Валентин Германович Попов:
Логика и реальность. 10. Пример символического языка

Здесь мы рассмотрим простейшую часть традиционной проблематики исчисления высказываний. В том виде, в каком изучается символическая логика, нас будет интересовать только теория построения сложных формул, цель которой, согласно идеологии логического символизма, состоит в формализации принципов непрерывного рассуждения вне ссылок на значение мыслей, которыми она оперирует как переменными. Посредством такой теории в рамках символической логики, как считается, достигается такого рода универсальность, которая позволяет судить о корректности цепи рассуждений (длина их может быть любой) исключительно на основании формы последовательности высказываний, образующих эту цепь, а не содержания, как в естественной беседе.

Но оказывается, для того чтобы можно было судить о корректности рассуждения исключительно на основании формы, следует предварительно добиться такого единства формы и содержания, чтобы они представляли собой нечто неразделимое целое, ибо формы без содержания не бывает, как и наоборот. В терминах математической логики это требование можно выразить как такую редукцию семантики языка к его синтаксису (или наоборот), чтобы в рамках теории, строящейся средствами данного языка, можно было соблюсти непреложный закон любого обратимого рассуждения, а именно: закон тождества. И хотя такого рода редукция на самом деле выполняется, точнее говоря, происходит автоматически в процессе создания символического языка, разработчики символических логик этому неотъемлемому свойству всякого логического рассуждения попросту не придают значения и в результате на самом деле не понимают, о чём они «рассуждают» и с какой «истиной» и с какой «ложью» имеют дело.

«Словарный запас» языка исчисления высказываний составляют так называемые высказывания — такие повествовательные предложения, о которых можно сказать, что они либо истинны, либо ложны. Согласно кантовской классификации это могут быть любые из трёх групп суждений: действительности (ассерторические), необходимости (аподиктические) и возможности (проблематические). Таким образом, каждое высказывание является элементарным шагом в адекватном отображении некоторой ральности в мышлении индивида, то есть своего рода некоторым элементом интерсубъективного знания. Следовательно, высказывания, которые закладываются в основание этой логической системы, не могут относиться ни к области так называемого непознанного, ни к компетенции личных переживаний, ибо эмоции и чувства не могут быть оценены как истинные или как ложные.

Именно таковы правила начала игры, называемой «исчисление высказываний». Поэтому, например, «Снег белый» и «4 есть нечётное число» суть высказывания, которые; подходят под эти требования, потому что, как говорят символисты, трудно найти человека, который бы не признал первое высказывание истинным, а второе ложным. Однако трудно также найти человека, который не счел бы первое высказывание, во-первых, достаточно неопределённым, потому что снег иногда бывает и черным (на обочинах дорог), а во-вторых, если хорошенько подумать, то снег, как и вода, из которой он состоит, вообще не имеет цвета. Что касается второго высказывания, то также трудно найти человека, у которого оно не вызвало бы справедливого внутреннего протеста, так как все знают, что 4 — число четное, и сообщать, что оно нечётное, просто глупо. Но игра есть игра, поэтому высказывания такого типа, как «Мир есть Единое» или «Все критяне лжецы» не являются высказываниями в рамках этих правил. Почему это так, становится ясным из нижеследующего.

Поставим вопрос: существует ли какая-либо символическая логическая операция, с помощью которой мы могли бы безошибочно отличать высказывания, пригодные для игры в исчисление высказываний, от непригодных. Оказывается, существует. И таким логическим инструментом является операция отрицания. Всякое высказывание, видоизменённое словом «не», становится символическим отрицанием данного высказывания, и если прямое высказывание истинно, то отрицание данного высказывания (мы будем называть его противоположным, но не противоречащим, как в традиционной логике) всегда ложно. Операция отрицания, применённая к противоположному высказыванию, возвращает его в первоначальное состояние — состояние истинности, что и называется законом исключённого третьего, который в любой двухзначной символической логике так же обязателен, как в традиционной логике обязательны законы тождества и противоречия. Таким образом, благодаря действию закона исключённого третьего, без которого ни одна двухзначная символическая логика не работает, и удаётся свести содержательный смысл каждого высказывания к одной из его логических форм — истине или лжи.

