Аксиома выбора

Аксиома выбора — это один из наиболее важных принципов теории множеств (см. Множество, Теория множеств), введённый в 1904 году Э. Цермело. Аксиома выбора формулируется следующим образом: для всякого семейства непустых множеств существует функция выбора, ставящая в соответствие каждому множеству один его элемент (выбирающая из каждого множества этого семейства ровно по одному элементу). Аксиома выбора была введена в силу того факта, что имевшиеся к тому времени «наивные» принципы рассуждений в теории множеств не позволяли ответить на очень многие простые вопросы о множествах (например, на вопрос о сравнении мощностей двух произвольных множеств). С помощью аксиомы выбора Э. Цермело удалось доказать, что всякое множество может быть вполне упорядочено (как оказалось, это просто одна из эквивалентных форм аксиомы выбора).

Аксиома выбора вызвала серьёзные возражения со стороны многих математиков начала XX века как самой формулировкой, так и своим неконструктивным характером, а также некоторыми следствиями (утверждавшими, например, существование множеств с непривычными свойствами, в частности неизмеримого множества действительных чисел, или того факта, что множество действительных чисел можно вполне упорядочить).

Главная причина отрицательного отношения к принятию аксиомы выбора состояла в абсолютно неконструктивном характере этого принципа, не содержащего никаких указаний для построения объекта с заданными свойствами. Тем не менее оказалось (и это было подтверждено дальнейшими исследованиями в метаматематике и дескриптивной теории множеств), что некоторые утверждения, совершенно необходимые для построения математического анализа и теории меры, не могут быть получены без аксиомы выбора. Однако для доказательства этих утверждений необходима не полная её форма, а так называемая счётная форма аксиомы выбора, которая постулирует существование функции выбора в случае, если семейство непустых множеств счетно. Оказалось, что именно такой формы аксиомы выбора достаточно, чтобы построить теорию меры и математический анализ в привычном для классической математики виде. Аксиома выбора оказалась как совместной (К. Гёдель, 1939), так и независимой (П. Коэн, 1963) от остальных постулатов теории множеств Цермело — Фрэнкеля, а также и от ряда теоретико-множественных принципов, вводимых в дальнейшем для подобного исследования.

Следует отметить также, что аксиома выбора несовместна с некоторыми аксиоматическими системами теории множеств с подлежащей классической логикой (то есть в таких системах выводимо отрицание аксиомы выбора), поэтому вместо неё были предложены альтернативные аксиомы. При изменении аксиом теории множеств, естественно, меняется и характер математики, построенной на базе этой теории множеств. Таким образом, вопрос о принятии аксиомы выбора в полном виде или в виде некоторых «урезанных» форм зависит от того, какую математическую теорию мы желаем построить, то есть от исходных философских установок.