Парадокс

Парадокс — это высказывание либо рассуждение, которое доказывает как истинность, так и ложность некоторого предложения (или как его утверждение, так и его отрицание), выраженное формально-логическими средствами (посылками), кажущимися заведомо приемлемыми (логически правильными), но приводящими к заведомо неприемлемому результату (противоречию). Ввиду некоторой расплывчатости или относительности значения термина «доказательство» и его производных, понятие «парадокс», в свою очередь, также оказывается расплывчатым и не всегда обозначает «абсолютное» противоречие в наиболее строгом значении этого слова, то есть противоречие, в получении которого не используются никакие исходные допущения. Тем самым, понятие «парадокс» допускает многозначность, что приводит к его широкому применению в разных контекстах со следующими основными значениями:

• формально-логически правильное высказывание либо рассуждение, не согласующееся с общепринятым мнением, доминирующим убеждением, отрицающее то, что представляется «безусловно правильным» (внелогическое понимание парадокса;
• логическое противоречие, из которого невозможно найти выход (неразрешимая ситуация в рассуждении);
• высказывание либо рассуждение, содержащее два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются убедительные аргументы, что приводит к взаимоисключающим выводам, которые нельзя отнести ни к истинным, ни к ложным (антиномия, определяемая в логике как наиболее резкая форма парадокса);
• высказывание либо рассуждение, приводящее к двум противоположным, но равнозначным выводам (апория);
• неявная, безвопросная форма проявления проблемной ситуации.

Особую роль парадоксы играют в логике (см. Логика) и науке (см. Наука), свидетельствуя о том, что привычные приёмы теоретического мышления сами по себе не обеспечивают надёжного продвижения к истине.

Наиболее ранняя логическая проблематизация понятия парадокса осуществляется в Античности. В наследии ряда древнегреческих философских школ имеется ряд примеров рассуждений, которые при кажущейся правильности приводят к выводам, не согласующимся с данными опыта и убеждениями здравого смысла. Парадоксы Элейской школы представляют собой рассуждения, направленные на защиту тезиса её представителей об иллюзорности движения; они не содержат логических трудностей и построены на неправильном толковании понятий времени и движения. В отличие от спекулятивных парадоксов элеатов, парадоксы Мегарской школы отражают логические проблемы. Парадокс «Лжец», приписываемый мегарику Эвбулиду из Милета (IV век до Новой эры), Аристотель сформулировал в сочинении «О софистических опровержениях» (около 355 года до Новой эры) в вопросительной форме: «Лжёт ли тот, кто говорит, что он лжёт?» Данный парадокс представляет собой в некоторой степени усиленный и более корректный вариант того же парадокса критского философа Эпименида Кносского (VII или VI век до Новой эры): «Все критяне лжецы». Допустим, что Эпименид сказал правду. В этом случае следует признать, что действительно все критяне, в том числе и критянин Эпименид, лжецы. Но если Эпименид лжец, — значит, он говорит неправду и высказывание «Все критяне лжецы» — ложно. Допустим, что Эпименид солгал. В этом случае следует считать его высказывание ложным. Из истинности высказывания «Неверно, что все критяне лжецы» можно сделать вывод, что некоторые критяне не лгут и в их числе Эпименид, поскольку мы оцениваем единственное высказывание, произнесённое критянином в ограниченном интервале времени. Интересно, что парадокс «Лжец» произвёл настолько сильное впечатление на современников Эвбулида, что существует легенда, согласно которой некий Филит Косский, отчаявшись разрешить этот парадокс, покончил с собой, а философ Диодор Кронос, дав обет не принимать пищу до тех пор, пока не найдёт решение «Лжеца», умер, так и не разрешив эту проблему. Авторство других подобных парадоксов традиция также приписывает Эвбулиду. Так, в парадоксе «Куча» формулируется вопрос: «Если прибавлять по одному зерну, с какого момента появится куча, и значит ли это, что куча возникает в результате прибавления одного зерна?» — Одно зерно кучи не составляет. Если прибавить ещё одно зерно — это тоже не куча. Так с которого по счёту зерна начинается куча? В парадоксе «Лысый» формулируется вопрос: «Если волосы с головы выпадают по одному, с которого по счёту потерянного волоса человек становится лысым?»

