Логика классов

Логика классов — это раздел математической логики (см. Логика математическая), основным предметом рассмотрения в котором служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойствами, общими для всех входящих в данный класс элементов. В рамках математической логики логика классов может пониматься, с одной стороны, как такое расширение логики высказываний (см. Логика высказываний), при котором «элементарные высказывания» уже не рассматриваются только как нерасчленяемое далее «целое», а каждое из них имеет субъектно-предикатную форму (то есть может рассматриваться на содержательном уровне как нераспространённое повествовательное предложение, в котором различаются подлежащие [subjects] и сказуемые [predicates]). Если в логике высказываний отвлекаются от связей между субъектом и предикатом высказывания, то в логике классов эти связи учитываются. В число классов в логике классов включается и пустой класс (0), содержащий нулевое множество элементов, и универсальный класс (1), включающий все объекты рассматриваемой области. С классами можно производить операции пересечения, объединения и дополнения. К алфавиту логики высказываний в логике классов добавляются переменные a, b, c, … для классов; знаки, обозначающие операции с классами; постоянные термы 0 и 1 и знаки для обозначения отношений между классами. Далее даётся индуктивное определение терма и класса. Вводятся отношение включения класса в класс (ab) (a включается в класс b), отношение равенства двух классов (a = b). Оба эти отношения могут быть определены через отношение принадлежности элемента классу (aab).

Другая трактовка логики классов, — отличающаяся от указанной по форме, но эквивалентная по существу, — состоит в истолковании её как частного случая логики предикатов (см. Логика предикатов), а именно логики одноместных предикатов, точнее логики, оперирующей с объёмами понятий, содержания которых выражаются соответствующими одноместными предикатами.

Имеется ещё одна, изоморфная первым двум, интерпретация логики классов, в соответствии с которой объектами её рассмотрения являются множества (классы) каких-либо предметов — вне зависимости от каких бы то ни было свойств, общих для их элементов, — и операции над множествами. Таким образом, логика классов в этом случае рассматривается как формализованная теория множеств, отождествляемая с алгеброй множеств (см. Алгебра логики), в которой рассматриваются произвольные множества и обычные теоретико-множественные операции. Сопоставляя (взаимно-однозначно) множествам (классам) высказывания о принадлежности какого-либо предмета данному множеству, пересечению множеств — конъюнкцию соответствующих высказываний, объединению — дизъюнкцию, а дополнению — отрицание, получают указанный выше изоморфизм алгебры высказываний и алгебры множеств. Рассматривая реализацию логики классов на одноэлементной области, сводят вопрос об истинности (ложности) формул логики классов к соответствующим вопросам для логики высказываний, подобно которой логика классов оказывается, таким образом, разрешимой. Отсюда нетрудно получить и разрешимость логики одноместных предикатов; а поскольку, как было указано, она по существу совпадает с логикой классов, последнюю в настоящее время уже не рассматривают в виде специальной теории, трактуя её как частный случай логики предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов).