Гуманитарные технологии Аналитический портал • ISSN 2310-1792

Логика математическая

Наиме­нова­ние: Математическая логика
Опреде­ление: Математическая логика — это раздел современной формальной логики, в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации.
Текст статьи: А. С. Карпенко. А. И. Лойко.
Редакция: Инфор­мация на этой стра­нице периоди­чески обнов­ляется. Послед­няя редакция: 20.09.2017.

Математическая логика — это раздел современной формальной логики (см. Логика формальная), в котором логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе математического языка, аксиоматизации и формализации. В качестве другого названия современного этапа в развитии логики (см. Логика) используется также термин «символическая логика» (см. Логика символическая). Иногда термин «математическая логика» употребляется в более широком смысле, охватывая исследование свойств дедуктивных теорий, именуемое металогикой (см. Металогика) или метаматематикой. В целом, определение «математическая логика» подчёркивает её сходство с математикой, основывающееся, прежде всего, на методах построения логических исчислений на основе строгого символического языка, аксиоматизации и формализации. Они позволяют избежать двусмысленной и логической неясности естественного языка, которым пользовалась при описании правильного мышления традиционная логика, развивавшаяся в рамках философии (см. Философия). Математические методы дали логике такие преимущества, как высокая точность формулировок, возможность изучения более сложных, с точки зрения логической формы, объектов. Многие проблемы, исследуемые в математической логике, вообще невозможно было сформулировать с использованием только традиционных методов. Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном (формализованном) языке. Такие точные языки имеют две составляющие: синтаксис (см. Синтактика) и семантику (см. Семантика). Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.

Уже в Античности (в частности Аристотелем) широко применялись буквенные обозначения для переменных. Идея построения универсального языка для всей математики, для формализации на базе такого языка математических доказательств и вообще любых рассуждений выдвигалась в XVII веке Г. В. Лейбницем. Однако только к середине XIX века стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика (см. Силлогистика), уже не отвечает требованиям развития науки того времени. С одной стороны, значительные успехи абстрактной алгебры в особенности в теории групп позволили перенести алгебраические методы на другие области науки. Это с успехом проделала английская школа, основоположником которой можно считать А. де Моргана, который в 1847 году опубликовал книгу «Formal Logic; or The Calculus of Inference, Necessary and Probable». Им открыты названные в его честь законы де Моргана, разработана теория отношений и в 1838 определено понятие математической индукции. Однако наибольшую известность получили работы Дж. Буля. В 1847 году он публикует брошюру «Mathematical Analaysis of Logic», а в 1854 — свой главный труд по логике «An Investigation into the Laws of Thought, on which are Founded the Mathematical Theories of Logic and Probabilities». Как и де Морган, Дж. Буль был одним из тех математиков из Кембриджа, которые признали чисто абстрактную природу алгебры. Они заметили, что простейшие операции над множествами подчиняются законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Оставалось только провести аналогию между объединением и сложением, пересечением и умножением, пустым классом и нулём, универсальным классом и единицей. Работы Буля 1847 и 1854 годов можно считать началом алгебры логики (см. Алгебра логики), первоначальный этап развития которой был завершён Э. Шрёдером в трехтомной монографии «Vorlesungugen uber die Algebra der Logik» (1890–1905).

С другой стороны, возникновение и развитие математической логики связано с работами Г. Фреге и Ч. С. Пирса. После того, как Фреге в 1879 и Пирс в 1885 году ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы, возникла реальная возможность построения системы логики в виде логического исчисления, что и было сделано Фреге, который по праву считается основателем математической логики в её современном понимании. Пытаясь реализовать идеи Лейбница, Фреге в своём труде «Begriffsschrift» предложил символическую запись для строгих рассуждений. Хотя его нотация сейчас совсем не используется (например, формулы рисовали в виде двумерного дерева), Фреге в действительности впервые построил исчисление предикатов. Исчисление предикатов есть формальная система, состоящая из двух частей: символического языка и логики предикатов (см. Логика предикатов). Кроме этого для исчисления предикатов Фреге даёт строгое определение понятия «доказательство», которое является общепринятым и по сей день.

Основы современной логической символики были разработаны Дж. Пеано, чьи интересы, как и Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Его широко известный труд «Formulaire de mathématiques», опубликованный (в соавторстве) в 1894–1908 годах, был нацелен на развитие математики в её целостности, исходя из некоторых фундаментальных постулатов. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А. Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их широко известной трехтомной «Principia Mathematica» (1910–1913), а затем воспринята Д. Гилбертом. Таким образом, в логику был введён символический язык. Создание такого искусственного языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, было вызвано, в первую очередь, потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны.

Основным стимулом развития математической логики в начале XX века была проблема оснований математики. К. Вейерштрасс, Р. Дедекинд и Г. Кантор показали, что в качестве фундамента всей классической математики может рассматриваться арифметика целых чисел. Дедикинд и Пеано аксиоматизировали арифметику, а Фреге дал определение натурального числа как множества всех равномощных множеств. Таким образом, вся математика сводилась к теории множеств. Рефлексия над феноменом множеств привела к обнаружению ряда парадоксов в теории множеств, ответом на которые стало развитие четырёх направлений в основаниях математики:

  1. Логицизм (вся математика может быть дедуцирована из чистой логики без использования каких-либо специфических понятий, таких, как число или множество).
  2. Интуиционизм (нужна новая логика).
  3. Теоретико-множественный платонизм в виде аксиоматической теории множеств ZF (вводятся ограничения на образование множеств).
  4. Формализм (программа Гилберта).