В указанных парадоксах затрагивается проблема, которую с точки зрения современной логики можно сформулировать в виде вопроса: существует ли фиксированное количество элементов, начиная с которого начинается переход из одного состояния в другое? Трудности именования, связанные с наличием в обыденном языке множества имён, недостаточно чётких по содержанию и по объёму, не позволяют решить, применимы они или уже не применимы к данному объекту. Такие парадоксы как «Спрятанный», «Покрытый», «Электра» являются разновидностями одного парадокса: Спрашивается, знает ли Электра, что Орест её брат? Конечно знает. Но Орест покрыт одеялом, и Электра не знает, что покрытый человек есть её брат. Следовательно, Электра не знает того, кого знает. Данный парадокс фиксирует наличие в обыденном языке таких логических форм, которые называются интенсиональными функциями. В данном примере — это интенсиональный контекст с предикатом «X знает, что…». Применение принципа замены имени на равнообъёмное ему имя приводит к антиномиям. Объём (экстенсионал) единичного имени «Орест» совпадает с объёмом единичного имени «этот покрытый человек» при различии содержании (интенсионала). Парадоксы такого типа отражают трудности из области логической семантики. В свою очередь, известный парадокс «Рогатый», приписываемый мегарику Алексину — малопримечательной фигуре в истории логики, относится уже к категории софизмов: «То, чего ты не потерял, то ты имеешь. Ты не потерял рога. Следовательно, ты их имеешь».

Несколько особняком стоит знаменитый парадокс «Протагор и Еватл» и такие его версии, как «Крокодил и мать», «Санчо Панса» и другие. По преданию, философ-софист Протагор (V век до Новой эры) заключил со своим учеником Еватлом договор: Еватл, обучавшийся праву, должен заплатить за обучение лишь в том случае, если выиграет свой первый судебный процесс. Закончив обучение, Еватл не стал, однако, участвовать в процессах. Протагор подал на него в суд, аргументируя своё требование таким образом: «Каким бы ни был результат суда, Еватл должен будет заплатить. Он либо выиграет этот свой первый процесс, либо проиграет. Если выиграет, то заплатит в силу заключённого договора. Если проиграет, заплатит согласно решению суда». На это Еватл ответил: «Если я выиграю, решение суда освободит меня от обязанности платить. Если суд будет не в мою пользу, это будет означать, что я проиграл свой первый процесс и не заплачу в силу договора». Если под решением данного спора понимать ответ на вопрос, должен Еватл уплатить Протагору или нет, то очевидно, что спор неразрешим. Договор учителя и ученика внутренне противоречив и требует реализации логически невозможного положения: Еватл должен одновременно и уплатить за обучение, и вместе с тем не платить.

В Античности также решались математические парадоксы. Древнегреческие математики столкнулись с парадоксальной для них ситуацией — несоизмеримостью геометрических фигур: было доказано, что сторона квадрата со стороной, равной единице, несоизмерима с его диагональю, так как выражается иррациональным числом, являющимся бесконечной непериодической дробью. Открытие несоизмеримости отрезков не согласовывалось с принятым, например, у пифагорейцев мнением, которые полагали, что любые два отрезка имеют общую числовую меру (общее кратное), хотя бы и очень малую. Система рациональных чисел плотно «покрывала» числовую ось, и предполагалось, что на ней не оставалось места для таких чисел, которые впоследствии были названы иррациональными.

Теория семантических парадоксов, или инсолюбилий (от латинского слова: insolubiliis), интенсивно разрабатывалась в Средние века. Значительный вклад в разработку данной проблемы внесли А. Саксонский и Ж. Буридан.

А. Саксонский анализировал многие семантические парадоксы. Например, «Сократ утверждал: «Человек — животное». Платон сказал: «Только Сократ говорит правду». Требуется определить, сказал ли Платон правду». Содержательный анализ позволил А. Саксонскому сконструировать парадоксальную ситуацию. Если допустить, что Платон сказал правду, то в этом случае истинным следует признать только утверждение Сократа, но не Платона. Значит, Платон солгал. При обратном допущении — ложности утверждения Платона — следует признать истинным хотя бы одно высказывание, но не высказывание Сократа. Исходя из данного рассуждения, таким может быть только утверждение Платона. Значит, Платон сказал истину.

