Логика вероятностная

Вероятностная логика — это раздел математической логики (см. Логика математическая), изучающий логические системы, в которых множеством значений истинности высказываний служат вероятности (см. Вероятность) как степени правдоподобия или подтверждения. Предметом вероятностной логики являются вероятностные высказывания, независимо от того, рассматривается ли вероятность как свойство отдельного высказывания (тогда вероятность приписывается ему в качестве промежуточного значения между истиной и ложью) или как оценка отношения пары обычных двузначных высказываний. В отличие от теории вероятностей в вероятностной логике обозначение вероятности точным числом не является главным требованием.

Чаще всего вероятности добавляются к системе пропозициональной логики в качестве нового отношения, соединяющего множество высказываний и множество их значений из интервала 0 < P(A) < 1, где P(A) — вероятность истинности высказывания A. Таким образом, система аксиом вероятностной логики состоит из трёх частей:

1. пропозициональная, задающая операции между высказываниями;
2. арифметическая, задающая операции между значениями вероятности;
3. вероятностная, задающая функцию приписывания высказываниям их значений.

Обычно арифметическая часть опускается и тогда система аксиом и правил вывода может иметь следующий вид:

A1. Пропозициональное исчисление, AB1. 0 ≤ P(A\B) ≤ 1 АВ 2. P(A\A) = 1 АВ 3. P(A & B\C) = P(A\C) P(B\АС) АВ 4. ˥BlP(A\B) = ⊢ P(A\B) АВ 5. (A = C) & (B = D) ⊢ P(A\B) = P(C\D), где P(A\B) есть вероятность истинности A при условии истинности B.

Нередко вероятностную логику рассматривают как уточнение индуктивной логики. Это связано с тем, что отношение между посылками индуктивного рассуждения можно оценивать с помощью вероятности. Значения этой вероятности можно определить либо численно, либо посредством сравнения понятий (больше, меньше, равно).

Ещё одной разновидностью систем вероятностной логики являются системы прагматической вероятностной логики, в которых понятие вероятности используется для анализа прагматических аспектов исследования (см. Прагматика). К подобным логикам относятся вероятностные логики действия, вероятностные логики выбора, вероятностные логики изменения, вероятностные логики принятия решения, вероятностные логики предпочтения. При этом в ряде систем понятие вероятности в явном виде не фигурирует, но связь её с основными понятиями в каждом случае можно легко установить.

Различение между знанием достоверным и правдоподобным (вероятностным) встречается ещё в Античности, в частности у Парменида и элеатов. Значительное место уделяет в своих работах по логике исследованию познания неопределённых ситуаций и Аристотель. Он противопоставляет аподиктическое, доказательное знание, знанию диалектическому и эвристическому, полученному с помощью умозаключений, основанных на проблематических посылках. Идеи Аристотеля однако не получили развития. Лишь с возникновением в XVII веке математической теории вероятностей можно говорить об оживлении философского интереса к исследованию вероятностных методов. Г. В. Лейбниц пишет в этой связи о необходимости нового раздела логики, основывающегося на тех новых способах рассуждений и понятиях, которые потребовались для разработки математической теории вероятности. С ним согласен и Я. Бернулли, который вслед за Лейбницем истолковывал вероятность как степень уверенности. Он рассматривает различные виды аргументов и проблему оценки их весомости для вычисления вероятностного заключения. И. Г. Ламберт идёт ещё дальше, и там, где Бернулли говорит о вероятности «вещей» и «дел», Ламберт прямо говорит о вероятности высказываний К XIX веку относится предложение представителей концептуалистского понимания логики (Дж. Буль, У. С. Джевонс, А. де Морган, П. С. Порецкий) перевести классическую математическую теорию вероятности на язык логики высказываний. Среди других логиков XIX века, уделивших много внимания исследованию природы вероятности, был Ч. С. Пирс. Однако он не подвергал систематическому рассмотрению формальные основания вероятностного вывода. Другой подход развивается в работах представителей «содержательной логики», в частности у Дж. Венна, чья концепция представляет собой первую систематическую попытку развить теорию вероятностей на частотной основе. Наиболее интересными и фундаментальными из всех исследований в этой области были исследования Б. Больцано, к сожалению, ныне незаслуженно забытые.

Первые аксиоматические системы, использующие вероятность как логическое отношение между высказываниями, были построены С. Н. Бернштейном в России (1917) и Дж. М. Кейнсом в Англии (1921). Но последний выходит за рамки обычного исчисления вероятности. (Он не ограничивает значения вероятности областью действительных чисел и, кроме того, у него существуют несравнимые по величине вероятности.)

Дальнейшее развитие идеи Кейнса получили в работах Г. Джеффри и Б. Купмана. В более поздней системе Р. Карнапа вместо функции P(A\B) из аксиом AB1 — АВ 5 используются функции уверенности. Помимо этого используются также функции правдоподобия и функции подтверждения.

Несколько иначе рассматриваются подобные проблемы в системах вероятностной логики, основанных на эпистемологической интерпретации вероятности (Н. Гудмен, Г. Кайберг). В них вводится вероятностное отношение на множестве предложений («системе знаний») и если утверждение об эквивалентности двух предложений считается разумным, то эти предложения должны иметь одинаковые вероятности. При статистической интерпретации вероятности (Я. Шинделяр) место системы знаний занимает система допущений. Каждая процедура статистического вывода характеризуется при этом конкретным отношением выводимости, числом и рассмотренных допущений и числом m (или отношением m/n) тех допущений, для которых имеет место данное отношение выводимости. С металингвистической интерпретацией имеет дело система Г. Рейхенбаха (1949), где вероятность высказываний вычисляется как относительная частота истинности высказываний этого типа в их бесконечной (или конечной) вероятностной последовательности.

В последние десятилетия новым стимулом к возникновению систем вероятностной логики послужил прогресс в развитии приложений логики к искусственному интеллекту. Характерным для новых систем является использование семантики возможных миров (см. Семантика возможных миров) и связанных с ними логических систем (Н. Нильсон, Дж. Хальперн, Дж. Амати, М. Фатторози-Барнаба и другие). Для вероятностных логик, в которых исследуются утверждения об индуктивной вероятности, строится семантика возможных миров с вероятностной мерой, определённой на множестве миров или на множестве правильно построенных формул языка. В случае частотной вероятности более естественным оказывается задание вероятностной меры на множестве индивидов, а не миров.