логики предикатов добавляют пропозициональные переменные (p, q, r, p₁, …) — аналоги простых высказываний естественного языка, исходя из буквального понимания тезиса о том, что логика предикатов является расширением логики высказываний. Однако данное добавление не является необходимым: при желании в качестве пропозициональных переменных можно разрешить использование нульместных предикаторных констант. Техническими символами алфавита являются левая и правая скобки и запятая.

Выражением языка логики предикатов называется любая конечная последовательность символов её алфавита. Некоторые из этих выражений являются правильно построенными, а некоторые нет. В логике предикатов имеется два типа правильно построенных выражений — термы и формулы.

Понятие «терма» вводится следующим индуктивным определением: 1) всякая предметная переменная — терм; 2) всякая предметная константа — терм; 3) если Φ — n-местная предметно-функциональная константа, и t₁, t₂, … t_n — термы, то выражение Φ(t₁, t₂, … t_n) является термом; 4) ничто иное термом не является. Среди термов различают простые (указанные в пунктах [1] и [2] данного определения), и сложные (указанные в пункте [3]), а также замкнутые (не содержащие в своём составе предметных переменных) и незамкнутые (содержащие переменные). Замкнутые термы являются аналогами имён естественного языка (как простых, так и сложных), а незамкнутые — аналогами так называемых именных форм (выражений с переменными, которые могут быть преобразованы в имена с помощью подстановки конкретных имён на места переменных, например, «рост x», «x × 5», «разница в возрасте между x и y»).

Понятие формулы также определяется индуктивно:

1. если Π — n-местная предикаторная константа, и t₁, t₂, … t_n — термы, то выражение Π(t₁, t₂, … t_n) является формулой;
2. если Α — формула, то ¬ Α — формула;
3. если Α и Β — формулы, то выражения (Α ∧ Β), (Α ∨ Β), (Α ⊃ Β) также являются формулами;
4. если Α — формула, и α — предметная переменная, то выражения ∀αΑ и ∃αΑ также являются формулами;
5. ничто иное формулой не является (внешние скобки в формулах обычно опускают).

Следует отметить, что в определениях терма и формулы используются так называемые синтаксические переменные (Α, Β, α, t₁, t₂, … t_n, Φ, Π) — переменные метаязыка, пробегающие по различным типам выражений объектного языка.

Формулы, соответствующие пункту [1] определения, называют простыми, или атомарными, а все остальные формулы (которые содержат по крайней мере один логический символ) — сложными, или молекулярными.

Различение замкнутых и незамкнутых формул требует предварительного введения нескольких синтаксических понятий. Подформула Α в составе формул вида ∀αΑ и ∃αΑ называется областью действия квантора (∀ или ∃) по переменной α. Конкретное вхождение некоторой переменной в некоторую формулу называется связанным, если это вхождение следует непосредственно за квантором или же находится в области действия квантора по данной переменной; в противном случае вхождение переменной называется свободным. Переменная α свободна в формуле Α, если и только если существует свободное вхождение α в Α; переменная α связана в формуле Α, если и только если существует связанное вхождение α в Α. (Иногда при формулировке языка логики предикатов свободные и связанные переменные различают уже на этапе задания его алфавита, для них используют различные списки символов. В таком случае разрешается квантификация только связанных переменных, а свободные переменные выступают в роли неквантифицируемых индивидных параметров.)

Формула называется замкнутой, если она не содержит свободных вхождений предметных переменных; в противном случае она является незамкнутой. Замкнутые формулы являются аналогами высказываний естественного языка (результатом символической записи любого высказывания является именно замкнутая формула), поэтому их иногда называют предложениями языка логики предикатов. Незамкнутые формулы соответствуют так называемым пропозициональным формам — выражениям естественного языка с переменными (например, «x выше y», «x смелый»), из которых могут быть образованы высказывания посредством операций константного или кванторного замыкания (например, «Эверест выше Арарата», «Существует x такой, что x смелый»).

Семантическое построение классической односортной логики предикатов первого порядка может осуществляться различными способами. Можно сформулировать наиболее естественную, теоретико-множественную объектную семантику описанного выше языка.

Первый этап семантического построения логики предикатов — задание класса допустимых интерпретаций нелогических символов языка. С этой целью выбирается некоторое множество U, называемое областью интерпретации (универсумом); единственным ограничением, накладываемым на U, является требование его непустоты. Приписывание значений нелогическим символам релятивизируется относительно выбранной предметной области. Его можно осуществить посредством специальной интерпретирующей функции I. Эта функция сопоставляет произвольной предметной константе k некоторый объект из универсума U: I(k) ∈ U (при этом становится очевидным, что предметные константы имеют тот же тип значений, что имена естественного языка, и могут рассматриваться в качестве параметров последних), n-местной предикаторной константе Π в качестве значения обычно приписывают экстенсионально понимаемые свойство или отношение на U, то есть некоторое множество упорядоченных n-ок объектов из универсума: I(Π) ⊆ Uⁿ (Uⁿ — n-ная декартова степень множества U). Имеется и другая возможность — сопоставить константе Π n-местную функцию, аргументами которой являются элементы универсума, а возможными значениями И («истина») и Л («ложь»): I(Π) есть функция типа Uⁿ → {И, Л}. Во втором случае предикаторные константы рассматриваются как знаки предметно-истинностных функций. Произвольной n-местной предметно-функциональной константе Φ интерпретирующая функция сопоставляет в качестве значения n-местную операцию, заданную на множестве U (её аргументами и значениями являются элементы универсума): I(Ф) есть функция типа Uⁿ → U. Интерпретирующую функцию I, релятивизированную относительно некоторой предметной области U, a точнее — пару , называют моделью или возможной реализацией. Выбор конкретной модели детерминирует значения всех замкнутых термов и замкнутых формул языка логики предикатов. Для определения значений незамкнутых термов и формул необходимо дополнительно зафиксировать, распределить значения предметных переменных (таковыми, как и для предметных констант, являются элементы универсума).

Следующим этапом семантического построения логики предикатов является формулировка точных правил установления значений правильно построенных выражений её языка (то есть термов и формул) в рамках выбранных модели и распределения φ значений предметных переменных.

Значениями термов в при φ являются объекты из U. Значения предметных констант и переменных уже определены посредством функций I и φ соответственно. Значением сложного терма Φ(t₁, t₂, … t_n) является тот объект из U, который представляет собой результат применения операции I(Ф) к n-ке значений (в этой же модели и при этом же распределении) термов t₁, t₂, … t_n. Пусть, например, в качестве универсума выбрано множество натуральных чисел, предметно-функциональная константа f проинтерпретирована как операция сложения, а предметные константы α и β как числа 2 и 3. Тогда значением терма f(α, β) в соответствующей модели будет результат сложения 2 и 3, то есть число 5.

Формулы языка логики предикатов принимают в модели при распределении φ ровно одно из двух значений — И или Л. Атомарная формула вида II (t₁, t₂, … t_n) принимает — при трактовке предикаторных констант как знаков экстенсионально понимаемых свойств и отношений — значение И, если и только если n-ка значений (в данной модели и при данном распределении φ) термов t₁, t₂, … t_n действительно находится в отношении I(Π), когда n &rt; 1, или обладает свойством I(Π), когда n = 1. Если же предикаторные константы интерпретируются как знаки предметно-истинностных функций, то Π(t₁, t₂, … t_n) примет значение И в том и только в том случае, когда результат применения подобной функции I(Π) к указанной n-ке объектов даст И. В упомянутой в предыдущем примере конкретной модели и при интерпретации предикаторной константы R как отношения «меньше» формула R(α, β) примет значение И, так как 2 действительно меньше 3, а формула R(β, α) — значение Л, поскольку 3 не находится в указанном отношении к 2.

Условия истинности и ложности формул, главными знаками которых являются пропозициональные связки, сохраняются (с необходимой привязкой к и φ) такими же, как в классической логике высказываний.

Семантические определения для кванторных формул таковы: ∀αΑ (соответственно ∃αΑ) истинна в модели при распределении φ, если и только если её подкванторная часть Α принимает значение И в той же модели при любом (при некотором) распределении ψ значений предметных переменных, отличающемся от φ не более, чем значением α. Другими словами: формула ∀αΑ истинна в том случае, когда Α оказывается истинной, какой бы объект из U мы ни приписали в качестве значения переменной α (сохранив при этом значения остальных переменных), а ∃αΑ истинна, если в универсуме найдётся такой объект, что при сопоставлении его в качестве значения переменной α формула Α оказывается истинной.

Завершающим этапом в построении логики предикатов является введение понятий закона этой теории (общезначимой формулы) и различных логических отношений между формулами. Наиболее важным из них является отношение логического следования, поскольку его наличие составляет критерий корректности дедуктивных умозаключений (см. Дедукция).

Считается, что формула значима (истинна) в модели при некотором распределении φ значений предметных переменных, если и только если данная формула принимает значение И в этой модели при этом распределении. Формулу называют значимой (истинной) в модели , если она значима в ней при любом распределении элементов U предметным переменным. Формула называется общезначимой на множестве U (U-общезначимой), если она значима в каждой модели с универсумом U. Формула называется универсально общезначимой (или просто — общезначимой), если она общезначима на любом (непустом) множестве. Факт общезначимости формулы Α обычно выражается в метаязыке следующей записью: ⊨ Α. Общезначимые формулы — это законы логики предикатов, поскольку они истинны при любых допустимых в данной теории интерпретациях нелогических символов.