Ж. Буридан анализировал, в частности, следующее парадоксальное высказывание, или инсолюбилию: «Все, что написано в этом фолианте, ложно». При этом в данном фолианте больше ничего не написано. Процедура определения логического значения данного высказывания — истинно или ложно — представляет парадоксальную ситуацию. Если допустить, что оно истинно, следует признать его ложность, поскольку оно написано в данном фолианте. Сделав допущение о ложности высказывания, необходимо признать его истинность. Возникает формальное противоречие.

Дискуссия по проблеме парадоксов, построенных в рамках двузначного формализма, была весьма оживлённой в схоластической логике. А. Саксонский считал, что природа такого рода антиномий имеет не логический, а лингво-психологический характер. И. М. Скотт систематизировал формальное многообразие мнений о причинах парадоксов, сведя их к трём основным подходам:

1. отбрасывание;
2. ограничение;
3. решение.

При первом подходе инсолюбилия не рассматривается в качестве высказывания, так как к ней неприложимы категории «истинно» и «ложно», и считается бессмысленной.

Типичным примером второго, ограничительного подхода, является программа У. Оккама, согласно которой причина появления парадокса заключается в том, что термины, употребляемые при обозначении высказываний, используются иногда для обозначения тех же самых высказываний, составными частями которых они являются. Точка зрения Оккама редуцируется к запрещению возвратных (круговых) определений, то есть не разрешается употреблять такие языковые конструкции, в которых само высказывание непосредственно апеллирует к собственной ложности (соответственно, недоказуемости). Руководствуясь при решении проблемы парадоксов своей знаменитой «бритвой» («не следует приумножать сущностей сверх необходимости»), Оккам считал собственное решение проблемы предельно общим: при выполнении предписания антиномии не возникают. Но уже Буридан показал, что даже при соблюдении метода Оккама — отсутствии непосредственной апелляции к собственной ложности — возможно возникновение парадоксов, например, в следующей системе посылок:

• человек — животное;
• только первое высказывание истинно;
• первое и второе высказывания единственны.

Он предложил третий подход, исходя из различия двух типов парадоксальных высказываний:

1. с «прямым отражением» (например, в парадоксе Эвбулида «Лжец»);
2. с «непрямым (косвенным) отражением» (например, второе высказывание в приведённой выше системе посылок).

Для элиминации семантических парадоксов Буридан предложил два способа:

1. приписывать инсолюбилий уточняющее высказывание: утверждение было действительно высказано кем-нибудь;
2. уточнять аристотелевское понимание предиката «быть истинным», что позволит избежать ситуации, когда высказывание имплицирует другое высказывание, в котором субъектом является имя собственное исходного высказывания, а предикатом — термин «истинно».

В начале Нового времени активно решался «парадокс антиподов». Эмпирически было доказано, что все тяжёлые тела, если их не поддерживать, падают вниз. Шарообразность Земли и её обитаемость по обе стороны экватора были подтверждены, и это приводило к антиномии мнений при попытке ответить на вопрос, почему жители противоположной части земного шара не падают в пространство. Разрешение «парадокса антиподов» стало возможным в связи с пересмотром физического понятия падения. Вместо ошибочного положения о всеобщем тяготении всего сущего в одном направлении была выдвинута правильная теория о тяготении всего существующего на Земле к центру Земли.

В конце XIX — начале XX века парадоксы стали предметом акцентированного внимания математиков и логиков.

Математизация анализа систем объектов большой мощности (например, множества действительных чисел; множество цифр, образующих бесконечную десятичную дробь, и других) привела к пониманию бесконечной совокупности как одного объекта, а множества подобных объектов — как новой совокупности. В 1895 году Б. Рассел в письме к Г. Фреге сообщил ему об обнаруженном противоречии в теории множеств Г. Кантора. Парадокс, открытый Расселом, установил внутреннюю противоречивость понятия множества всех непарадоксальных множеств, которые не содержат себя в качестве элемента. Множество представляет собой обобщение предметов некоторого класса, обладающих общим свойством. Само множество может обладать тем же свойством или не обладать.