Благодаря свойству обратимости операции отрицания, приобретаемому в рамках закона исключённого третьего, множество всех высказываний о той или иной реальности автоматически распадается на два непересекающихся симметричных подмножества — истинных и ложных высказываний, принадлежащих одному и тому же множеству содержательных суждений.

Итак, приступая к рассмотрению простейшего варианта символической логики, мы в первую очередь видим, что все свои значения-смыслы (а их только два — истина и ложь) элементарные высказывания («слова»), из которых впоследствии будут составляться сложные высказывания («предложения)» данного языка, принимают на предварительном этапе построения языка путём принудительной редукции всех разнообразных и относительных смыслов первичных суждений к этим двум абсолютным. Проще говоря, из всего разнообразия высказываний получается язык, состоящий всего из двух противоположных слов — «истина» и «ложь», значения и смыслы которых неразделимы. Это и есть та принудительная редукция синтаксиса к семантике, о которой говорилось выше, и это есть все знание данного языка.

В обычных житейских и научных рассуждениях постоянно встречаются сложные повествовательные предложения, образованные путём связывания простых предложений с помощью слов «и», «или», «если только, то» и некоторых других. Эти слова применяются и в символическом исчислении высказываний и называются, как известно, пропозициональными связками. В обыденной речи слова-связки имеют много смысловых оттенков в зависимости от того, какого свойства мысли они соединяют, но главное их назначение состоит в том, чтобы развивая и усложняя мысль, не нарушить её логическую связность, то есть из истинного знания не получить ложного.

Эту роль в содержательном рассуждении выполняют не только перечисленные выше связки, но и множество так называемых служебных слов — предлогов, артиклей (в русском языке — указательных и относительных местоимений), союзов (в том числе и перечисленных выше), частиц и даже на первый взгляд мало значащих междометий. Все эти служебные слова играют разнообразные роли преобразователей и трансляторов мысли, переводя её с одного уровня мышления на другой, сохраняя при этом её тождественность.

В символической же логике каждая из вышеперечисленных связок играет строго определённую роль при соединении двух высказываний или, точнее говоря, имеет конкретный смысл только в рамках данной символической системы и согласно последовательности, в которой мы их перечислили, называется конъюнкцией, дизъюнкцией и импликацией. Эти смыслы и есть содержание (семантика) данных слов. Таким образом, в результате всех тех предварительных конвенций, о которых мы здесь упомянули, и получается искусственный язык, словарный запас которого состоит из двух слов (истина и ложь), связанных обратимой операцией отрицания, а грамматика предложений — из четырёх действий (конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эвиваленции)

Два слова, соединённые в одно предложение любой из этих связок, могут иметь только четыре сочетания (или перестановки) своих возможных содержаний, а именно: «истина-истина», «истина-ложь», «ложь-истина» и «ложь-ложь». Эти смыслы не выводятся ни из каких предварительных когнитивных положений, и они не связаны с содержанием слов (посылок) ничем, кроме знания правил комбинаторики. Но если истинностные значения первичных высказываний, из которых мы абстрагировали смыслы «истина» и «ложь», фиксируются как результат интерсубъективного знания (это может быть обладание предметом некоторого свойства или некоторое отношение между парой предметов), то истинностное значение символического предложения фиксируется как результат конвенции. Так, конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда истинны оба составляющих её высказывания, например «4 — четное число, и снег белый», и ложна при всех остальных сочетаниях истинностных значений первичных высказываний. И если в естественном положении каждое из этих высказываний обладает своим относительным смыслом, то в рамках сложного высказывания смысл исчезает.

Короче говоря, к содержательной речи конъюнкция никакого отношения не имеет, хотя её и называют истинной или ложной в содержательном смысле, но при этом, как правило, не говорят, что содержательность её символическая, определяемая грамматикой самой конъюнкции. Её «истинность» в точности такая же, как «улыбка кота», которая «остаётся после того, как кот ушел», то есть метафорическая.