Конкретизация понятия логического следования в логике предикатов осуществляется следующим образом: из множества формул Г логически следует формула Β(Г ⊨ Β), если и только если в любой модели и при любом распределении значений предметных переменных, при которых истинна каждая формула из Г, формула Β также примет значение «истина».

В сформулированном выше семантическом варианте правила установления значений формул имеют отчётливо выраженную объектную направленность: они предполагают, что при решении вопроса об истинности или ложности происходит соотнесение выражений языка с нелингвистическими сущностями (индивидами, свойствами, отношениями, функциями, связанными с некоторой предметной областью). Альтернативой объектной интерпретации формул языка логики предикатов является так называемая подстановочная интерпретация. Смысл её состоит в формулировке таких критериев истинности и ложности предложений языка, которые бы не предполагали соотнесения последних с внеязыковой действительностью, а опирались бы только на информацию о значениях элементарных, атомарных предложений (в подобном стиле обычно строится логика высказываний, где при установлении значений формул необходимо лишь, чтобы каким-то — неважно каким — образом было осуществлено распределение значений для пропозициональных переменных). Таким образом, при подстановочной интерпретации мы, скорее, имеем дело не с обычной трактовкой истины как соответствия предложений действительности, а с тем, что иногда называют «истинностью в теории», где теория понимается, по существу, в синтаксическом аспекте — как дедуктивно замкнутое множество предложений языка.

Технически «подстановочная» семантика логики предикатов может быть сформулирована следующим образом. Значения здесь естественно сопоставлять лишь замкнутым формулам, поскольку именно эти формулы представляют собой предложения теории и могут оцениваться как истинные или ложные в ней. Задаётся функция оценки V, отображающая множество замкнутых формул вида Π(t₁, t₂, … t_n) на множество {И, Л} (содержательно — Ѵ распределяет значения для элементарных предложений языка теории). Правила установления значений замкнутых формул видов ¬ Α, Α ∧ Β, Α ∨ Β, Α ⊃ Β — стандартные. Формула ∀αΑ(соответственно ∃αΑ) примет значение И при оценке V, если и только если данное значение при V имеет любой (соответственно по крайней мере один) результат подстановки в формулу Α замкнутого терма t вместо всех свободных вхождений переменной α (содержательно — общее [частное] предложение истинно в теории, если и только если соответствующее бескванторное утверждение справедливо для любого (хотя бы для одного) сингулярного термина, принадлежащего словарю данной теории). Класс замкнутых формул, принимающих при оценке V значение И, как раз и представляет собой некоторую теорию в описанном выше смысле. Можно далее ввести понятия закона логики предикатов (логически истинного предложения теории): ⊨ Α тогда и только тогда, когда при любой оценке V (то есть в любой теории) Α принимает значение И.

Множество формул, являющихся законами классической логики предикатов первого порядка, вообще говоря, бесконечно. Среди них — каждый подстановочный случай произвольной тавтологии логики высказываний (то есть результат замещения в ней пропозициональных переменных формулами языка логики предикатов). Ниже представлены некоторые другие наиболее важные типы общезначимых формул.

Законы удаления квантора общности и введения квантора существования:

• ∀αΑ ⊃ Α(t).
• Α(t) ⊃ ∃αΑ

Где Α(t) это результат правильной подстановки терма t вместо всех свободных вхождений предметной переменной α в формулу Α (подобная подстановка называется правильной, когда никакое из заменяемых вхождений α в Α не находится в области действия квантора по переменной, входящей в состав терма t).

Законы взаимовыразимости кванторов:

• ∀αΑ ≡ ¬ ∃α ¬ Α
• ∃αΑ ≡ ¬ ∀α ¬ Α

Где ≡ это знак эквиваленции, которую можно ввести посредством определения (Α ≡ Β) ≡ _Df (Α ⊃ Β) ∧ (Β ⊃ Α).

Законы перестановочности кванторов:

• ∀α∀β
  Α ⊃ ∀β∀α
  Α
• ∃α∃β
  Α ⊃ ∃β∃α
  Α
• ∃α∀β
  Α ⊃ ∀β∃α
  Α

Законы пронесения и вынесения кванторов:

• ∀α ¬ Α ≡ ∃α ¬ Α
• ∃α ¬ Α ≡ ∀α ¬ Α
• ∀α(Α ∧ Β) ≡ (∀αΑ ∧ ∀αΒ).
• ∃α(Α ∨ Β) ≡ (∃αΑ ∨ ∃αΒ).
• (∃αΑ ⊃ ∀αΒ) ⊃ ∀α(Α ⊃ Β).
• ∃α(Α ⊃ Β) ≡ (∀αΑ ⊃ ∃αΒ).
• ∀α(Α ∨ Β) ≡ (Α ∨ ∀αΒ).
• ∃α(Α ∧ Β) ≡ (Α ∧ ∃αΒ).
• ∀α(Α ⊃ Β) ≡ (Α ⊃ ∀αΒ).
• ∃α(Α ⊃ Β) ≡ (Α ⊃ ∃αΒ).
• ∀α(Β ⊃ Α) ≡ (∃αΒ ⊃ Α).
• ∃α(Β ⊃ Α) ≡ (∀αΒ ⊃ Α).

(В формулах последних шести типов переменная α не должна содержаться свободно в формуле Α).

Известно что, помимо семантического представления логических теорий имеется другой, синтаксический метод их построения — в виде логических исчислений. Суть этого метода состоит в формулировании точных правил оперирования со знаками (формулами языка), позволяющими без использования каких-либо семантических понятий («интерпретация», «модель», «истина») осуществлять обоснование логических законов и форм корректных рассуждений. При этом в исчислениях постулируется лишь некоторый минимум дедуктивных средств, дающий тем не менее возможность обозреть всё бесконечное множество законов и модусов правильных рассуждений соответствующей логической теории.

Существует много различных способов построения логических исчислений (исчисление секвенций, натуральный вывод, аналитические таблицы), в том числе и классического исчисления предикатов первого порядка. Исторически первыми появились аксиоматические исчисления (исчисления гилбертовского типа), в которых, как и при аксиоматическом представлении логики высказываний, статусом аксиом наделяется конечное число общезначимых формул и постулируется некоторый набор правил вывода. Однако в силу сложности формулировок правил подстановки, используемых в этом случае, удобнее строить аксиоматическое исчисление предикатов со схемами аксиом, каждой из которых соответствует бесконечное число аксиом одного и того же типа.

Примером одной из возможных аксиоматизаций логики предикатов может служить следующая: в качестве исходного логического символа алфавита, наряду с пропозициональными связками ¬, ∧, ∨, ⊃, выбирается лишь квантор ∀. Постулируется некоторый полный набор схем аксиом классического исчисления высказываний (они задают смысл ¬, ∧, ∨, ⊃). Дополнительно вводятся две схемы аксиом, задающих смысл квантора ∀: закон удаления квантора ∀αΑ ⊃ Α(t) и один из законов пронесения квантора ∀α(Α ⊃ Β) ⊃ (Α ⊃ ∀αΒ) с указанными ранее ограничениями.

В исчислении имеется также два правила вывода:

Α ⊃ Β, Α
^_______
Β

(modus ponens)

Α
^____
∀αΑ

(генерализация)

Квантор существования вводится по определению: ∃αΑ ≡ _Df ¬ ∀α ¬ Α.

Следующий этап в построении исчисления — введение понятий доказательства и вывода, а также синтаксических аналогов понятия общезначимой формулы и отношения логического следования — понятия теоремы и отношения выводимости.

Доказательством называют непустую конечную последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой исчисления, либо получена из предшествующих формул последовательности по одному из исходных правил вывода. Последняя формула доказательства называется теоремой или доказуемой в исчислении формулой (метаутверждение «Α — теорема» принято записывать так: ⊦ Α).

Вывод из множества допущений Г отличается от доказательства тем, что в нём разрешено дополнительно использовать формулы из Г. Однако, если ставится задача адекватного воспроизведения отношения логического следования, понятие вывода должно быть дополнено наложением некоторых ограничений на применение правила генерализации (дело в том, что — в отличие от modus ponens — из посылки Α данного правила не следует логически его заключение ∀αΑ). Указанная проблема может быть решена различными способами, например, введением понятия вывода с варьируемыми переменными. Довольно естественным представляется другой путь, основанный на понятии зависимости формул вывода от допущений: каждое допущение зависит от самого себя; аксиома не зависит от допущений; результат применения modus ponens зависит от тех допущений, от которых зависит хотя бы одна из посылок правила; при применении генерализации зависимости сохраняются. Теперь необходимые ограничения в определении вывода можно сформулировать следующим образом: формула ∀αΑ может быть получена по правилу генерализации из Α, зависящего от множества допущений Δ, лишь в том случае, когда α не имеет свободных вхождений ни в одну формулу из Δ. Если имеется вывод из множества допущений Г, последней формулой которого является формула Β, говорят, что Β выводима из Г(Г ⊦ Β).

Отношение выводимости в логике предикатов обладает одним важным свойством, которое фиксируется в так называемой теореме дедукции: если Г, Α ⊦ Β, то Г ⊦ Α ⊃ Β. Данное свойство существенно упрощает процедуру построения выводов и может быть использовано в качестве производного правила вывода. Другим подобным правилом является так называемое правило эквивалентной замены: если ⊦ Α ≡ Β, то ⊦ C_A ≡ C_В (где C_А — произвольная формула языка логики предикатов, содержащая в своём составе некоторое вхождение формулы Α, а C_В — результат замещения выделенного вхождения Α в C_А формулой Β).