Существуют два вида множеств:

1. собственные, или нормальные, множества, не обладающие свойствами составляющих их элементов (например, множество индивидов не является индивидом, множество растений не является растением, множество звёзд не является звездой и так далее);
2. несобственные, или ненормальные, множества, обладающие свойствами составляющих их элементов (например, множество абстракций само обладает свойством быть абстракцией, множество списков также является списком, множество множеств также есть множество и так далее).

Рассел различал эти множества как множества объектов и множества множеств. Анализируя теорему Кантора о множестве-степени, Рассел выделил понятие «множества, которое не является элементом самого себя». Например, множество всех множеств не будет таковым, а множество натуральных чисел — будет. Однако в отношении множества всех множеств, не являющихся элементами самого себя, мы уже не можем решить, будет ли оно обладать свойством не являться своим элементом или нет. Оба ответа ведут к противоречию.

Парадокс Рассела явился результатом критического пересмотра предпосылок, лежащих в основе работы Г. Фреге «Основные законы арифметики» (1903). Эту же антиномию одновременно обсуждали Э. Цермело и Д. Гилберт. Интересно, что парадокс Рассела не имеет специфически математического характера, что подтверждается переформулировкой его в логических терминах. Каждое свойство (признак) может быть приложимо к себе или неприложимо. Например, свойство «быть конкретным» не относится к самому себе, так как является абстракцией, а свойство «быть абстрактным» приложимо. При ответе на вопрос «приложимо ли свойство «быть неприложимым» к самому себе?» возникает парадоксальная ситуация: неприложимость является неприложимой только в том случае, если она приложима. Сам Рассел популяризовал его в форме «парадокса брадобрея»: «Брадобрей бреет только тех людей, которые не бреются сами. Бреет ли он себя?» Семантический парадокс К. Греллинга и Л. Нильсона возникает в аналогичной ситуации: прилагательное называется автологическим, если свойство, которое оно обозначает, присуще ему самому (например, «многосложный», «русский» и так далее). Прилагательное называется Гетерологическим, если свойство, которое оно обозначает, ему самому не присуще (например, «зелёный», «французский» и так далее). Если прилагательное «гетерологический» Гетерологично, то оно негетерологично; если оно негеторологично, то оно Гетерологично.

Парадокс Рассела вызвал в математике «эффект полной катастрофы» (по выражению Д. Гилберта), так как простые, но важные логические методы и понятия оказались под угрозой. Стало очевидным, что ни в логике, ни в математике не были разработаны средства для устранения антиномий. Возникла необходимость радикального отказа от привычных, устоявшихся способов мышления и теоретизирования, поскольку в терминах классической двузначной логики парадоксальные ситуации не поддавались объяснению.

Уточнение представлений, лежащих в основе теории множеств, а также чёткое выделение рассуждений, приводящих к антиномиям, дали определённые результаты. Наиболее значимым оказался аксиоматический метод, разработанный Б. Расселом и Э. Цермело в 1908 году независимо друг от друга. Они связали причину парадоксов с неограниченным конституированием множеств. Допустимые множества были определены системой аксиом, сформулированных таким образом, чтобы из них не выводились известные парадоксы — Рассел предложил теорию типов, согласно которой устанавливается тип логического объекта и в соответствии с ним данный логический объект занимает строго определённое место в иерархии «типов». Все объекты, о которых мы рассуждаем, подразделяются на типы. К нулевому типу объектов относятся индивиды, к следующему, первому типу — свойства и отношения (признаки) индивидов, ко второму типу — признаки признаков и так далее. Например, Аристотель, Афины, Юпитер — это индивиды. Их свойства — «быть человеком», «быть городом», «быть планетой» — объекты первого типа. Объект «быть цветом» — уже не признак индивидов, так как ни один объект нулевого типа не является цветом, а признак признака. Логическая функция может иметь в качестве аргументов лишь только предшествующие ей в этой иерархии объекты, то есть то, что предицируется, всегда должно относиться к объектам более высокого типа по сравнению с типом объектов, относительно которых осуществляется предикация. Это позволяет отчасти избежать самоотнесения понятий.

