Программа логицизма

Программа логицизма, или логицизм — это одно из трёх главных направлений (наряду с интуиционизмом и формализмом), традиционно выделяемых в основаниях математики и логики (см. Логика). В основе программы логицизма лежит представление о логической природе математических понятий и суждений. Основной логицистский тезис сводится к тому, что математика не содержит в себе ничего, кроме комбинаторного усложнения понятий и принципов, содержащихся в логике. Логицизм стремится обосновать надёжность математических теорий через их редукцию к аксиоматизированным теориям логики, надёжность которых предполагается гарантированной самим статусом логики, её местом в системе знания и связью логических принципов с универсальными онтологическими категориями. Логицизм принимает в качестве исходных следующие положения: а) каждое математическое понятие может быть определено в понятиях логики; б) каждое математическое утверждение может быть представлено в форме общезначимого суждения в непротиворечивом логическом исчислении.

Основополагающим фактором в становлении программы логицизма явилось развитие на рубеже XIX-XX веков символической логики (см. Логика символическая), которую логицизм рассматривает как «органон математики», а точнее, сводит математические утверждения к формальным импликациям логики. Г. Фреге первый построил систему теории множеств, которая практически была логической, поскольку основной принцип свёртки — каждое свойство определяет множество удовлетворяющих ему элементов — имел неограниченную общность. Эта система оказалась противоречивой, но многие конструкции из неё использовались в дальнейшем.

По мере развития теории доказательств и теории моделей традиционный логицизм всё больше сближался с формализмом (см. Формализм), и сейчас многие исследователи сводят их в единое металогическое направление. Тем не менее, существует принципиальное методологическое отличие логицизма от формализма: если в формализме абстрактный объект и понятия — не более чем инструменты, позволяющие получать реальные истины и конструкции, то в логицизме идеальные понятия — продукт фундаментальных логических конструкций, а не свободной игры ума, но вопрос об их существовании до и вне построений даже не ставится.

Логицизм конструирует математические понятия на основе одного из четырёх фундаментальных отношений:

1. принадлежности элемента классу «∈»;
2. применения функции к аргументу;
3. именования;
4. «часть — целое».

За решение грандиозной задачи явного построения математики как логической системы, базирующейся на отношении «∈» и свободной от парадоксов, взялись А. Н. Уайтхед и его ученик Б. Рассел, написавшие фундаментальный энциклопедический труд «Principia Mathematica» (1910–1913). Этот труд считается одним из самых влиятельных трудов по логике и до сих пор остаётся непревзойдённым в части явно проделанного конструктивного моделирования сложных математических понятий через простейшие. В своей работе Рассел и Уайтхед стремились показать, что вся математика сводится к логике с помощью набора аксиом и нескольких основных понятий, то есть обосновать логицизм. При этом были выявлены многие тонкости, которые положили начало целым направлениям исследований.

Прежде всего, Уайтхед и Рассел предложили во избежание парадоксов теории множеств разделить объекты на типы и строго разделять объекты разных типов. Так, исходные элементы были объектами нулевого типа, их множества — объектами первого типа, а множества объектов n-го типа — объектами n + первого типа. В любом отношении равенства правая и левая части должны иметь один и тот же тип, а в отношении принадлежности t ∈ η — тип объекта t должен быть на 1 меньше типа объекта η. Эта концепция строгой типизации была затем использована в λ-исчислении, в современной информатике и когнитивной науке, а также стала общепринятой в языках программирования высокого уровня.

Тип объекта обычно обозначается верхним индексом: Xⁱ. При таком ограничении языка принцип свёртки ∃Y^{i + 1}∀xⁱ (x ∈ Y ⇔ A (x), введённый Фреге и позволяющий определять множества, становится логическим принципом, поскольку на A (x) не нужно накладывать никаких ограничений кроме того, что она не содержит свободно Y. Поэтому типизированный язык с принципом свёртки стали называть логикой высших порядков. Первым этот язык явно ввёл Л. Хвистек в 1921 году.

Далее, Уайтхед и Рассел заметили, что в их языке равенство может быть формально выражено через отношение принадлежности:

∀xⁱ yⁱ (x = y ⇔ ∀Z^{i + 1} (x ∈ Z ⇔ y ∈ Z)).

Но принцип экстенсиональности, дающий возможность отождествлять множества с одинаковыми элементами, нужно постулировать отдельно:

∀X^{i + 1}Y^{i + 1} (x = y ⇔ ∀zⁱ (z ∈ X ⇔ z ∈ Y)).

Для моделирования математики необходимо принять ещё один принцип, говорящий о бесконечности множества объектов. Он рассматривался как нелогическая аксиома, близкая по характеру к эмпирическим обобщениям других наук (см. Наука).

Рассел и Уайтхед отметили, что принцип свёртки содержит в себе скрытый порочный круг. В дальнейшем было подтверждено, что в некоторых случаях удаление определяемого множества из универсума, пробегаемого переменными типа i + 1, входящими в A, приводит к изменению объёма Y^{i + 1}. Поэтому они предложили разделить множества на порядки и допускать в определениях лишь кванторы по уже определённым множествам более низких порядков. Такая система называется разветвлённой иерархией типов. Она применяется в современной теории сложности и определимости. Как заметил Г. Вейль, верхняя грань множества действительных чисел порядка k может быть порядка k + 1. К. Гёдель показал, что для некоторого ординала α совокупность множеств порядка α образует модель аксиомы свёртки, а если перевести эту иерархию на язык обычной теории множеств, то на некотором ординальном шаге образуется модель теории множеств с аксиомой выбора и континуум-гипотезой.