Правило эквивалентной замены используется, в частности, при осуществлении процедуры приведения формул языка логики предикатов к какому-либо стандартному, каноническому виду. Наиболее известным каноническим типом формул языка логики предикатов являются предварённые нормальные формы. Формула находится в предварённой нормальной форме, если она имеет вид:

Q₁
α₁ Q₂
α₂… Q_n
α_n
Β

где каждое Q_i есть ∀ или ∃, переменные α₁, α₂, … α_n попарно различны и Β не содержит кванторов (то есть формула начинается кванторной приставкой, после которой следует бескванторная формула). Доказуемо метаутверждение о том, что для любой формулы языка логики предикатов существует логически эквивалентная ей формула в предварённой нормальной форме (при приведении формул к данному каноническому виду используются законы вынесения кванторов, причём иногда более сложные, чем указанные выше).

Разновидностью предварённых являются так называемые сколемовские нормальные формы — замкнутые формулы, в которых всякий квантор существования предшествует в кванторной приставке всякому квантору общности. Для каждой формулы Α языка логики предикатов без предметных и предметно-функциональных констант, но с бесконечным числом предикаторных констант произвольной местности существует формула Β в сколемовской нормальной форме, равносильная ей по доказуемости (то есть такая, что ⊦ Α, если и только если Β).

Первопорядковая логика может быть модифицирована за счёт расширения выразительных возможностей её языка. Наиболее естественным расширением является введение отношения равенства между индивидами (тождества индивидов). Вовлечение этого отношения в сферу логического анализа оправдано тем, что оно не менее фундаментально, чем исследуемые в логике отношения присущности свойства предмету, включения класса в класс и другие. Если в алфавит вводятся предметно-функциональные константы, то отношение равенства позволяет удобным образом выражать утверждения о результатах применения соответствующих функций к различным аргументам. Кроме того, использование знака данного отношения (=) обеспечивает более адекватный анализ многих естественно-языковых контекстов, например так называемых исключающих высказываний. Так, логическая форма высказывания «Всякий металл, кроме ртути, находится в твёрдом состоянии» может быть выражена с использованием предикатора равенства формулой: ∀x(P(x) ∧ ¬ (x = α)) ⊃ Q(x)) ∧ ¬ Q(α), где константы α, P, Q соответствуют дескриптивным терминам «ртуть», «металл», «находится в твёрдом состоянии».

Классическая логика предикатов с равенством строится следующим образом. Алфавит пополняется выделенной двухместной предикаторной константой равенства =. Появляется новый тип формул: t₁ = t₂, где t₁ и t₂ — термы. В семантике константе = в качестве значения сопоставляется множество всех пар <u, u>, где u — элемент универсума U (или же предметно-истинностная функция, которая ставит в соответствие значение И только парам одинаковых объектов из U). Формула t₁ = t₂ примет значение И в некоторой модели при распределении φ значений предметных переменных, если и только если значения термов t₁ и t₂ в данной модели при данном распределении совпадают. Остальные семантические понятия остаются прежними.

Адекватное аксиоматическое представление логики предикатов с равенством можно получить за счёт присоединения дополнительных схем аксиом: схемы рефлексивности равенства ∀α(α = α) и схемы замены равного равным ∀α∀β(α = β ⊃ (Α(α) ⊃ Α(β))), где Α(β) — есть результат замены некоторого числа (необязательно всех) свободных вхождений переменной α в Α(α) на переменную β, причём заменяемые вхождения не должны находиться в области действия кванторов по β.

Средствами логики предикатов с равенством может быть определён квантор, особенно часто встречающийся в математических контекстах, «существует единственный» (символически — ∃!): ∃! αΑ(α) ≡ _Df∃α(Α(α) ∧ ∀β(Α(β) ⊃ β = α)).

Язык логики предикатов первого порядка является удобным средством для строгого построения на его основе конкретных, прикладных теорий. В этом случае вместо абстрактных предметных, предикаторных и предметно-функциональных констант в алфавит вводятся конкретные термины словаря теории — имена объектов её предметной области, знаки их свойств и отношений, знаки заданных на данной области предметных функций. Сами прикладные первопорядковые теории (их часто ещё называют элементарными) строятся обычно аксиоматически. К логической части (аксиомам и правилам вывода исчисления предикатов) добавляется собственная часть прикладной теории — постулаты, отражающие закономерности её предметной области.

Простейшими примерами первопорядковых теорий являются так называемой логики отношений: теория отношения эквивалентности (при этом в язык вводится его знак, например ≅, и добавляются аксиомы, указывающие на свойства данного отношения: ∀α(α ≅ α) — это рефлексивность, ∀α∀β(α ≅ β ⊃ β ≅ α) — это симметричность, ∀α∀β∀γ(α ≅ β & β ≅ γ) ⊃ α ≅ γ) — это транзитивность), теория отношения частичного порядка (вводится символ этого отношения, например, ≤, и собственные аксиомы рефлексивности, транзитивности, а также ∀α∀β(α ≤ β & β ≤ α) ⊃ α = β) — это антисимметричность) и другие.