По традиции, идущей от Ф. П. Рамсея, в логике принято делить парадоксы на логические и семантические. В 1926 году Ф. П. Рамсей впервые классифицировал парадоксы, разделив их на две группы:

1. синтаксические логико-математические парадоксы, не содержащие семантических терминов;
2. семантические парадоксы, содержащие семантические термины «истина», «язык», «определимость», «именование» и другие, которые основаны на интерпретации конкретных понятий и не являются строго математическими, а скорее относятся к области логической семантики (см. Логическая семантика) и теории познания.

Однако многие (причём наиболее принципиальные) парадоксы находятся на стыке данных двух групп. Таковы, например, парадокс «Лжец» и парадокс Рассела.

С развитием семантики (см. Семантика), определяющей свои основные понятия в терминах теории множеств, различие, проведённое Рамсеем, становится всё менее различимым. А. Тарский видел причину семантических парадоксов в семантической замкнутости языков и действии законов формальной логики (см. Логика формальная). Язык семантически замкнут, если в этом языке для каждого выражения может быть образовано имя этого выражения и в этом языке имеются семантические предикаты типа «истинное высказывание», «х определяет у» и другие, относящиеся к выражениям этого языка. Такими являются естественные языки. Утверждения о семантических свойствах данного объектного языка, в том числе классическое определение истины, необходимо формулировать не в самом этом языке, а в метаязыке. Границы между языком и метаязыком в семантически замкнутом языке не существует. Его богатые выразительные возможности позволяют не только что-то утверждать о внеязыковой реальности, но и оценивать истинность таких утверждений. Семантически замкнутый язык оказывается внутренне противоречивым. Любой естественный язык является семантически замкнутым. Именно с помощью их средств воспроизводятся все антиномии. Отказ от употребления семантически замкнутого языка, согласно Тарскому, единственно приемлемый путь для устранения парадоксов. В семантически не замкнутом языке нельзя сформулировать высказывание, утверждающее свою истинность или ложность.

Оригинальный подход к анализу семантических парадоксов предложил Д. А. Бочвар (и независимо от него С. Холден). Согласно Д. А. Бочвару, для анализа парадоксов следует использовать трёхзначную логику с двумя типами связок — внутренними с истинностными значениями «бессмысленно», «истинно» и «ложно» и внешними — только с истинностными значениями «истинно» и «ложно». В логике Д. А. Бочвара определима одноместная внешняя «утверждение бессмысленности». Анализ парадокса состоит в доказательстве бессмысленности парадоксальной формулы, то есть утверждения, что данная формула бессмысленна.

Новый класс парадоксов, лежащий на грани с семантическими, поскольку используется понятие определимости, был открыт Дж. Берри, который ввёл в рассмотрение сложность объекта. Парадокс Берри формулируется следующим образом: «Предложений, содержащих менее ста букв, конечное число; поэтому с их помощью можно определить лишь конечное число натуральных чисел; поэтому есть наименьшее число n₀, не определимое таким способом; но тогда фраза «Наименьшее число, не определимое при помощи предложения, содержащего менее ста символов» содержит менее ста символов и определяет n₀». Конструкция парадокса Берри интенсивно используется в современной теории сложности вычислений для доказательства трудности решения задач. Она практически сводится к общенаучному принципу, что система может быть полностью познана лишь системой, на порядок более сложной.

Семантические парадоксы сыграли большую роль в развитии логики, так как необходимость их анализа привела к построению металогических средств и корректному определению предиката истинности для формализованных языков. В целом, семантические парадоксы устраняются за счёт чёткого разделения языка и описывающего его семантические свойства метаязыка. Однако это возможно только в случае искусственных, формализованных языков, допускающих чёткое подразделение на язык и метаязык. Вопрос о внутренней непротиворечивости естественных языков с их нечёткой структурой и возможностью выразить что угодно, в том числе и парадоксы, не имеет смысла.

