Валентин Германович Попов:
Логика и реальность. 12. Логика математики

Если отвлечься от религиозного мистицизма, к которому так склонны были пифагорейцы, то тенденцию к развитию науки в теоретическом направлении можно увидеть и в их учении о числах. Согласно свидетельству Аристотеля, они «занявшись математикой, первые развили её и, овладев ей, стали считать её начала началами всего существующего» ⁸⁰. Критерием фундаментальности знания служит его общность, абстрагированность и, как следствие этих качеств, отсутствие его непосредственной очевидности.

Другими словами, человек, обладающий теоретическими знаниями, не может передать их другому человеку методом «смотри и делай, как я», ибо его знания содержат в себе законы, обобщающие конкретные действия, но не сами действия. Именно в отсутствии наглядности и обвиняет знание пифагорейцев Аристотель, от которого мы и получили наиболее полную информацию о последователях Пифагора — «так называемых пифагорейцах». Согласно Аристотелю, «они число принимают за начало и как материю для существующего, и как выражение её состояний и свойств, а элементами числа они считают четное и нечётное, из коих последнее — предельное, а первое — беспредельное» ⁸¹.

Мы далеки от знания того, что их учение на самом деле собой представляло, но последователи Пифагора заложили основания математического метода в изучении реальности, и это неоспоримый факт. Чем, как не числом, современная физика выражает конкретные отношения «покоящегося и движущегося», входивших в десятку пифагорейских парных начал? Это было время первых великих открытий в математике, которые, в силу мифологичности древнегреческого сознания., не только связывались с реальностью, но и воспаряли в мир идеальных сущностей. Но главное, именно из пифагорейства вышла идея выражения бинарного отношения (отношения двух величин) количествами тех или иных единиц, характеризующих ту или иную их общую физическую сущность — расстояние, угол, скорость и так далее, которые рассматриваются в форме чисел. Это и есть наиболее совершенный способ слияния семантики и синтаксиса (значения и смысла) в языке, позволяющий оперировать формой в процессе преобразований, только в конечном результате обращаясь к содержанию, которое во всех математических рассуждениях (операциях) сохраняет тождественность первоначального смысла.

Таким образом, в недрах пифагорейства родился совершенно новый вид реальности, которой до них не существовало, — математической реальности как особой формы языка (отображения), хотя числами как отдельными «словами» этой реальности люди пользовались и раньше. Можно сказать, что к реальности, познаваемой чувствами, прибавилась реальность, познаваемая разумом. Мир чувств и мир разума, соединённые вместе, и составили основу наиболее рационального языка — математического, адекватно отображающего реальность физическую.

Древние греки, хотя и жили по соседству с Египтом и Персией, с которыми вели торговлю, время от времени воевали, и естественно испытывали влияние этих великих цивилизаций, создавали свою уникальную культуру и особенное государственное устройство. Это была децентрализованная модель общества, которая сложилась естественно и хорошо подходила к географическим условиям. При этом, однако, и на территории материковой Греции, и на побережье Малой Азии, в Ионии, и в Южной Италии греки не желали признавать иного языка, кроме собственного.

Поэтому нельзя не согласиться с мнением многих историков эллинизма, что все первоначальные попытки греков понять явления природы сводились к созданию новых слов, порой весьма смутных, но не лишённых смысла, поскольку они имели прообразы в наблюдаемых явлениях и отношениях конкретных предметов реального мира. Вследствие этого греки принимали словесные различия за различия по существу и правильно делали, потому что слово-понятие исполняет положительную роль только в формуле, но там, где конкретное имя, слово нельзя отрывать от смысла.

Следующий необходимый шаг должен был состоять в создании общих понятий и прочной связи их с соответствующими совокупностями фактов действительности так, чтобы мышление могло ими пользоваться как своеобразными логическими реперами. Эта вторая задача решалась двумя способами: первый состоял в анализе слов и связанных с ними представлений; второй заключался в том, чтобы найти естественные границы тем фактам и совокупностям предметов, благодаря которым и возникали те или иные слова. Можно сказать, что это был тот путь, который избрали философы школы Фалеса, и его можно назвать физическим. Пифагор предложил другой путь, который впоследствии назвали математическим.

В наше время математики предпочитают оперировать символами, которые служат знаками множеств предметов и не имеют ни малейшего родства с ними, так как математики не берут на себя труд узнать конкретнее о тех предметах, о которых они мыслят посредством символов. Более того, даже когда они пользуются числами, то есть конкретными величинами, им даже не приходит в голову, что числа могут представлять нечто большее, чем просто отвлечённые количества. Поэтому, обращаясь к утверждению Пифагора, что «предметы суть числа» как к аргументу, всё-таки необходимо согласиться с тем, что его учение имело в виду не символ, заменяющий предмет, но самый непосредственный его смысл.

