Континуум

Континуум — это непрерывная совокупность, длительность или последовательность. Понятие континуума широко используется в математике, философии, естествознании. В этих областях знаний термином «континуум» обозначают несколько различных, но тесно связанных друг с другом понятий, выражающих свойство непрерывности. В математике под континуумом понимается непрерывное многообразие или класс множеств, количественно эквивалентный множеству действительных чисел. В физике под континуумом понимается идеализированная модель единого физического пространства-времени (см. Пространство и Время). В философии (см. Философия) понятие континуума рассматривается в рамках категорий непрерывности и прерывности, характеризующих бытие (см. Бытие) и мышление (см. Мышление).

Понятие континуума в философии

В философии понятие континуума выражает одну из категорий непрерывности и прерывности: прерывность (дискретность) подразумевает определённую структурность объекта, его внутреннюю «сложность»; непрерывность подразумевает целостный характер объекта, взаимосвязь и однородность его частей (элементов) и состояний. В силу этого категории непрерывности и прерывности являются взаимодополняющими при любом исчерпывающем описании объекта. Важную роль категории непрерывности и прерывности играют также при описании развития, при котором конкретный мир переходит из одного состояния в другое: либо внезапно, вдруг — через «скачок», либо постепенно — через преемственность (см. Изменение).

В силу своей философской фундаментальности категории непрерывности и прерывности подробно обсуждаются уже в античной философской мысли. Факт движения (см. Движение) связывает воедино проблемы непрерывности и прерывности пространства, времени и самого движения. В V веке до Новой эры Зенон Элейский формулирует основные апории, связанные как с дискретной, так и с непрерывной моделями движения. Зенон показал, что континуум не может состоять из бесконечно малых неделимых (из точек), так как тогда величина бы складывалась из невеличин, из «нулей», что непонятно, ни из конечных, имеющих величину неделимых, так как в этом случае, поскольку неделимых должно быть бесконечное множество (между любыми двумя точками найдётся точка), это бесконечное множество конечных величин давало бы бесконечную величину. Проблема структуры континуума представляет собой тот проблемный узел, в котором неразрывно связаны категории непрерывности и прерывности. При этом, то или иное понимание континуума в Античности обычно истолковывается онтологически и соотносится с космологией.

Античные атомисты (Демокрит, Левкипп, Лукреций и другие) стремятся мыслить всю сферу сущего как своеобразную смесь дискретных элементов (атомов). Но довольно быстро происходит разделение точек зрения физических атомистов, мыслящих атомы неделимыми конечными элементами, и математических атомистов, для которых неделимые не имеют величины (точки). Последний подход успешно использует, в частности, Архимед для нахождения площадей и кубатур тел, ограниченных кривыми и неплоскими поверхностями. Абстрактно математический и физикалистский подходы ещё не слишком рельефно разделены в античной мысли. Так, вопрос о природе треугольника, из которых в «Тимее» Платона складываются многогранники элементов, остаётся дискуссионным (проблема в том, что здесь из плоскостей складываются трёхмерные элементы, то есть, вероятно, имеет место математический атомизм). Для Аристотеля непрерывное не может состоять из неделимых частей. Аристотель различает следующее по порядку, соприкасающееся и непрерывное. Каждое следующее в этом ряду оказывается спецификацией предыдущего. Существует следующее по порядку, но не соприкасающееся, например ряд натуральных чисел; соприкасающееся, но не непрерывное, например воздух над поверхностью воды. Для непрерывности необходимо, чтобы границы соприкасающихся совпадали. Для Аристотеля «всё непрерывное делимо на части, всегда делимые» (Физика VI, 231b 15–17).

Ещё острее вопрос о природе континуума обсуждается в средневековой схоластике. Рассматривая его в онтологической плоскости, сторонники и противники континуальной космологии относят другую возможность истолкования в сферу субъективного, только мыслимого (или чувственного). Так, Генрих Гентский утверждал, что существует лишь континуум, а все дискретное, и прежде всего число, получается «отрицанием», через проведение границ в континууме. Николай из Отрекура, наоборот, считал, что хотя чувственно данный континуум и делим до бесконечности, в действительности же континуум состоит из бесконечного числа неделимых частей. Укреплению аристотелевского подхода к континууму служили дискуссии средневековых номиналистов (У. Оккам, Григорий из Римини, Ж. Буридан и другие). «Реалисты» понимали точку как онтологическую реальность, лежащую в основе всего сущего (Р. Гроссетест).