Парадоксы, возникающие в различных языковых контекстах в результате применения принципа взаимозаменяемости, называются антиномиями отношения именования. Классическими примерами антиномии отношения именования является парадокс У. Куайна: «из посылок «Логически необходимо, что девять больше семи» и «В Солнечной системе имеется девять планет» на основании принципа взаимозаменяемости выводится ложное следствие «Логически необходимо, что число планет в Солнечной системе больше семи». Очевидно, что логической необходимости в данном случае нет». Впоследствии конструкция данного парадокса использована в доказательстве теоремы Х. Г. Райса о неразрешимости нетривиальных свойств вычислимых функций (единственные свойства вычислимых функций, которые могут определяться программой — тождественно истинное и тождественно ложное) и теоремы о невозможности нетривиальных точных предсказателей, то есть оракулы, которые не ошибаются, говорят либо только одну истину, либо одну ложь. Этот парадокс сыграл значительную стимулирующую роль при разработке тонких вопросов модальной логики с равенством (см. Модальная логика).

Особую группу антиномий отношения именования составляют парадоксы, возникающие в контекстах с пропозиционально-эпистемическими установками «знаю, что», «считаю, что», «верю, что» и другие. Например, «X считает, что Прага — столица Словакии». Но известно, что Прага — столица Чехии. Согласно принципу взаимозаменяемости получаем «X считает, что столица Чехии является столицей Словакии», но X так не считает. Наиболее известными объяснениями парадокса именования являются концепции значения и смысла Г. Фреге, теория дескрипций Б. Рассела, метод экстенсионала и интенсионала Р. Карнапа, а также концепции возможных миров Р. Монтегю и Д. Скотта, являющиеся дальнейшим развитием метода экстенсионала и интенсионала. Понятия «денотат» и «смысл», отвечающие принципам теории именования, в концепции Фреге зависят от контекста. У Фреге смысл выражения в обычном экстенсиональном контексте становится денотатом в интенсиональном (косвенном) контексте. Рассел исходил из идеи, что имена эмпирических объектов являются сокращёнными логическими дескрипциями, которые обозначают объекты не путём указания на определяемый объект (применение эмпирических терминов, смысл которых определяется остенсивно, должно быть строго ограничено в языке, имеющем общезначимый характер), а посредством теоретического описания этого объекта. Структуры логических дескрипций включают исключительно теоретические термины. Антиномии отношения именования возникают вследствие имплицитного смешения нетождественных по смыслу терминов. Явления несоответствия между тем, что должно быть, — согласно принципу взаимозаменяемости — фактическим положением дел Карнап назвал антиномиями отношения именования. Он заменил фрегевский метод отношения именования методом интенсионала (содержания) и экстенсионала (объёма).

Антиномии не возникают в экстенсиональных контекстах, значения которых зависят только от денотатов (предметных значений) употребляемых в нём имён. Для интенсиональных контекстов, значения которых зависят от смысла употребляемых в нём имён, общепринятый принцип взаимозаменяемости имён оказывается неправомерным. В настоящее время критерий, посредством которого можно было бы различать интенсиональные и экстенсиональные контексты, не найден. Основные категории логической семантики Карнапа и понятия экстенсионала и интенсионала — вводятся на основе различения И-эквивалентности и Л-эквивалентности. Любые два выражения (высказывания, имена, предикаторы) И-эквивалентны, если и только если они имеют один и тот же экстенсионал, и Л-эквивалентны, если и только если имеют один и тот же интенсионал. Необходимым условием взаимозаменяемости высказываний является тождество их экстенсионалов — логических валентностей и интенсионалов — выражаемых ими суждений.

