Количество

Количество — это философская категория, выражающая общее в качественно однородных предметах и явлениях. Чтобы выявить в них это общее, следует, во-первых, установить их однородность, то есть показать, в каком именно отношении они эквивалентны между собой; во-вторых, выделить то свойство или отношение, по которому рассматриваемые предметы сравниваются, и абстрагироваться от других их свойств. Количественная неоднородность качественно однородных объектов задаётся их границами в пространстве и времени. Поэтому количество определяют как пространственно-временную определённость качественно однородных явлений.

Простейшей формой количества является целое положительное число, которое возникает в процессе счета предметов. Первой попыткой специально проанализировать проблему количества можно считать исследования пифагорейцев, которые, изучая отношения между числами такого натурального ряда, первыми обратили внимание на то, что такие отношения определяют закономерности между свойствами предметов внешнего мира. Отсюда они пришли к признанию божественной роли числа. Однако открытие несоизмеримости диагонали квадрата с его стороной вызвало глубокий кризис в пифагорейской школе, так как с помощью целых чисел оказалось невозможным установить простейшие отношения между геометрическими величинами. Хотя в дальнейшем это противоречие было внешне преодолено остроумной теорией пропорций Евдокса, оно продолжало оказывать влияние на обобщение и развитие понятия числа. Поскольку количественная сторона действительности стала предметом исследования математики, те или иные представления о количестве во многом связывались именно с результатами изучения тех видов или форм количества, которые существовали в математике.

Впервые понятие качества было подвергнуто развёрнутому анализу Аристотелем, который проанализировал философские категории (см. Категория) «качество» (см. Качество) и «количество». При анализе категории количества он ориентировался на опыт древнегреческой математики. Количеству (вопрос: «сколько?») Аристотель приписывал ипостаси «множества» и «величины» в русле главной, с его точки зрения, мыслительной функции категории количества: выяснения «равенства» либо «неравенства». «Количеством называется то, что может быть разделено на части, каждая из которых, будет ли их две или больше, есть по природе что-то одно и определённое нечто. Всякое количество есть множество, если оно счислимо, и величина — если измеримо» («Метафизика». V 13, 1020 а 7–10; Сочинения, т. 1. — М., 1975). Это определение в разных вариациях повторялось другими философами (см. Философия) и до сих пор не потеряло своего значения, хотя в нём недостаточно ясно выражена связь между количеством и качеством. Первоначально множество осознавалось в понятиях «один» и «много», а величина — в понятиях «больше», «меньше» и «равно». Позднее для фиксации результатов пересчёта и измерения стали употреблять цифры. Цифра — это знак, выражающий число; соответственно, число — не любое, а именно познанное, зафиксированное количество. Следует отметить, что «количество» — онтологическое, а «число» — онто-гносеологическое понятие.

Согласно Г. В. Ф. Гегелю, количество, в отличие от качества, — это определённость, не «тождественная с самим бытием, а снятая или безразличная» (Гегель Г. В. Ф. Сочинения. Т. 1. С. 170). Единство качества и количества Гегель называет мерой: мера «есть определённое количество, с которым связано некоторое наличное бытие или некое качество» (Гегель. Там же. С. 184). Мера связывает не только количество с качеством, но и количественные изменения с изменениями качественными. Вещь, изменяясь количественно, лишь до определённых пределов, не перестаёт быть тем, что она есть, то есть не перестаёт входить в объём соответствующего понятия, например «жидкость». Мера — это интервал, в границах которого предмет, изменяясь количественно, сохраняет своё качество; например, вода, нагреваясь, остаётся жидкостью. При выходе количественных изменений за границы меры происходит смена качества. В свою очередь, качественные изменения оказывают обратное воздействие на количественные. Эта взаимосвязь количественных и качественных изменений носит универсальный характер и фиксируется в законе взаимного перехода количественных изменений в качественные.

Количество, качество, свойство

Различие между предметами и явлениями уже на уровне чувственного познания непосредственно отображается с помощью свойств, которые выражают отдельные их особенности, признаки и отношения. Сравнение и измерение свойств и отношений предполагает выделение качественно однородного и одинакового в вещах, а именно тождественных их свойств и отношений. Поскольку первичным в познании является ощущение, а в нём неизбежно содержится качество, то анализ количества начинается именно с выявления качественно однородных свойств вещей. Эти свойства в науке называют величинами, и они могут быть сравнимы или измеримы. В первом случае между ними устанавливается отношение, выражаемое терминами «больше», «меньше» или «равно». Во втором случае выбирается определённая общая единица измерения (например, длина, масса, температура и так далее) и значение соответствующей величины определяется её отношением к единице измерения, то есть числом. Это число может оказаться целым, дробным или даже иррациональным. Наиболее важная цель познания заключается в открытии законов, которые выражают инвариантные, устойчивые, регулярные связи между величинами, характеризующими определённые процессы в мире. Количественно эти связи отображаются с помощью различных математических функций, определяющих зависимость одних величин (функций) от других независимых величин (аргументов). Если с помощью элементарной математики постоянных величин можно было изучать фиксированные связи между ними, то с введением переменных величин стало возможным исследовать разнообразные функциональные отношения, а тем самым математически отображать движение и процессы. Создание дифференциального и интегрального исчислений дало в руки учёных мощное средство для количественного исследования различных процессов, и прежде всего изучения движения земных тел в механике и небесных тел в астрономии. В дальнейшем математика создала ещё более эффективные методы количественного анализа: она не ограничилась изучением величин, а перешла к исследованию более общих абстрактных структур, среди которых анализ величин занимает весьма скромное место, хотя в прикладных исследованиях по-прежнему он продолжает играть важную роль. Не случайно поэтому иногда математику определяют как науку о косвенных измерениях величин.

