Гуманитарные технологии Информационно-аналитический портал • ISSN 2310-1792
Гуманитарно-технологическая парадигма

Логика классов

Наименование: Логика классов
Определение: Логика классов — это раздел математической логики, основным предметом рассмотрения в котором служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойствами, общими для всех входящих в данный класс элементов.
Редакция: Информация на этой странице периодически обновляется. Последняя редакция: 30.10.2016.

Логика классов — это раздел математической логики (см. Логика математическая), основным предметом рассмотрения в котором служат классы (множества) предметов, задаваемые характеризующими их свойствами, общими для всех входящих в данный класс элементов. В рамках математической логики логика классов может пониматься, с одной стороны, как такое расширение логики высказываний (см. Логика высказываний), при котором «элементарные высказывания» уже не рассматриваются только как нерасчленяемое далее «целое», а каждое из них имеет субъектно-предикатную форму (то есть может рассматриваться на содержательном уровне как нераспространённое повествовательное предложение, в котором различаются подлежащие [subjects] и сказуемые [predicates]). Если в логике высказываний отвлекаются от связей между субъектом и предикатом высказывания, то в логике классов эти связи учитываются. В число классов в логике классов включается и пустой класс (0), содержащий нулевое множество элементов, и универсальный класс (1), включающий все объекты рассматриваемой области. С классами можно производить операции пересечения, объединения и дополнения. К алфавиту логики высказываний в логике классов добавляются переменные ab, c, … для классов; знаки, обозначающие операции с классами; постоянные термы 0 и 1 и знаки для обозначения отношений между классами. Далее даётся индуктивное определение терма и класса. Вводятся отношение включения класса в класс (ab) (a включается в класс b), отношение равенства двух классов (a = b). Оба эти отношения могут быть определены через отношение принадлежности элемента классу (aab).

Другая трактовка логики классов, — отличающаяся от указанной по форме, но эквивалентная по существу, — состоит в истолковании её как частного случая логики предикатов (см. Логика предикатов), а именно логики одноместных предикатов, точнее логики, оперирующей с объёмами понятий, содержания которых выражаются соответствующими одноместными предикатами.

Имеется ещё одна, изоморфная первым двум, интерпретация логики классов, в соответствии с которой объектами её рассмотрения являются множества (классы) каких-либо предметов — вне зависимости от каких бы то ни было свойств, общих для их элементов, — и операции над множествами. Таким образом, логика классов в этом случае рассматривается как формализованная теория множеств, отождествляемая с алгеброй множеств (см. Алгебра логики), в которой рассматриваются произвольные множества и обычные теоретико-множественные операции. Сопоставляя (взаимно-однозначно) множествам (классам) высказывания о принадлежности какого-либо предмета данному множеству, пересечению множеств — конъюнкцию соответствующих высказываний, объединению — дизъюнкцию, а дополнению — отрицание, получают указанный выше изоморфизм алгебры высказываний и алгебры множеств. Рассматривая реализацию логики классов на одноэлементной области, сводят вопрос об истинности (ложности) формул логики классов к соответствующим вопросам для логики высказываний, подобно которой логика классов оказывается, таким образом, разрешимой. Отсюда нетрудно получить и разрешимость логики одноместных предикатов; а поскольку, как было указано, она по существу совпадает с логикой классов, последнюю в настоящее время уже не рассматривают в виде специальной теории, трактуя её как частный случай логики предикатов (где ей соответствует логика одноместных предикатов).

Библиография:
  1. Беркли Э. Символическая логика и разумные машины. — М., 1961.
  2. Биркгоф Г. Теория структур. — М., 1952.
  3. Гилберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. — М., 1947.
  4. Гудстейн Р. Л. Математическая логика. — М., 1961.
  5. Жегалкин И. И. Арифметизация символич. логики. — В книге: Математический сборник, т. 35, выпуск 3–4, 1928; т. 36, выпуск 3–4, 1929.
  6. Клини C. Введение в метаматематику. — М., 1957.
  7. Кутюра Л. Алгебра логики. — Одесса, 1909.
  8. Лукасевич Ян. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. — М., 1959.
  9. Яновская С. Логика классов. — В книге: Философская энциклопедия, т. 3. — М., 1964, с. 224–226.
  10. Ackermann W. Solvable cases of the decision problem. — Amsterdam, 1954, Ch. 3–4.
Источник: Логика классов. Гуманитарная энциклопедия [Электронный ресурс] // Центр гуманитарных технологий, 2010–2016 (последняя редакция: 30.10.2016). URL: http://gtmarket.ru/concepts/7067
Текст статьи: © Ю. А. Гастев. Подготовка электронной публикации и общая редакция: Центр гуманитарных технологий.
Ограничения: Настоящая публикация охраняется в соответствии с законодательством Российской Федерации об авторском праве и предназначена только для некоммерческого использования в информационных, образовательных и научных целях. Копирование, воспроизведение и распространение текстовых, графических и иных материалов, представленных на данной странице, не разрешено.
Реклама:
Содержание раздела
Новые концепты
Базисные концепты