Гуманитарные технологии Информационно-аналитический портал • ISSN 2310-1792
Гуманитарно-технологическая парадигма

Логика свободная

Наименование: Свободная логика
Определение: Свободная логика — это раздел современной (неклассической) логики, в рамках которого изучаются свойства высказываний с пустыми (необозначающими) терминами.
Редакция: Информация на этой странице периодически обновляется. Последняя редакция: 30.10.2016.

Свободная логика — это раздел современной (неклассической) логики (см. Логики неклассические), в рамках которого изучаются свойства высказываний с пустыми (необозначающими) терминами. Свободной называют также логику, свободную от экзистенциальных (от латинского existentia — существование) допущений. Классические логики (такие как логика предикатов и силлогистика) являются экзистенциальными логиками (см. Логика), что обусловлено двумя моментами, проявляющимися при интерпретации указанных исчислений:

  1. универсум рассуждения, на котором осуществляется интерпретация, не должен быть пустым;
  2. все термы (аналоги имён) в обязательном порядке должны иметь значения, свои референты в универсуме рассуждения.

Нарушение этих условий приводит к несоблюдению целого ряда дедуктивных принципов классической логики.

В связи с указанными двумя условиями экзистенциальности различают два типа логик, свободных от экзистенциальных допущений:

  1. универсальные логики;
  2. свободные логики.

В универсальных логиках отказываются от первого условия экзистенциальности. В них интерпретация осуществляется на любое множество объектов, в том числе и пустое. Впервые такие логики были построены А. Мостовским, хотя их основные принципы содержались уже в двух теориях, построенных Ст. Лесневским — прототетике и онтологии. В свободной логике отказываются от второго условия экзистенциальности, то есть в них допускается использование таких сингулярных терминов, которые не имеют референтов в области интерпретации. Термин «свободная логика» часто используют в более широком смысле, включающем и универсальные логики. Это связано с тем, что в пустом универсуме ни один сингулярный термин заведомо не имеет своих референтов.

Обычно в алфавит свободной логики включается специальный одноместный логический предикат существования — «Е». Выражение Е(x) читается: «x существует». Введение предиката существования обусловлено невозможностью выразить суждения сингулярного существования в классической логике. Вообще, различают два вида суждений существования — общего и сингулярного существований. Суждения общего существования («человек существует») и несуществования («кентавры не существуют») выразимы соответственно предложениями классической логики ∃x Человек (x) и ¬ ∃x Кентавр (x). Однако предложения сингулярного несуществования («Пегас не существует») невыразимы в классической логике, так как единственная возможная форма их записи в классическом исчислении предикатов с равенством ¬ ∃x(x = Пегас) является всегда ложным утверждением в силу того, что в этой логике для любого сингулярного термина «а» является логическим законом формула ∃x(x = a).

Другим основанием для введения предиката существования является использование в исчислении описательных имён — определённых и неопределённых дескрипций (⍳(x) — «тот самый x, который обладает свойством A», где «⍳» — оператор определённой дескрипции, и ε(x) — «этот A», где «ε» — оператор неопределённой дескрипции). Если пустые сингулярные термины можно при самом построении исчисления элиминировать, то есть не вводить их в алфавит, то в силу неразрешимости исчисления предикатов так нельзя поступить с дескрипциями, так как заранее не известно, обозначают они что-либо или нет.

В свободной логике вместо обычных правил удаления квантора общности и введения квантора существования принимаются следующие правила: для квантора общности — ∀xA(x), E(t) ⊢ A(t) и для квантора существования — A(t), E(t) ⊢ ∃xA(x). В исчислении предикатов с равенством вместо аксиомы x = x принимается аксиома Е(x) ⊃ x = x.

Исторически первой свободной логикой явилась силлогистика, построенная Аристотелем, а в XX веке — онтология Ст. Лесневского и «Principia Mathematica» Б. Рассела и А. Уайтхеда. В последней в рамках классической логики был описан и некоторый вариант свободной логики. Основная идея Б. Рассела состояла в том, что в подлинном смысле сингулярными именами являются лишь те, со значениями которых мы знакомы непосредственно (концепция значения по знакомству). Все же остальные сингулярные имена являются лишь сокращениями для некоторых скрытых дескрипций. В соответствии с этим он вводит в язык лишь подлинные (в его смысле) имена и разрешает образовывать определённые дескрипции по любому предикату A(x), но при этом все выражения с дескрипциями элиминируются за счёт их контекстуального определения: Β(⍳(x)) ≡ dfx(A(x) & ∀xy(A(x) & A(y) ⊃ x = y) & B(x)). Таким образом, предложение с дескрипцией Β(⍳(x)) истинно, если выполнены три условия:

  1. предикат A(x) не пуст;
  2. предикату A(x) удовлетворяет ровно один предмет;
  3. этот предмет обладает свойством B.

Другой способ ограждения классической логики от мнимых описательных имён был предложен Д. Гилбертом. Он разрешает навешивать оператор определённой дескрипции на предикат A(x) только в случае доказательства в теории теорем о непустоте предиката — ∃(x) и единственности того предмета, который удовлетворяет этому предикату — ∀xy(A(x) & A(y) ⊃ x = y). Недостатком этого подхода является то обстоятельство, что класс терминов оказывается не рекурсивным.

Согласно принципу У. Куайна, «существовать — значит быть значением квантифицируемой переменной», — существует всё, что является элементом универсума рассуждения. Это так называемое существование в универсуме. Чтобы отличить такого рода существование от реального существования, иногда свободные логики строятся с двумя кванторами общности и существования. Одни из них действуют на всём универсуме, а другие работают лишь на некоторой выделенной области, которая рассматривается как область актуально существующих предметов.

Библиография:
  1. Гилберт Д., Бернайс П. Основания математики, т. 1. — М., 1979, т. 2. — М., 1982.
  2. Гладких Ю. Г. Логика без экзистенциальных предпосылок. — Ростов-на-Дону, 1984.
  3. Whitehead A. N., Russell В. Principia Mathematica, v. 1–3. — Cambr., 1911–1913.
  4. Mostowskci A. On the rules of proof in the pure functional calculus of the first-order. — «The Journal of Symbolic Logic», v. 16, 1951.
  5. Schock R. Logics without existence assumptions. — Stockh., 1968.
Источник: Логика свободная. Гуманитарная энциклопедия [Электронный ресурс] // Центр гуманитарных технологий, 2010–2016 (последняя редакция: 30.10.2016). URL: http://gtmarket.ru/concepts/6954
Текст статьи: © В. А. Бочаров. Подготовка электронной публикации и общая редакция: Центр гуманитарных технологий.
Ограничения: Настоящая публикация охраняется в соответствии с законодательством Российской Федерации об авторском праве и предназначена только для некоммерческого использования в информационных, образовательных и научных целях. Копирование, воспроизведение и распространение текстовых, графических и иных материалов, представленных на данной странице, не разрешено.
Реклама:
Содержание раздела
Новые концепты
Базисные концепты