Количество и абстрактные математические структуры

Процесс дальнейшего абстрагирования от качественной природы исследуемых объектов и точного описания их специфических количественных отношений получил наиболее ясное выражение в математической структуре, в которой органически объединены представление о множестве её элементов и аксиоматическом методе, описывающем их количественные отношения посредством точно перечисленных аксиом. Все дальнейшие заключения о такой структуре могут быть получены чисто дедуктивно. «Чтобы определить структуру, задают одно или несколько отношений, в которых находятся её элементы…, затем постулируют, что данное отношение или данные отношения удовлетворяют некоторым условиям (которые перечисляют и которые являются аксиомами рассматриваемой структуры). Построить аксиоматическую теорию данной структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно рассматриваемых элементов (в частности, от всяких гипотез относительно их «природы»)» (Бурбаки Н. Архитектура математики. — В книге: Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М., 1963, с. 251). Такой взгляд на абстрактные структуры и математику как совокупность подобных структур последовательно разрабатывался начиная с 1930-х годов группой французских математиков, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки. В последние годы выдвигается ещё более общее понятие алгебраической категории, которое может содержать в качестве объектов не только элементы, но и множества. Достоинства подобного подхода очевидны: в абстрактных структурах и категориях представлены современные формы количества, которые служат готовыми орудиями исследования учёного. Как только он заметит, что изучаемые им объекты удовлетворяют отношениям, сформулированным в аксиомах той или иной математической структуры, он сразу же может воспользоваться всеми теоремами, которые для них доказаны. Это избавляет его от необходимости самому заниматься этим трудным делом, требующим немалых творческих усилий. В целом, структурный подход служит не только эффективным средством для математизации современного научного знания, основанной на применении количественных форм современной математики, но рационализирует также и поиск новых идей в самой математике, где решающую роль играет интуиция.

Преимущества количественного языка

Количественный язык впервые начал систематически применять в своих исследованиях Г. Галилей. Быстрый прогресс науки в течение последних столетий очевидно был бы невозможен без использования количественных методов. Первое и очевидное их преимущество заключается в упрощении научного словаря. Вместо того чтобы различные значения определённой величины, например температуры, обозначать разными качественными терминами (холодная, теплая, более теплая, горячая и так далее), достаточно сопоставить с ними соответствующие числа — и различие между ними будет выражено в точных количественных понятиях. Это избавляет нас от необходимости помнить многочисленные слова, обозначающие довольно неопределённые ощущения температуры.

Наиболее важное же преимущество такого языка заключается в том, что он даёт возможность формулировать в точных количественных терминах научные законы. С их помощью можно, во-первых, яснее представить взаимосвязи между явлениями, во-вторых, полнее и точнее объяснить существующие факты и явления, как количественные следствия из законов, а самое главное — достоверно или с большей степенью вероятности предсказать новые, ранее неизвестные явления и прогнозировать возникновение будущих событий и процессов. Не менее важное преимущество законов, выраженных в количественной форме, состоит в том, что к ним проще применить весь тот аппарат, которым располагает современная математика в форме абстрактных структур и категорий.

Поскольку количество тесно связано с качеством, то все процессы и формы движения материи в принципе могут изучаться математическими методами, однако роль последних в разных науках различна. «… Процесс познания конкретного, — подчёркивает А. Н. Колмогоров, — протекает всегда в борьбе двух тенденций: с одной стороны, выделения формы изучаемых явлений и логического анализа этой формы, с другой стороны, вскрытия моментов, не укладывающихся в установленные формы, и перехода к рассмотрению новых форм, более гибких и полнее охватывающих явления» (Математика. — В книге: Математический энциклопедический словарь. — М., 1988, с. 7). История математики может служить убедительным свидетельством того, как под воздействием сначала непосредственных потребностей общественного производства, а затем проблем, выдвинутых естественными, техническими и общественными науками, совершенствовались и расширялись формы и методы количественного анализа явлений. Переход от математики постоянных величин к математике переменных величин, а от последних — к абстрактным структурам и категориям современной математики — в такой общей схеме можно охарактеризовать прогресс в изучении количественных отношений и структур реального мира. Если раньше математика анализировала их под воздействием запросов производства, техники и естествознания, то в дальнейшем она создаёт новые формы и количественные методы исследования «про запас», раньше, чем они будут применяться в науке и технике. Так, конические сечения, открытые в античной геометрии, только в XVII веке начали использоваться в астрономии, мнимые и комплексные числа лишь полтора столетия спустя — в электротехнике, а неевклидовы геометрии через столетие — в обшей теории относительности и космологии. Успех количественного анализа явлений в существенной мере зависит от их изучения на качественном уровне, который осуществляется в конкретных науках с помощью экспериментальных и теоретических методов исследования. Поэтому в научном познании широко применяются количественные и качественные методы, конкретные и абстрактные, содержательные и формальные способы изучения явлений.