Отрицание

Отрицание — это логико-философская категория, которая определяет несуществование или непризнание (какой-либо сущности, явления, связи, положения вещей, другого утверждения и так далее) и выражается средствами естественного или искусственного языка. В общем случае отрицание является утверждением того, что содержание высказывания (см. Высказывание) или связь между его элементами мыслится как реально не существующая или отсутствующая; при этом отрицание может выражаться при помощи различных языковых средств — отдельными словами («нет», «не»), аффиксами (приставки «не…», «без…») и другими способами.

1. Отрицание в логике

В классической логике (см. Логика), формальной логике (см. Логика формальная), языках формальных теорий (см. Формализация) и языках программирования эквиваленция составляет одну из пяти наиболее распространённых логических связок, или логических операций (см. Логические операции), наряду с конъюнкцией (см. Конъюнкция), дизъюнкцией (см. Дизъюнкция), импликацией (см. Импликация) и эквиваленцией (см. Эквиваленция).

Отрицание в логике (см. Логика) рассматривается как логический эквивалент отрицательного высказывания «неверно, что…» или отрицательной частицы «не» и представляет собой логическую операцию, формализующую логические свойства этих слов. В зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание, свойства и роли которых существенно различаются.

1.1. Внешнее логическое отрицание

Внешнее (пропозициональное) отрицание служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нём утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. Традиционно отрицательное высказывание считается истинным, если, и только если, отрицаемое высказывание ложно. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что…», за которым следует отрицаемое высказывание. В языках формальных теорий отрицанием называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений отрицания обычно используются символы «~», «–» или «¬». В классической логике высказываний (см. Логика высказываний) формула ¬ A истинна тогда и только тогда, когда формула A ложна. Поэтому отрицание задаётся истинностной таблицей:

Однако в неклассической логике (см. Логики неклассические) отрицание может не обладать всеми свойствами классического отрицания. В этой связи возникает вполне закономерный вопрос о минимальном наборе свойств, которому должна удовлетворять некоторая унарная операция, чтобы её можно было считать отрицанием, а также о принципах классификации различных отрицаний в неклассических формальных теориях (см. Dunn J. M. and Hardegree G. M. Algebraic Methods in Philosophical Logic. — Oxford, 2001).

Фактически указанное выше традиционное понимание внешнего (пропозиционального) отрицания может быть выражено через систему следующих требований:

(I) Если A — истинно (ложно), то не-A — ложно (истинно);

(II) Если не-A — истинно (ложно), то A — ложно (истинно).

Формально требования (I) и (II) могут быть выражены через условие (1) A ⊧ ¬ B ⇒ B ⊧ ¬ A, называемое «конструктивная контрапозиция». Отрицание, удовлетворяющее условию (1), принято называть минимальным отрицанием.

Однако оказывается, что условие (1) можно разложить на два более слабых условия: (2) A ⊧ B ⇒ ¬ B ⊧ ¬ A и (3) A ⊧ ¬¬ A, известных, соответственно, как «контрапозиция» и «введение двойного отрицания». В результате появляется возможность выявить подминимальное отрицание, удовлетворяющее условию (2), но не удовлетворяющее условию (3).

Естественно сформулировать условие, обратное (3) и формализующее принцип «снятие двойного отрицания»: (4) ¬¬ A ⊧ A = A. Минимальное отрицание (то есть удовлетворяющее условию (1) или условиям (2) и (3) вместе), для которого выполняется условие (4), называется отрицание де Моргана. Это отрицание используется в языке релевантных исчислений для преодоления парадоксов импликации.

Минимальное отрицание, удовлетворяющее дополнительному свойству (5): Если A ⊧ B и A ⊧ ¬ B, то для любого C верно, что A ⊧ C («свойство абсурдности»), — называется интуиционистским отрицанием.

Можно сформулировать принцип (6), двойственный принципу абсурдности: Если B ⊧ A и ¬ B ⊧ A, то для любого C верно, что C ⊧ A. Удовлетворяющее этому принципу отрицание представляет собой разновидность отрицания в паранепротиворечивой логике (см. Логика паранепротиворечивая).

Наконец, отрицание де Моргана (свойства (2), (3), (4)), для которого выполняется (5) или (6), называется орто-отрицание. Если в соответствующем исчислении принимается аксиома дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции, то орто-отрицанием называется отрицание Буля, или классическим отрицанием.

1.2. Внутреннее логическое отрицание

Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания. Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание.

Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений (связей), или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.

Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не…» или близкие ей по смыслу.

2. Отрицание в естественных языках

В естественном языке в зависимости от местоположения различают внешнее и внутреннее отрицание. Внешнее (пропозициональное) отрицание служит для образования сложного высказывания из другого (не обязательно простого) высказывания. В нём утверждается отсутствие положения дел, описываемого в отрицаемом высказывании. На основании классического понимания истинности как соответствия действительности это означает, что в случае истинности отрицаемого высказывания отрицающее его высказывание будет ложным и наоборот. В естественном языке отрицание обычно выражается оборотом «неверно, что…», за которым следует отрицаемое высказывание. Внутреннее отрицание входит в состав простого высказывания.

Различают отрицание в составе связки (отрицательная связка) и терминное отрицание.

Отрицание в составе связки выражается с помощью частицы «не», стоящей перед глаголом-связкой (если он имеется) или перед смысловым глаголом. Оно служит для выражения суждений об отсутствии каких-то отношений (связей) или для образования отрицательной предицирующей связки в составе категорических атрибутивных суждений.

Терминное отрицание используется для образования негативных терминов. Оно выражается через приставку «не…» или близкие ей по смыслу. Если сопоставить термину множество предметов, которые он обозначает, то отрицательному термину будет соответствовать дополнение к отрицаемому термину на некотором универсуме рассмотрения. Таким образом, с терминным отрицанием ассоциирована операция взятия дополнения. Последнее можно распространить и на другие виды отрицания, если соотнести с произвольным высказыванием множество ситуаций (возможных миров и так далее), в которых оно истинно.

3. Отрицание в искусственных языках

В искусственных языках символической логики (см. Логика символическая) отрицанием называется особая унарная пропозициональная связка, используемая для образования из одной формулы другой, более сложной. Для обозначений отрицания обычно используются символы «~», «–» или «˥». В классической логике высказываний формула ˥A истинна тогда, и только тогда, когда формула A ложна, в противном случае формула ˥A ложна.

На основании указанного выше соответствия между отрицанием и операцией взятия дополнения, используя метод формализации, можно установить определённые соотношения между внешним и внутренним отрицанием. В неклассических логиках отрицание может обладать различными свойствами из следующего набора:

1. контрапозитивность: (A → B) → (˥B → ˥A);
2. введение двойного отрицания: A → ˥˥A;
3. снятие двойного отрицания: ˥˥A → A;
4. из противоречия следует всё что угодно: (A & ˥A) → B.

Минимальное отрицание удовлетворяет свойствам (1) и (2), а интуиционистское — свойствам (1), (2), (4). Минимальное отрицание, удовлетворяющее свойству (3), называется отрицанием де Моргана. Наконец, отрицание де Моргана, обладающее свойством (4), называют отрицанием Буля (при условии принятия аксиомы дистрибутивности для конъюнкции и дизъюнкции).