Наиболее известным примером элементарной теории является система формальной арифметики Пеано. Её исходные нелогические символы — имя 0, знаки функций ´ (прибавления единицы), + (сложения), × (умножения); в алфавите содержится также символ =. Знаки других арифметических объектов, свойств, отношений и функций вводятся посредством определений (например: 1 = _Df0´). Далее к логическим аксиомам добавляются арифметические.

Ещё одним побудительным мотивом расширения выразительных возможностей языка логики предикатов является стремление к более адекватному логическому анализу контекстов естественного языка. Так, точное воспроизведение структуры описательных имён предполагает обогащение её языка операторами дескрипции, ведь в стандартном первопорядковом языке выразим лишь один тип сложных имён — образованных с использованием предметных функторов. Обычно различается два оператора дескрипции — оператор определённой дескрипции Ι и оператор неопределённой дескрипции ε. При введении их в язык логики предикатов в нём появляется новые типы сложных термов — ΙαΑ («тот самый единственный α, который удовлетворяет условию Α») и εαΑ («некий α из числа тех, которые удовлетворяют условию Α»), где α — предметная переменная, а Α — формула. Поскольку теперь определение терма содержит ссылку на понятие формулы, оба понятия — терма и формулы — вводят совместным индуктивным определением. Логические системы с оператором определённой дескрипции были построены и изучены Б. Расселом, а Д. Гилбертом было сформулировано ε-исчисление — обобщение первопорядковой логики предикатов за счёт добавления ε-термов.

Другое расширение стандартной логики предикатов связано с рассмотрением так называемых обобщённых кванторов (кванторов Генкина). Если в стандартной кванторной приставке любой формулы, находящейся в предварённой нормальной форме, каждый квантор содержится в области действия всех предшествующих ему кванторов, то обобщённые кванторы представляют собой кванторные комплексы, составляющие которых не обязаны более быть упорядочены отношением строгого линейного порядка. Введение обобщённых кванторов позволяет строить адекватные модели достаточно сложных фрагментов естественного языка.

В первопорядковой логике предикатов, как уже говорилось выше, разрешается квантификация только предметных переменных, то есть кванторы могут быть соотнесены лишь с предметами, индивидами («всякий предмет», «некоторый предмет»). Для логического анализа контекстов, в которых кванторы соотносятся также со свойствами, отношениями, функциями, необходим переход к логике второго порядка. В алфавите её языка наряду с предикаторными константами: Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, P₁ⁿ, … имеются предикаторные переменные различной местности Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, P₁ⁿ, … (в алфавит могут быть введены также и предметно-функциональные переменные fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, …) В атомарных формулах: Π(t₁, t₂, … t_n) на месте Π могут использоваться как предикаторные константы, так и предикаторные переменные (аналогично, в сложных термах Φ(t₁, t₂, … t_n) в роли Φ может выступать теперь предметно-функциональная переменная). «Кванторные» пункты в определении формулы видоизменяются за счёт разрешения использовать в формулах видов ∀αΑ и ∃αΑ на месте α не только предметные, но также предикаторные и предметно-функциональные (если они есть в алфавите) переменные.

Средствами языка второпорядковой логики предикатов могут быть воспроизведены логические формы многих высказываний, которые нельзя выразить в первопорядковом языке (например, «У Марса и Земли есть общие свойства» — ∃P(P(α) ∧ P(β)), «Марс обладает всеми свойствами, присущими каждой планете» — ∀P(∀x(S(x) ⊃ P(x) ⊃ P(α)), где константам α, β и S соответствуют термины «Марс», «Земля», «планета»).

Семантически логика предикатов второго порядка строится по аналогии с первопорядковой. При распределении значений переменных предикаторным и предметно-функциональным переменным приписываются сущности тех же типов, которые сопоставляются в модели соответствующим константам. Правила установления значений термов и формул незначительно адаптируются с учётом синтаксических особенностей второпорядкового языка. Понятие общезначимой формулы — обычное.

Синтаксическое построение логики предикатов второго порядка сталкивается с фундаментальной проблемой метатеоретического характера — класс общезначимых формул второпорядковой логики принципиально не аксиоматизируем, не формализуем, то есть не существует исчисления, класс теорем которого совпадал бы с классом общезначимых формул. Тем не менее, в качестве второпорядкового исчисления предикатов обычно рассматривают некоторую неполную формальную систему, которая получается естественным обобщением первопорядкового исчисления.

Логика предикатов второго порядка является очень богатой логической теорией. В ней, например, может быть определён предикатор равенства: α = β ≡ _Df∀P(P(α) ≡ Ρ(β)) (это определение по своей сути повторяет лейбницевский принцип «тождественности неразличимых»: равными, тождественными объявляются объекты, обладающие одинаковыми свойствами).

Один из возможных путей расширения выразительных средств логики второго порядка состоит во введении в её язык предикаторов более высоких ступеней, «предикаторов от предикаторов». Они выражают свойства свойств или отношений, отношения между свойствами или отношениями. Так, в контексте «Отношение родства симметрично» термин «симметрично» репрезентирует свойство отношения (родства), а в контексте «Щедрость и скупость — противоположные качества» термин «противоположно» представляет отношение между свойствами (щедростью и скупостью). При указанном подходе натуральные числа 0, 1, 2, … могут рассматриваться как свойства свойств и определяться средствами второпорядковой логики предикатов следующим образом: 0(P) ≡ _Df ¬ ∃xP(x), 1(P) ≡ _Df∃xP(x), 2(P) ≡ _Df∃x∃y(¬ x = y ∧ P(x) ∧ P(y) ∧ ∀z(P(z) ⊃ (z = x ∨ z = y))) и так далее.

Среди неклассических систем логики предикатов следует особо выделить так называемую свободную логику (см. Логика свободная) — нестандартную теорию квантификации, при построении которой отказываются от обязательного существования индивидов в области интерпретации, а также допускают пустоту термов.

Часто неклассические исчисления предикатов строятся так, что их отличие от классического проявляется — в самой системе аксиом и правил вывода — лишь на пропозициональном уровне: вместо схем аксиом классического исчисления высказываний выбираются схемы аксиом соответствующего неклассического пропозиционального исчисления (подобным образом обычно строятся кванторные системы интуиционистской и минимальной логик, многие системы модальной логики и релевантной логики). В этом отношении специфичным является конструктивное исчисление предикатов, в котором (наряду с модификацией пропозициональной части) принимаются особые, характерные именно для кванторной теории постулаты, формализующие так называемый принцип Маркова (простейшая формулировка данного принципа такова: ∀x(P(x) ∨ ¬ P(x)) ⊃ (¬ ¬ ∃xP(x) ⊃ ∃xP(x)).

Весьма нетривиальной оказалась проблема построения кванторных расширений модальных логик, известная также как проблема квантификации в модальных контекстах. При попытке построения модальной логики предикатов возникает ряд существенных трудностей содержательного характера, на которые обратил внимание У. Куайн. Помимо известных проблем, связанных с нарушением принципа взаимозаменимости в неэкстенсиональных контекстах (а модальные контексты — один из их типов), обнаружилось, что к неожиданным результатам в модальной логике приводит применение правила введения квантора существования (широко известный куайновский парадокс Вечерней и Утренней звезды); во многих кванторных модальных системах ряд теорем не согласуются с интуицией (к ним относятся, например, формула Баркан: О∃xP(x) ⊃ ∃xОP(x), позволяющая заключать от возможности существования к актуальному существованию некоторого объекта, теорема: ∀x∀y(x = y ⊃ x = y), означающая необходимость любого утверждения о равенстве). Но главной причиной философской неполноценности модальной логики предикатов, по мнению У. Куайна, является реанимация в её рамках схоластического понятия модальностей de re (модальностей, квалифицирующих характер связи признака с предметом) и причастность этой теории эссенциализму (метафизической концепции, согласно которой предметы сами по себе — независимо от того, как они представлены в языке, — обладают некоторыми свойствами необходимо, а некоторыми случайно).

В современной модальной логике (см. Логика модальная), особенно в результате разработки её точных формальных семантик, удалось снять многие возражения У. Куайна. Так, А. Смульяном была установлена необходимость учёта областей действий дескрипций при замене равного равным в модальных контекстах. С. Крипке предложил способ построения богатых систем модальной логики предикатов без формулы Баркан и других парадоксальных законов. Т. Парсонс точными методами продемонстрировал непричастность данных теорий эссенциализму, показал, что можно развивать модальную логику в антиэссенциалистском ключе — с отрицанием эссенциалистского принципа в качестве аксиомы. Тем не менее, проблема адекватной экспликации кванторных модальных контекстов языка, особенно эпистемических контекстов (утверждений о знании, мнении, вере), и по сей день остаётся актуальной.

Особую важность для логики предикатов, как и для любой логической теории, представляет исследование её метатеоретических свойств (см. Метатеория). В связи с наличием двух способов построения логических теорий — семантического и синтаксического (в виде исчислений) — возникает вопрос о соотношении класса общезначимых в семантике формул и множества теорем исчисления. Классическое исчисление предикатов первого порядка семантически непротиворечиво (корректно), то есть каждая его теорема универсально общезначима. Наличие данного свойства обосновывается стандартным методом: демонстрируется общезначимость всех аксиом исчисления и инвариантность его правил вывода относительно свойства «быть общезначимой формулой».