Развитие и применение технического аппарата самой логики в первую очередь относится к программе Д. Гилберта (начиная с 1904 года), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства её непротиворечивости, то есть доказательства того факта, что в ней недоказуема никакая формула вида A вместе с формулой ~ А. Для этого потребовалось развить теорию доказательств, после чего, считал Гилберт, используя только финитные методы, можно будет доказать непротиворечивость теории множеств и самой теории действительных чисел и таким образом решить проблему оснований математики. Однако результат К. Гёделя о неполноте арифметики (1931) убедительно показал, что программа Гилберта невыполнима. Теорема Гёделя о неполноте утверждает, что всякая достаточно богатая теория необходимо содержит утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, не опровергнув самой теории.

С 20-х годов XX века начинается современный этап развития математической логики. Он связан с применением точных методов при изучении формальных аксиоматических задач. Суть их состоит в описании рассматриваемой теории на базе строгого логико-математического языка (формализация), с последующими процедурами логического анализа теории, а именно с точки зрения непротиворечивости (например, таких теорий, как элементарная геометрия, арифметика, анализ достаточно надёжных оснований) и полноты. Основным объектом современной математической логики являются исчисления. В качестве их компонентов выступают: язык (формальный); аксиомы; правила вывода. На их основе стало возможным дать точное определение доказательства, получить точные утверждения о невозможности доказательства тех или иных предложений теории.

Обширным полем деятельности для современной математической логики является теория рекурсии, которая в первую очередь имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула A из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости послужило основным стимулом для создания теории алгоритмов. Формулировка тезиса Чёрча — Тьюринга, утверждающего, что понятие общерекурсивной функции является уточнением интуитивного понятия алгоритма, стало наиболее важным достижением математической логики. Только после уточнения понятия алгоритма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы.

Важное место в современной математической логике занимает теория моделей (см. Теория моделей), которая изучает фундаментальные связи между синтаксическими свойствами множеств предложений формального языка, с одной стороны, и семантическими свойствами их моделей, с другой; и вообще, изучаются соотношения между моделями и теориями, а также преобразование моделей. Зачастую модели используются как инструмент для того, чтобы показать, что некоторая формула A не может быть дедуцирована из определённого множества постулатов или, если A есть аксиома, то показать недоказуемость A из остальных аксиом системы, к которой A принадлежит (если это возможно). Тогда A является независимой аксиомой.

Наряду с этим стало очевидно, что те впечатляющие результаты, которые были получены средствами математической логики, и в первую очередь в области оснований математики, привели к некоторому гипостазированию функции и предмета самой этой логики. Так, в предисловии к «Handbook of Mathematical Logic» (1977) Дж. Барвайс пишет: «Математическая логика традиционно подразделяется на четыре раздела: теория моделей, теория множеств, теория рекурсии и теория доказательств». В свою очередь в «Encyclopedia Britanica» (CD–1998), уже применительно к математической логике, четыре указанных раздела названы «четырьмя главными областями исследования». Более точно было бы говорить о применении технического аппарата логики в данных областях, поскольку теория множеств и теория рекурсии сами по себе являются самостоятельными математическими дисциплинами и не являются частью математической логики. Теория доказательств для некоторых математиков-логиков превратилась чуть ли не в «метаматематику» (термин Гилберта), а теория моделей давно вышла за пределы логической семантики. Развитие современной логики показывает, что термин «математическая логика» постепенно сужается и всё больше используется для обозначения области исследования тех типов рассуждений, которыми пользуются математики. В целом, символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к математической логике и не относящиеся к ней порой просто невозможно.

Библио­графия:
  1. Адян С. И. Математическая логика. — В книге: Математическая энциклопедия, т. 3. — М., 1912.
  2. Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М., 1979.
  3. Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. — М., 1982.
  4. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. — М., 1979.
  5. Клини С. К. Введение в метаматематику. — М., 1957.
  6. Колмогоров А. П., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. — М., 1982.
  7. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. Дополнительные главы. — М., 1984.
  8. Марков А. А. Элементы математической логики. — М., 1984.
  9. Мендельсон Э. Введение в математическую логику, 3-е изд. — М., 1984.
  10. Непейвода H. H. Прикладная логика. — Ижевск, 1997.
  11. Новиков П. С. Элементы математической логики, 2-е изд. — М., 1973.
  12. Справочная книга по математической логике, т. 1–4. — М., 1982–1983.
  13. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. — М., 1967.
  14. Шенфилд Дж. Математическая логика. — М., 1975.
  15. Чёрч А. Введение в математическую логику, т. 1. — М., 1960.
  16. Bochenski J. A History of Formal Logic, 2d. ed. — Chelsea, 1970.
  17. Church A. A Bibliography of Symbolic Logic. — Providence, 1938.
  18. CopiI. M. Symbolic Logic, 5th ed. — Prentice Hall, 1979.
  19. From Dedkind to Godel: Essys on the Development of the Foundations of Mathematics, Ed. J. Hintikka. — Dordrecht, 1995.
  20. Klenk V. Understanding Symbolic Logic. 3rd ed. — 1994.
  21. Mostowski A. Thirty Years of Foundational Studies. — Oxford, 1966.
Источник: Логика математическая. Гуманитарная энциклопедия [Электронный ресурс] // Центр гуманитарных технологий, 2010–2017 (последняя редакция: 20.09.2017). URL: http://gtmarket.ru/concepts/7027
Текст статьи: © А. С. Карпенко. А. И. Лойко. Подготовка электронной публикации и общая редакция: Центр гуманитарных технологий.
Реклама:
Логика: понятия и концепции

Тематический раздел

Новые концепты
Базисные концепты