В XVI веке традицию физического атомизма — «линию Демокрита» — продолжает Дж. Бруно. В XVII веке атомистика Г. Галилея носит уже явно математический характер («линия Архимеда»). Тела у Галилея состоят из бесконечно малых атомов и бесконечно малых промежутков между ними, линии строятся из точек, поверхности — из линий и так далее. В философии Г. В. Лейбница была дана оригинальная интерпретация соотношения непрерывности и прерывности. Лейбниц разводит непрерывность и прерывность по разным онтологическим сферам. Действительное бытие — дискретно и состоит из неделимых метафизических субстанций — монад. Мир монад не дан непосредственному чувственному восприятию и открывается только размышлением. Непрерывное же является основной характеристикой лишь феноменального образа Универсума, так как он наличествует в представлении монады. В действительности части — «единицы бытия», монады — предшествуют целому. В представлениях же, данных в модусе пространства и времени, целое предшествует частям, на которые это целое можно бесконечно делить. Мир непрерывного не есть мир действительного бытия, а мир лишь возможных отношений. Непрерывны пространство, время и движение. Более того, принцип непрерывности является одним из фундаментальных начал сущего. Лейбниц формулирует принцип непрерывности следующим образом: «Когда случаи (или данные) непрерывно приближаются друг к другу так, что наконец один переходит в другой, то необходимо, чтобы и в соответствующих следствиях или выводах (или в искомых) происходило то же самое» (Лейбниц Г. В. Сочинения в 4-х тт., т. 1. — М., 1982, с. 203–204). Лейбниц показывает применение этого принципа в математике, физике, теоретической биологии, психологии. Проблему структуры континуума Лейбниц уподоблял проблеме свободы воли («два лабиринта»). При обсуждении обоих мышление сталкивается с бесконечностью: в бесконечность уходит процесс нахождения общей меры для несоизмеримых отрезков (по алгоритму Евклида) и в бесконечность же простирается цепь детерминации лишь по видимости случайных (но на самом деле подчиняющихся совершенной божественной воле) истин факта. Лейбницевской онтологизации границы между непрерывностью и прерывностью не суждено было стать доминирующей точкой зрения. Уже Xр. фон Вольф и его ученики опять начинают дискуссии о построении континуума из точек. И. Кант, полностью поддерживая лейбницевский тезис о феноменальности пространства и времени, строит тем не менее континуалистскую динамическую теорию материи. Последняя существенно повлияла на Шеллинга и Гегеля, которые также выдвигали её против атомистических представлений.

В русской философии на рубеже XIX–XX веков возникает противостояние «культу непрерывности», связанное с именем математика и философа Н. В. Бугаева. Бугаев разработал систему миросозерцания, основанную на принципе прерывности как фундаментальном принципе мироздания. В математике этому принципу соответствует теория прерывных функций — аритмология, в философии — особый тип монадологии, развитый Бугаевым. Аритмологическое мировоззрение отрицает мир как «сплошность», зависящую только от самой себя и постижимую в понятиях непрерывности и детерминизма. В мире есть свобода, откровение, творчество, разрывы непрерывности — как раз те «зияния», которые отвергает принцип непрерывности Лейбница. В социологии аритмология в противовес «аналитическому мировоззрению», видящему во всём только эволюцию, подчёркивает катастрофические аспекты исторического процесса: революции, перевороты в личной и общественной жизни. Вслед за Бугаевым подобные взгляды развивал П. А. Флоренский.

Понятие континуума в математике

В математике Античности дискретное — как число, и непрерывное — как величина (то есть континуальная пространственная величина) — мыслятся раздельно и несводимы одна к другой. Числом занимается арифметика, величинами — геометрия, и познавательный статус первой, согласно платоновско-пифагорейской традиции, выше, чем второй. Средневековье углубляет дискуссию о соотношении непрерывности и прерывности, вводя новые важные логические дистинкции (например, категории синкатегорематической и категоруматической бесконечности, тесно связанные с проблемой деления континуума). С изобретением в XVII веке дифференциального и интегрального исчислений проблема арифметизации континуума становится всё более насущной. Однако положительного решения её пришлось ждать вплоть до второй половины XIX века, когда появились арифметические конструкции действительного числа К. Вейерштрасса, Ш. Мере, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Все эти конструкции существенно использовали актуальную бесконечность.

Кантор попытался в рамках созданной им теории множеств оценить мощность арифметических моделей континуума. Мощность множества натуральных чисел («счётного множества») обозначалась им через א₀ («алеф» — первая буква древнееврейского алфавита). Тогда, согласно теоремам теории множеств, мощность арифметического континуума будет 2^{א 0}. Кантор выдвинул предположение («континуум — гипотеза»), что мощность континуума является наименьшей из следующих за א₀ мощностей, то есть: 2^{א 0} = א₁.

Доказательство континуум-гипотезы означало бы, что континуум в некотором обобщённом смысле может быть «исчислен» или «сложен из точек». Эту гипотезу, однако, не удалось доказать ни Кантору, ни его последователям. В 1963 году П. Дж. Коэн показал, что континуум-гипотеза не может быть ни доказана, ни опровергнута в теории множеств, опирающейся на систему аксиом Цермело — Фрэнкеля.

В более широком смысле понятие непрерывности определяется в современной математике формально, в рамках топологии. Через аксиоматически вводимое понятие близости точек («окрестность точки») можно определить понятия предельного перехода и непрерывности функций. Таким образом возникают различные топологические пространства, моделирующие всевозможные типы непрерывности (включая и дискретную топологию). В то же время существует целый ряд нестандартных моделей континуума: конструкции Э. Л. Брауэра и Г. Вейля в рамках интуиционистской математики, специальные модели в альтернативных (неканторовских) теориях множеств, в «нестандартном анализе» А. Робинсона.

Понятие континуума в физике

В физике под континуумом понимается идеализированная модель единого физического пространства-времени. Она получается путём отождествления точек геометрического континуума с точками физического пространства-времени и определения на геометрическом континууме метрических отношений и функциональных связей посредством мысленного воспроизведения движений твёрдых тел (в классической механике) или световых сигналов (в теории относительности). В соответствии с представлениями общей теории относительности метрическая структура пространственно-временного континуума детерминируется распределением плотности вещества и излучения во Вселенной. Континуальная модель физического пространства-времени представляет собой результат становления и развития классической математики и классической (неквантовой) физики. В XX веке классические представления о движении частицы и волны пришлось заменить представлением о сосуществовании корпускулярных и волновых свойств в едином физическом объекте. Наряду с классическими представлениями о пространственно-временном континууме предпринимаются попытки квантования пространства и времени.