Более трудным оказалось доказательство семантической полноты первопорядкового исчисления предикатов, то есть того, что всякая универсально общезначимая формула является теоремой исчисления. Впервые этот результат был получен К. Гёделем (1930). Позднее Л. Генкин предложил изящный (хотя и неконструктивный) метод доказательства полноты, существенно опирающийся на лемму Линденбаума (о возможности расширения любого непротиворечивого множества формул логики предикатов до непротиворечивого насыщенного множества). Ещё более простой метод, использующий технику так называемых модельных множеств, был разработан Я. Хинтиккой. Наличие свойств семантической непротиворечивости и полноты у первопорядкового исчисления предикатов свидетельствует о том, что оно представляет собой адекватную формализацию семантически построенной логики предикатов, то есть что у наиболее важных понятий — общезначимой формулы (закона логики) и логического следования (имеющего место между посылками и заключением в корректном рассуждении) — имеются точные синтаксические аналоги. Данное свойство, как уже было сказано ранее, отсутствует у логики предикатов второго порядка.

Исчисление предикатов (как первопорядковое, так и второпорядковое) обладает также свойством синтаксической непротиворечивости, то есть не существует формулы Α, такой, что ⊦ Α и ⊦ ¬ Α. Однако, в отличие от классического исчисления высказываний, исчисление предикатов не является синтаксически полным (максимальным, непополнимым), то есть к нему можно присоединить в качестве новой аксиомы некоторую недоказуемую формулу так, что полученная система окажется синтаксически непротиворечивой. Синтаксическая неполнота исчисления предикатов имеет серьёзное в методологическом отношении следствие: обеспечивается возможность построения на базе данной логической системы нетривиальных прикладных теорий за счёт присоединения их собственных постулатов, не обладающих статусом логических законов.

Особую важность применительно к логике предикатов имеет исследование проблемы разрешения. А. Чёрчем был получен фундаментальный результат, свидетельствующий о том, что в общем случае эта проблема не имеет решения: не существует алгоритма, позволяющего для произвольной формулы языка логики предикатов решить вопрос о том, является ли она законом данной теории, то есть любое адекватное понятие закона логики предикатов существенным образом неэффективно, не содержит алгоритмической процедуры распознавания элементов своего объёма.

Тем не менее, в некоторых частных случаях проблема разрешения находит своё решение. Установлено, например, что логика предикатов разрешима относительно свойства «быть общезначимой формулой на множестве с конечным числом элементов». Алгоритм проверки формул логики предикатов на общезначимость в области, содержащей n объектов, состоит в элиминации кванторов и преобразовании данной формулы в формулу языка логики высказываний (для последнего проблема разрешения решена). При устранении кванторов общности и существования используется их связь с пропозициональными связками конъюнкции и дизъюнкции, соответственно: если α₁, α₂, … α_n — имена всех объектов данной конечной области, то утверждение ∀xΑ(x) эквивалентно утверждению Α(α₁) ∧ Α(α₂) ∧ … ∧ Α(α_n), а ∃xΑ(x) эквивалентно Α(α₁) ∨ Α(α₂) ∨ … ∨ Α(α_n).

Разрешимой является так называемая логика одноместных предикатов — фрагмент логики предикатов, формулы которого не содержат предикаторных констант местности большей 1. Можно показать, что любая подобная формула с k предикаторными константами универсально общезначима тогда и только тогда, когда она общезначима во всех конечных областях не более чем с 2^k элементами (а этот вопрос, как уже было сказано, может быть решён эффективным образом).

Разрешающая процедура имеется также для некоторых типов формул, приведённых к предварённой нормальной форме. Например, вопрос об универсальной общезначимости формул с кванторной приставкой ∃α1∃α₂∃α_n может быть сведён к вопросу о её общезначимости на одноэлементном множестве, подобный вопрос о формулах с приставками ∀α₁∀α₂ … ∀α_n и ∀α₁∀α₂ … ∀α_n∃β₁∃β₂ … ∃β_m сводится к вопросу об общезначимости на множестве из n элементов.

Создание логики предикатов связано с именами Г. Фреге, Б. Рассела и А. Уайтхеда. Современные формулировки классического первопорядкового исчисления предикатов и его детальный анализ был осуществлён Д. Гилбертом и его учениками В. Аккерманом и П. Бернайсом. Большую роль в оформлении точной теоретико-множественной семантики логики предикатов сыграли работы А. Тарского. Значительный вклад в установление метатеоретических свойств логики предикатов внесли Л. Лёвингейм, Т. Сколем, К. Гёдель, А. Чёрч, Ж. Эрбран, Л. Генкин. Серьёзные научные результаты в данной области были получены также Г. Генценом, Л. Кальмаром, С. Клини, В. Крейгом, У. Куайном, А. А. Марковым, А. И. Мальцевым, П. С. Новиковым, В. А. Смирновым, К. Шютте и многими другими исследователями.