Таким образом, язык чисел явился тем языком, который оказался средством выражения порядка не только в мире вещей, но и в мире их отношений, о котором до создания этого вида языка и не помышляли. Первые результаты освоения реальности отношений, которые пифагорейцы получили из акустических открытий, связанных с отношением длин колеблющихся струн, «оставляют весьма сильное впечатление и создают веру в мистическую силу математики» ⁸².

Поэтому неудивительно, что математика становится причиной и началом всего, так как она неожиданно проявляется там, куда её никто не вводил, не только для мистически настроенных учеников Пифагора, но и для более рационально рассуждающих учёных, создававших эпоху нового рационализма спустя тысячелетия.

В качестве иллюстрации мощи математического языка посмотрим с позиций пифагорейской логики на так называемую проблему иррационального числа. Известно, что Пифагор и его соратники, знали о несоизмеримости катета и гипотенузы некоторых треугольников и, как говорит Э. Шрёдингер, «этот факт доводил их до изнеможения». А все «муки» математического творчества происходили потому, что, как считает современная математическая мысль, они-де не знали иррациональных чисел. Причиной же их неприятия несоизмеримости некоторых пространственных промежутков, как мы считаем, было совершенно рационалистическое отношение к миру, основанное на математическом мышлении.

Число не существует само по себе (хотя пифагорейцы думали как раз наоборот), но оно есть мера бинарных отношений, разнообразие которых в природе огромно, но в каждом конкретном отношении всегда должны оставаться неизменными «элементы числа», инварианты числа как понятия, что и служит основанием для логической операции построения любого числа из предыдущего и сравнения любых конечных множеств чисел друг с другом.

Как слова разговорного языка состоят из букв, так и числа состоят из дискретных, неделимых до бесконечности единиц (их пифагорейцы называли «четное и нечётное»). Этого требует закон математической индукции (и как всякий закон, он не имеет исключений), которого пифагорейцы не знали, но их математическая интуиция им его подсказывала. Число не может выражать отношение диспаратных вещей — таких предметов, которые не имеют логического основания для симметричной операции сравнения. Допустим, мы попытаемся выразить такого рода отношение неким новым видом числа, которое в современной математике называют иррациональным. Но иррациональное число не имеет «единицы», оно бесконечно в своём дроблении, то есть не содержит «элемента числа», благодаря которому его можно отнести к числам чётным или нечётным, и поэтому оно не является числом согласно закону его образования. Отсюда следует, что иррациональные числа, а равно бесконечные числа как объекты нематематического мышления, не относятся к языку математики, функционально отображающему мир отношений. «Так называемые пифагорейцы» в отличие от современных математиков были более последовательными в своём отношении к реальному миру, интуитивно чувствуя, что в нём отражается ratio мира действительного, и, как следствие этого, понимали существование непреодолимой границы между рациональным и иррациональным, ибо число для них было «началом всего», в том числе и логического мышления.

Числом как знаком (словом) можно обозначить всё что угодно, например «дружбу», «любовь», «мужское», «женское», «предельное», «беспредельное» и так далее, но конкретное число как элемент множества не может выходить за пределы своего логического определения. Именно поэтому и возможно объективировать понятие числа (в отличие, скажем, от понятия «благочестие»), которое объединяет все без исключения конкретные числа в одно множество, благодаря существованию общего их инварианта, своего рода атома числа, не делимого далее «элемента» числового ряда. Инвариант обеспечивает соизмеримость всех без исключения чисел множества, включая чётные и нечётные, а иррациональным числам кет места в множестве, поскольку они этого инварианта не имеют.

Мы высказали свою точку зрения на пифагорейскую философию числа, но при этом было бы крайне необоснованно предполагать, что Пифагор и его последователи в своём учении предвосхитили теорию инвариантов. Более того, они в своей философии не усматривали и теорию пропорций, выражающихся конкретными числами, хотя о пропорциях пифагорейцы рассуждали достаточно основательно. По воззрениям пифагорейцев, числа — и здесь сущности, устанавливающие значения пропорций и делающие их вечными.

Изучая философию пифагорейцев, следует иметь в виду, что до настоящего времени дошли лишь несколько мистических изречений, сохранившихся в качестве доктрин, которые интерпретировались так или иначе последующими философскими учениями. В конечном счёте относительно пифагорейства важно понять следующий вопрос: считало это учение числа символами или сущностями? Если положиться на авторитет Аристотеля, то вопрос этот определённо решается в пользу реальности чисел. Приняв число за реальность (у Пифагора — это сущность), путём дедукции можно прийти к выводу, что мир явлений и отношений предметов управляется числовыми соотношениями, а отсюда вытекает и весь физико-математический метод описания природы. Система милетской философии была наброском физической картины мира, которую затем развил Пифагор, придав ей математическую форму. Пифагорейцы, продолжатели его учения, принцип математики возвели в принцип Природы, что спустя некоторое время нашло логическое развитие в атомистической гипотезе Левкиппа-Демокрита.

Но как же быть с несоизмеримостью стороны квадрата с диагональю, что, как известно, имеет место в действительности? Как быть с так называемыми комплексными числами, которые также не содержат в себе «элементов чётного и нечётного?» Как быть с нулем, о существовании которого пифагорейцы не знали?» Н есоизмеримость», «комплексное число», а также «нуль» — это не математические, а физические понятия. Несоизмеримость некоторых величин (например, пространственных) выражается переменным числом, то есть такой последовательностью чисел, которая стремится к некоторому числу-пределу, но никогда его не достигает.

Каждое число такой последовательности рационально, то есть соответствует установленному способу его индуктивного определения. Почему же некоторые катеты треугольников несоизмеримы со своими гипотенузами? Это вопрос отдельной темы, и мы покажем его решение, когда будем её рассматривать. Здесь же только скажем, что несоизмеримость отрезков возникает тогда, когда один из них (или оба) имеют неевклидову структуру.

Обращаясь к истории пифагорейства, нельзя не отметить ещё одного факта: аксиома рационального числа создавалась не на пустом месте.

До этого у многих народов (шумеров, египтян) получила серьёзное развитие арифметика, то есть свод правил, созданный эмпирическим путём для операций с числами как количественными отношениями предметов. (Количество предметов — это отношение сравнения данной «кучи» предметов с её единичным элементом.) В числе, абстрагированном от названия предметов, была выражена идея единства формы и содержания знака, имеющего значение; это был прорыв в мир теоретической науки, отображающей реальность посредством языка. Эвбулид из Милета этого факта, по-видимому, не понимал, распространяя среди своих сограждан парадокс «Куча».

Этот древнегреческий анекдот обычно передаётся в таком изложении: «Одно зерно кучи не составляет; прибавив ещё одно зерно, кучи не получишь; как же получить кучу, прибавляя каждый раз по одному зерну, из которых ни одно не составляет кучи?» ⁸³ Философы с математической ориентацией в этой шутке усматривают действие закона диалектики о «переходе количественных изменений в качественные». Так, Гегель в «Лекциях по истории философии» пишет: «Говорят, например, истратить грош, один талер не имеет никакого значения; но это «не имеет никакого значения» делает кошелёк пустым, и это составляет важное качественное различие… Этого диалектического перехода друг в друга количества и качества не признает наш рассудок. Он стоит на том, что качественное не есть количественное, а количественное не есть качественное» ⁸⁴.

К древнегреческому анекдоту «Куча» примыкает современный парадокс «бесконечное число»: как получить «бесконечное число», если его не вводить в математику конвенционально, а прибавлять всякий раз к конечной сумме все новые и новые конечные числа? (Примерно так объясняют учителя математики своим ученикам понятие «бесконечного числа».) В самом деле, любое количество каких-либо определённых предметов, как бы велико оно ни было, выражается числом, то есть величиной отношения сравнения данного количества предметов к единичному предмету — «одному зерну», «одному талеру», одной капле воды, одной молекуле и так далее.

Так называемый «переход количества в качество» происходит не в рамках теории чисел как логической системы, в которой каждое последующее число образуется из предыдущего прибавлением некоторой единицы (или какого-то их количества), выбранной в качестве таковой для данного вида чисел, но в сфере мышления некоторых философов. Например, горстью зерен, которые легко сосчитать даже ребёнку, можно накормить попугая, а тонной зерна можно накормить табун лошадей, но из этого не следует, что горсть и десять центнеров зерна суть качественно различные вещи: их количество — это мера отношения сравнения, а качественная характеристика — некоторое утилитарное (практическое, опытное) свойстве того или иного количества. Иначе говоря, количество — это объективная характеристика вещей, вид симметрии их единичного элемента (о скольких бы миллионах тонн зерна мы ни думали, эти огромные количества зерен «качественно», то есть относительно своего инварианта, ничем не отличаются ни от горсти зерен, ни от одного единственного зерна), а качество это — субъективная.

Большего в отношении этого парадокса говорить не требуется.

Теоретическое знание не основывается на чувственном восприятии, хотя и имеет его истоки; теоретическое исследование — это мысленное исследование посредством абстрагирования и выделения из совокупностей явлений и отношений их инвариантов. Этапы фундаментального познания включают в себя и индуктивные обобщения эмпирического материала. Не наблюдаемое непосредственно органами чувств человека может вступать в игру, затеваемую человеком с природой, только через «скачок» от эмпирически-очевидного к общезначимо-инвариантному. Существует ли «критическая масса» наблюдений, фактов, проведённых экспериментов, испробованных вариантов, чтобы совершить такой переход в сознании субъекта от чувственно воспринимаемого к мысленно умопостигаемому? По-видимому, это индивидуальное свойство субъективного сознания, но ещё И. Кант говорил, что это явление спонтанно.

Факты — неоспоримая вещь: только в начале очевидное является своего рода когнитивным основанием для познания скрытого в нём фундаментального. Начиная с кустарного ремесленного производства и развития прикладных наук идёт процесс осознания очевидного, находящегося непосредственно на границе деятельностно-познавательной активности человека с природой. С интенсификацией и экстенсификацией этого процесса происходит исчерпание непосредственно очевидного и возникает некая потребность проникновения в глубину этого взаимодействия, в его так называемую сущность. Здесь-то и создаются, по-видимому, предпосылки для создания обобщённого знания и рождения общей аксиомы для определённого круга явлений.

То же самое демонстрирует и математика. В развитии своём она также шла от очевидного. Житейская очевидность количественных отношений, основанная на фундаментальном свойстве дискретности любых «куч» предметов, обобщилась в аксиому рационального числа; переменная величина, стремящаяся к определённому пределу, породила анализ бесконечно малых, которые дали дифференциальный и интегральный способы описания явлений-изменений в природе. К XIX веку всё это главным образом было сделано и если не считать химер «бесконечное число» и «континуум», внедрившихся в математику из сферы религиозно-мистической, то инженерам и физикам-экспериментаторам был подготовлен весь расчётный инструментарий для практической работы.

Но математика сама по себе не является знанием о мире. Это прежде всего теория языка, на котором излагаются отношения и формулируются обобщения. Ведь миф или притча — это тоже вид обобщения, своего рода гуманитарная форма теоретического знания. Мифы или притчи бывают поучительными в житейском плане, но за пределами системы отсчёта, в которой сталкиваются и измеряются человеческие отношения, они превращаются в пустоту. То же самое происходит и с математическими понятиями, когда они отрываются от тех отношений, которые всегда придают им смысл. Не число само по себе (так думали пифагорейцы), но знание отношения, которое оно отображает как рациональное слово, и есть математическая реальность.

В связи с этим уместен вопрос: «Чем математическая реальность отличается от реальности физической?» В математической реальности, отображающей мир отношений, не существует неопределённости. Именно поэтому теоретическая наука и пользуется строгим языком чисел, но не языком цыганских романсов. Ни одна теорема классической математики не может быть оценена как «ироничная», в то время как одним из постулатов современной литературной критики является следующий: все художественные тексты имеют множество смыслов и не существует критерия, по которому можно было бы выбрать «истинный». Споры по поводу смысла — от Библии до «Ада» Данте — никогда не могут быть разрешены, так как единственным истинным смыслом художественного текста является тот субъективный смысл, который вкладывает в него каждый читатель при том или ином психофизическом состоянии его организма. Это ещё один аргумент в пользу положения, почему в математике нет места иррациональности и бесконечности, что и было убеждением Пифагора и его верных последователей.

Знание в целом как результат деятельностно-познавательного взаимодействия человека с природой образует совокупность физико-математических моделей. Приложение же аксиомы той или иной степени общности с привлечением некоторых логико-математических закономерностей есть просто дедуктивный процесс выведения новых следствий, что называется получением выводного знания, но манипулирование одними лишь математическими зависимостями в рамках той или иной аксиоматической системы не даёт никакого нового знания. Однако в современной теоретической физике стало модным «угадывать» так называемые физические законы с помощью случайных математических уравнений. При этом физики-теоретики оправдывают свои действия тем, что «природа говорит на языке математики». На самом же деле природа говорит на языке чисел, отображающем симметричные отношения всех её структурных уровней, благодаря чему только и возможно сохранение целостности и вечности мира.