Конъюнкция, а равно дизъюнкция, импликация и так далее — это обычные абстрактные определения, принятые в современной математике (о них мы говорили в предыдущей главе), и, кроме смысла, данного соответствующим абстрактным определением, никакого содержания они не имеют. Нельзя считать конъюнкцию, дизъюнкцию и другими функциями истинности составляющих их первичных высказываний в математическом, то есть во взаимно-однозначном смысле, как это утверждается в символической логике, ибо ничто в реальности им взаимно-однозначно не соответствует, кроме соглашения считать их истинными или ложными на основании только их табличной реальности. Из этих таблиц (и ниоткуда более) следует, что если A и B — высказывания (слова), то и А и В (конъюнкция), A v B (дизъюнкция) и А → В (импликация) — также высказывания (предложения), которые, кроме «знания», что они «истинны» или «ложны» в символическом смысле, ничего другого в себе не содержат. Отсюда непосредственно вытекает ещё более общий вывод, а именно: цепочка произвольной длины любых сложных высказываний, состоящая из любых комбинаций и последовательностей конъюнкций, дизъюнкций и импликаций, чьи компоненты суть первичные высказывания, также есть высказывание данной символической системы, которое, кроме того что оно «истинно» или «ложно» в символическом смысле, ничем другим также не обладает.

Все истинностные значения для перечисленных здесь типов сложных высказываний разработаны и сведены в таблицы, которые также должны пониматься как абстрактные определения, устанавливающие отношения между словами символического языка. В рамках символической системы эти определения и есть то знание, которое в каждом конкретном выводе получает одно из своих значений — «истина» или «ложь». В системе символической логики, таким образом, нет никакого другого смысла (о котором мы так заботимся в содержательном рассуждении), кроме символического истинностного значения сложного высказывания. Иными словами, семантика символического языка, которая абстрактно определялась на стадии его построения, в любой её предметной теории также редуцируется до абсолютных понятий «истина» и «ложь» без какого бы то ни было когнитивного содержания позади них. «Смыслы» придаются символическим системам при их интерпретациях, которые, как и, допустим, интерпретации метафорической «улыбки кота», остающейся после его ухода, могут быть самыми разнообразными и причудливыми.

Рассмотрим, например, импликацию, которая символически записывается A → B и читается «Если A, то B». Импликация напоминает встречающееся в обычной речи условное суждение, которое всегда выражает какую-нибудь установленную или предполагаемую причинно-следственную связь, как, например «Если тело подвергнуть трению, то оно нагреется». Такое условное суждение выражает истинное общественное знание, то есть знание, приобретённое человечеством в процессе исследования материальных тел. Вопрос же истинности или ложности импликации решается не смыслом входящих в него элементарных высказываний, а распределением их истинностных значений в соответствии с определением импликации, именно:

1. Если A истинно и B истинно, то A → В истинно;
2. Если A истинно и B ложно, то A ~> В ложно;
3. Если A ложно и B истинно, то A → В истинно;
4. Если A ложно и B ложно, то A → В истинно.

Как видно, если истинностные значения простых компонентов известны, то истинностные значения молекулярных высказываний могут быть найдены механически. При этом, правда, возникает вопрос: кто должен производить процедуру определения истинностного значения импликативного высказывания? Ведь в случае с материальным телом такой вопрос оказывается совершенно излишним. Конечно, если подобный вопрос задать математику, то он попытается доказать, что математическое знание общезначимо, и, возможно, даже приведёт такой пример: знание того, что корень квадратный из 2 есть число иррациональное, сильно отличается от знания человека, выражаемого, например, такими чувствами: «Я бесконечно счастлив, что вновь повстречал тебя». Но оказывается, и математика может страдать субъективизмом.

Так, например, рассмотрим следующую импликативную интерпретацию: «Если гром грянет, то мужик перекрестится». Здесь антецендент A — «гром грянет», а консеквент B — «мужик перекрестится». Это условное высказывание будет ложным только в одном случае: когда «гром грянет», а «мужик не перекрестится». При всех остальных сочетаниях этого явления природы (или его отсутствия) и определённого действия (или бездействия) мужика импликация, а следовательно, и её интерпретация будут истинными. Но какова бы ни была на дворе погода (гром гремит или не гремит) и как бы ни реагировал на неё мужик (он крестится или не крестится), основываясь на знании, заключённом в данной импликации А → В, в каждом из четырёх возможных случаев всё будет происходить логически «непогрешимо», то есть соответствовать одному из двух возможных значений данной импликации — «истина» или «ложь».

Действительно, «истина» и «ложь» — равноправные оценки знания данной импликации, а поведение мужика при раскатах грома — это дело его взаимоотношений с небесным Илией. Тем не менее если «разбор этого дела» поручить математику, который все абстрактные определения склонен рассматривать как математические (все математики убеждены, что природа «разговаривает» на том языке, который они прописали в своих книжках), то он, естественно, осудит действие мужика, интерпретируемое согласно данной импликации как ложное.

Но что скажет наш математик, если после того как прогремит гром, наш мужик вместо того чтобы креститься или не креститься (эта и только эта пара действий ему предписана консеквентом данной импликации на основании закона исключённого третьего), примется проделывать какие-нибудь другие действия: бросит шапку наземь, пустится в пляс или сотворит ещё более экстравагантный поступок, то есть исходя из первичного знания данной импликации станет производить «нелогичные» действия. Скорее всего, наш математик, чтобы выйти из этого затруднительного положения, составит другие импликации А → С, А → D или А → Е и так далее, и по их интерпретациям будет тестировать мужика на предмет «истинности» или «ложности» его действий относительно его взаимоотношений с пророком Илией.

Из этого незатейливого примера совершенно прозрачным становится следующее фундаментальное свойство данной символической логической системы. Поскольку в основание языка мы всё-таки закладываем два противоположно симметричных множества истинных и ложных высказываний и при этом в качестве одного из синтаксических законов принимаем закон исключённого третьего, то любое сложное высказывание, состоящее более чем из одного символа, внутренне противоречиво по определению, ибо к истинностному значению сложного высказывания закон двойного отрицания не применим.

Подведём итог. Всякая символическая логическая система в своём основании имеет отвлечённые понятия «истина» и «ложь». Быть «истинным» или «ложным» в абсолютном смысле — единственный признак как простого, так и любого сложного высказывания. Но если «истина» и «ложь» атомарных высказываний симметрична относительно операции отрицания, то молекулярные высказывания этим свойством уже не обладают, так как они формируются в соответствии с другими грамматическими правилами, разработанными специально при создании данной системы.

Другие признаки и свойства предложений, характерные для обычной речи и являющиеся признаками её логичности или нелогичности, в символической логике не принимаются во внимание. Так, например, если C — «Иван есть человек», и D — «Жучка есть собака» ⁷³, то в рамках исчисления высказываний ничто не препятствует построить сложные высказывания такого рода, как: C v D C → Z X — D ^ D v С и много других. Поскольку D и C имеют истинностные значения (неважно, какие), любое из этих сложных высказываний, а также любые комбинации из них тоже имеют истинностные значения, вычисляемые по таблицам, то есть они логичны в рамках правил построения данной системы. Но если мы попытаемся вместо D и C в этих высказываниях подставить их словесные выражения, то наиболее вероятная реакция на получающийся вздор — запретить построения конъюнкций, дизъюнкций и импликаций, в которых компоненты-высказывания не связаны по смыслу. Тот, кто так думает, глубоко заблуждается.

Конъюнкция, дизъюнкция и так далее, а также любые их комбинации, применяемые в символической логике, никакого отношения к разговорному языку не имеют. И дело не в том, что, как говорят некоторые математики, исповедующие позитивизм, «атомарным высказываниям в действительности соответствуют атомарные факты, а соответствующим молекулярным высказываниям молекулярных фактов может не существовать», а в том, что содержательных высказываний в символической системе попросту не существует, поскольку в них невозможно соблюсти закон тождества, который имеет смысл только в тех случаях, когда позади слова стоит определённый предмет и эта взаимно-однозначная связь сохраняется в процессе всего рассуждения, на протяжении всей теории.

Все то содержание, которое было в атомарных высказываниях, при построении из них молекулярных высказываний теряется из-за введения в систему правил, противоречащих правилу отрицания, превращаясь в пустые понятия «истина» или «ложь». В содержательной системе «истина» и «ложь» — это наименования множеств логических оценок знания, и семантически их можно охарактеризовать как понятия, состоящие в отношении противоречия. В символических системах «истина» и «ложь» принимают статус отвлечённых понятий, или пустых множеств.

Отсюда следует, что символическую систему можно самым произвольным образом интерпретировать в содержательную, поскольку она имеет бесконечное множество таких интерпретаций, в то время как всякая содержательная система редуцируется до символической в единственном экземпляре, оставаясь при этом обратимой. Именно таков статус всех наших слов: имён и экспликандов, образованных логически в процессе деятельностно-познавагельного взаимодействия с природой. Поэтому при создании символических систем гораздо проще применять в качестве атомарных высказываний обычные символы, не загружая их излишним смыслом, допустим прописные буквы латинского алфавита, изначально присваивая им или Г, или F и вводя аксиомы отрицания и двойного отрицания. Тогда аксиома рефлексивности символа (себетождественность символа) — это формула закона тождества; аксиома отрицания — формула закона противоречия, а аксиома двойного отрицания — формула закона исключённого третьего, которые соответственно записываются так: A есть A; если A есть Г, то A есть F; A есть A. Ведь в символической логике математики заняты формализацией рационального рассуждения в рамках определённых правил (конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции), но не разработкой правил человеческого мышления. Поэтому мы не согласны с А. Черчем ⁷⁴, который считает, что в математической логике предложение принимает истинностное значение «истина», если оно истинно в содержательном смысле, или принимает истинностное значение «ложь», если оно ложно в этом же смысле.

Такой ошибочный взгляд имеет и свои исторические корни. Исчисление высказываний традиционно рассматривают как некую промежуточную систему между чисто символической логикой, состоящей из одних лишь символов и скобок, и содержательной логикой, которой мы пользуемся и в житейских и в научных рассуждениях. Именно поэтому высказыванием в исчислении высказываний и называется обычное предложение, в отношении которого имеются интерсубъективные основания утверждать, что его содержание либо истинно, либо ложно, а пропозициональными связками — слова-связки разговорного языка, которые действительно соединяют мысли в единое целое при соблюдении содержательно-логических законов тождества и противоречия. Но впоследствии, когда в исчислении высказываний вводится понятие «формула», от предложений разговорного языка и слов-связок, обладающих содержанием, приходится отказываться ввиду необходимости сведения синтаксиса и семантики в единое целое, чтобы избавиться от несуразицы получающихся построений.

Однако известный русский логик С. И. Поварнин в процедуре построения формул усматривает «смысл» и так его обосновывает: «Рассуждая, мы всё время сознаём содержание посылок и связываем их по содержанию (то есть следуем законам тождества и противоречия — В. П. — Прим. авт.). Наоборот, при исчислении мы переводим посылки в ряд искусственных символов и потом имеем дело лишь с этими символами: различным образом комбинируем их, производим ряд действий по известным правилам (конъюнкции, дизъюнкции и так далее — В. П. — Прим. авт.), совершенно не отдавая себе отчёта в значении символов (то есть нарушаем законы тождества и противоречия — В. П. — Прим. авт.). Только после окончания работы мы расшифровываем результат» ⁷⁵.

«После окончания работы» мы можем лишь убедиться, что в процессе «различного рода комбинирования» высказываниями компонентами и молекулярными их образованиями мы не нарушили ни одного из тех правил, о соблюдении которых договорились перед началом данной «игры» в символическую логику, если в конце мы получаем или «истину», или «ложь». В процессе «комбинирования» можно получить некоторые интересные результаты, например так называемые формулы-подстановки, тавтологии, тождественно-ложные формулы и другие.

Можно даже попытаться придать этим формообразованиям некий мистико-математический смысл, как это делали пифагорейцы, наделяя числа 1, 2, 3 и так далее сакральными значениями. Но на самом деле в этих действиях нет ничего загадочного, так как отвлечённое понятие, поскольку оно пусто, может интерпретироваться как угодно. Результат зависит только от фантазии интерпретатора.