Понятие интенсионала не является адекватным уточнением фрегевского понятия «смысл». Семантика возможных миров (см. Семантика возможных миров), предполагаемая понятием интенсионала, требует уточнения условий сохранения смысла и условий истинности. Под возможными мирами (понятие восходит к философии Г. В. Лейбница) понимаются все мыслимые взаимно непротиворечивые положения дел относительно всех объектов и их состояний (см. Возможные миры). Набор обстоятельств, от которых зависит истинность высказывания (положение дел в разные моменты времени, в разных местах, с разными лицами и так далее) Монтегю и Скотт назвали точками соотнесения. Монтегю подчёркивал их «прагматический характер и относил интерпретацию такого рода контекстов к области прагматики». Е. Д. Смирнова уточнила, что эти факторы могут быть «как объективного плана (время, место и так далее), так и связанными с субъектом (субъектами), то есть носить прагматический характер». В системе классической логики рассматриваются выводы из высказываний, в которых утверждается или отрицается наличие некоторых ситуаций фактического характера. Особенностями этих высказываний являются их экстенсиональный характер и двузначность.

Экстенсиональный характер высказываний означает, что истинностное значение высказывания зависит не от содержаний входящих в них терминов, а лишь от их предметных значений (денотатов). Значение сложного высказывания определяется только истинностными значениями составляющих их высказываний. Условная связь образует интенсиональные контексты, то есть высказывание формы «Если A, то B» истинно лишь при наличии определённой связи между ситуациями A и B, независимо от того, какие истинностные значения принимают высказывания A и B.

Как логические парадоксы часто трактуются законы материальной импликации — «из лжи следует всё что угодно», и «истина следует из всего, что угодно», поскольку они позволяют получить формулы A → B, в которых A и B никак не связаны по смыслу. Материальная импликация — экстенсиональна, то есть логическая форма «A → B» истинна в случаях, когда ложно A или истинно B, независимо от того, имеется ли какая-либо связь между ситуациями A и B. Поэтому такие высказывания как, например, «Если трава зелёная, то непрерывная функция дифференцируема», «Если люди были на Марсе, то непрерывная функция дифференцируема», являются истинными. Такого рода ситуации называются парадоксами материальной импликации. Материальную импликацию нельзя рассматривать как условную связь. Поэтому возникает проблема экспликации отношения условной связи — одна из проблем, решаемых релевантной логикой. Далее, следует отметить парадокс логического всеведения: Если мы знаем A и A → B, то мы знаем B. Следовательно, мы знаем все следствия наших знаний, и в частности все логические тавтологии, что невозможно, поскольку их множество бесконечно (а для языка логики предикатов даже неразрешимо). Парадоксы следования, материальной и строгой импликации называются парадоксами релевантности вследствие того, что утверждаемые ими связи между высказываниями фактически не утверждают связи по содержанию, то есть в формулах указанных видов нарушается требование релевантности.

Наряду с парадоксами релевантности выделяют парадоксы модальности (А. Р. Андерсон и Н. Д. Белнап), в которых необходимость является следствием простого фактофиксирующего высказывания. Таковыми являются выражения вида (A → (B → C), где A — произвольное высказывание, отражающее фактическое положение дел, но не содержащее связи «→». Подформула B → C представляет собой утверждение необходимого характера о наличии следования между B и C. Его истинность не может зависеть от случайных обстоятельств, поскольку отношение следования обусловлено лишь логическими формами высказываний. Подформула A может выражать фактическое высказывание. В этом случае необходимость не может быть следствием фактофиксирующей ситуации. В логике подтверждения, разрабатываемой в рамках вероятностной логики, имеет место ряд логических трудностей, называемых парадоксами подтверждения. Наиболее известным является парадокс воронов Гемпеля. Гипотеза «Все A есть B» подтверждает наличие предметов, обладающих свойством A и свойством B. Например, чем больше мы встретим чёрных воронов, тем больше имеется оснований принять гипотезу «Все вороны чёрные». Гипотеза «Все нечёрные предметы не являются воронами» логически эквивалентна исходной (получена путём частичной контрапозиции — разновидности непосредственного силлогистического вывода исходной гипотезы и подтверждается наблюдением любого нечёрного предмета, например белого ботинка. Но поскольку две гипотезы логически эквивалентны, то они должны подтверждаться одинаковыми фактами. Таким образом, наблюдение белого ботинка подтверждает гипотезу о том, что все вороны чёрные.