Для обхода трудностей, выявившихся в разветвлённой иерархии, Рассел предложил аксиому сводимости: для каждого множества порядка n существует равнообъёмное ему множество порядка 0. Л. Хвистек и Ф. П. Рамсей показали, что в этом случае можно порядки вообще не использовать. Рамсей пошёл ещё дальше и заметил, что все известные парадоксы устраняются уже в кумулятивной теории типов, где принадлежности имеют вид tⁱ ∈ X^{i + J}, j &rt; 0. Кумулятивная теория типов оказалась равнонепротиворечива чистой теории типов.

Линия логицизма была продолжена У. Куайном, который заметил, что слишком часто в теории типов приходится копировать буквально одни и те же определения на разных уровнях (этот недостаток унаследован и современным программированием вместе с концепцией строгой типизации). Он предложил использовать в аксиоме свёртки типизированные выражения, а затем стирать типы (бестиповое выражение, которое может быть корректно типизировано, называется стратифицированным). Получившийся вариант аксиомы свёртки и аксиома объёмности образуют теорию множеств NF. В NF есть, в частности, множество всех множеств, поскольку определяющее его условие x = x, очевидно, стратифицировано; натуральные числа могут определяться, по Фреге, как множества всех равномощных множеств; доказывается аксиома бесконечности, но зато индукция выполнена лишь для стратифицированных свойств. Несмотря на интенсивные и глубокие исследования, выявившие ряд интересных свойств NF, не получено соотношений между стандартными теориями множеств и NF. При малейших изменениях NF становится либо противоречивой, либо достаточно слабой системой. Например, если позволить менее строгую типизацию, разрешив объектам типа n быть членами множеств типа n + 1 и n + 2, то получается противоречие; если ослабить аксиому объёмности, трактуя объекты без элементов как исходные атомы, которые могут быть различны, то уже не выводится аксиома бесконечности и имеется достаточно простая модель такой теории. Доказано, что любая модель, построенная внутри общепринятой теории множеств ZF, может быть вложена в модель NF, если обе рассмотренные теории непротиворечивы (Н. Н. Непейвода). Таким образом, NF плохо подходит для построения конкретных множеств, но может объединять построенные в другой теории конструкции. Это позволяет рассматривать такие объекты, как категорию всех категорий.

Продолжением логицизма в области другого фундаментального отношения явились λ-исчисление и комбинаторная логика, которые базируются на идее построить все математические понятия, базируясь на операции применения функции к аргументу и на кванторе образования функции λx. X. Б. Карри показал, что добавление импликации к неограниченному λ-исчислению приводит к противоречию, но λ-исчисление и без логических связок является мощным выразительным средством и инструментом, широко использующимся и в современной логике, и в информатике, и в когнитивной науке, и в философии, и в искусственном интеллекте. Используются оба его варианта — бестиповое и типизированное. Рассмотрены и системы λ-исчисления с типовой неопределённостью, но для них, в отличие от теории NF, построен ряд моделей.

Л. Хвистек и Ст. Лесневский развивали другие логические основания для общей теории.

Теория именования (логическая онтология) имеет следующий исходный принцип:

∀xX (x ∈ X ⇔ ∃y (y ∈ x & ∀yz (y ∈ x & z ∈ x ⇒ y ∈ z) &∀y (y ∈ x ⇒ y ∈ X))).

Эту аксиому можно интерпретировать следующим образом. Элементами классов могут быть лишь единичные непустые имена и они являются элементами, если именуемые ими сущности входят в класс. Онтология выступает как система-ядро (в терминологии современной информатики), дающая собственные расширения при пополнении новыми понятиями. Мереология — теория, базирующаяся на соотношении «часть-целое».

Значительный потенциал, заключённый в указанных концепциях, остаётся пока практически неиспользуемым, поскольку современные работы в данных областях носят скорее комментаторский характер.

П. Мартин-Лёф, соединяя идеи комбинаторной логики и логицизма с интуиционизмом (см. Интуиционизм), приложил их для создания теории конструкций, конструктивно описывающей сложные понятия современных языков программирования.

Сама по себе идея типов и порядков имеет большое общенаучное и общеметодологическое значение. В частности, она может быть использована для классификации уровней знаний и умений человека. Так, знания первого уровня (выражающиеся импликацией ∀x (Ρ₁ & … & Ρ_n ⇒ Q) и умения первого уровня (функции из объектов в объекты) соответствуют стереотипному реагированию, уровню компилятора текстов, техника, рабочего-исполнителя. Знания и умения второго уровня (например, импликации ∀x (∀y(P ⇒ Q) ⇒ ∀y(P₁ ⇒ Q₁)) и операторы из условий в умения соответствуют уровню ремесленника, интерпретатора текстов, рабочего-наладчика либо инженера обычной квалификации и так далее. Лишь считанные единицы в истории человечества могли подниматься до знаний и умений седьмого уровня.