Указанные аномалии послужили стимулом для развития модальных, паранепротиворечивых, эпистемических и релевантных логик, в которых данные парадоксы частично преодолеваются. На самом деле полностью преодолеть их невозможно, поскольку любая успешная формализация является сильным упрощением.

Развитие современных логических методов привело к новым логическим парадоксам. Например, Л. Э. Я. Брауэр указал на следующий парадокс классического существования: в любой достаточно сильной классической теории имеется доказуемая формула вида ∃хA(x), для которой нельзя построить никакого конкретного t, такого, что доказуемо A(t). В частности, нельзя построить в теории множеств ни одной нестандартной модели действительных чисел, хотя можно доказать существование таких моделей. Этот парадокс показывает, что понятия существования и возможности построения необратимо расходятся в классической математике.

Далее, нестандартные модели, которые потребовали явного различения языка и метаязыка, привели к следующему парадоксу: «Множество всех стандартных действительных чисел является частью нестандартного конечного множества. Таким образом, бесконечное может быть частью конечного». Этот парадокс резко противоречит обыденному пониманию соотношения конечного и бесконечного. Он основан на том, что свойство «быть стандартным» принадлежит метаязыку, но может быть точно интерпретировано в нестандартной модели. Поэтому в нестандартной модели можно говорить об истинности и ложности любых математических утверждений, включающих понятие «быть [не] стандартным», но для них не обязаны сохраняться свойства стандартной модели, за исключением логических тавтологий. Данный парадокс стал основой теории полумножеств, в которой классы могут быть подклассами множеств.

Ввиду того, что парадоксы раскрывают скрытые концептуальные противоречия и переводят их в прямые и открытые, они в целом помогают при развитии новых идей, концепций и теорий. Парадокс как абсолютное противоречие легко может возникнуть в научной теории (см. Теория), если логические основы этой теории недостаточно изучены и выявлены не полностью. Отрицательная роль парадокса в науке состоит в том, что он обнаруживает несостоятельность той теории, в которой он получен, таким образом показывая, что совокупность её исходных допущений должна быть отвергнута. Кроме того, логические правила чаще всего позволяют вывести из противоречия любое предложение теории или, по крайней мере, отрицание любого предложения, что обесценивает само понятие доказуемости в теории. Поэтому в связи с каждой теорией, представляющей логический интерес, возникает задача — освобождение данной теории от парадоксов, то есть придания ей такой формы, в которой они не могут возникнуть (доказательство этого факта представляет собой доказательство непротиворечивости теории), или такой формы, при которой практически не удаётся получить противоречие (ввиду трудности нахождения доказательств непротиворечивости часто довольствуются этим вторым видом решения задачи освобождения теории от парадоксов, хотя первый, конечно, предпочтительнее). Таким образом, решение этой задачи, поставленной для произвольно выбранной теории, может включать в себя (и обычно включает) предварительную замену этой теории на другую, достаточно близкую к ней по своей цели или содержанию, но с более или менее отработанными логическими основами (ибо в своём первоначальном варианте любая сколько-нибудь сложная теория обычно далека от логического совершенства и приближается к нему в значит, мере как раз благодаря попыткам устранения парадоксов; в этом, кстати, состоит положительное значение парадокса в логическом развитии теории). Поскольку исходные допущения теории (часто именуемые её постулатами или аксиомами, хотя строгая теория и не обязательно должна строиться согласно аксиоматическому методу) в достаточной мере выявлены, от некоторых из них приходится часто отказываться в целях избежания парадоксов. В связи с тем, что полный отказ от исходных допущений привёл бы и к полному разрушению теории, отказ от нужных допущений обычно сопровождается принятием других допущений, способных играть но возможности ту же полезную роль, которую играли бы в теории отбрасываемые допущения. Таким образом, под влиянием обнаруживаемых парадоксов научные теории уточняются. Уточняется и само понятие доказательства — так что рассуждения, приводившие к парадоксу на ранней стадии развития теории, уже не приводят к ним на позднейших стадиях этого развития. Ввиду этого слово «парадокс» часто употребляется условно или в переносном смысле не только в обыденной речи, но и в научно-ориентированных дискурсах.