Гуманитарные технологии Информационно-аналитический портал • ISSN 2310-1792
Гуманитарно-технологическая парадигма

Логическое следование

Наименование: Логическое следование
Определение: Логическое следование — это отношение, существующее между посылками и выводимыми из них заключениями, которое характеризуется тем, что заключение с необходимостью следует из посылок.
Редакция: Информация на этой странице периодически обновляется. Последняя редакция: 30.10.2016.

Логическое следование — это отношение, существующее между посылками и выводимыми из них заключениями, которое характеризуется тем, что заключение с необходимостью (обоснованно) следует из посылок. Правила логического следования вырабатываются с таким расчётом, чтобы из истинных посылок получались истинные следствия. Для современной логики характерно то, что класс этих правил устанавливается посредством тех или иных интерпретаций логических исчислений. Хотя логическое следование относится к числу фундаментальных, исходных понятий логики (см. Логика), оно не имеет точного универсального определения; в частности, описание его с помощью слов «выводимо», «вытекает» и тому подобных содержит неявный круг, поскольку последние являются синонимами слова «следует». Понятие «логическое следование» обычно характеризуется через связи с другими логическими понятиями, и прежде всего через понятия логического закона (см. Закон логический) и модели.

Один из основоположников современной логики А. Тарский в 1936 году в работе с характерным названием «О понятии логического следования» писал: «Предложение X логически следует из предложений класса К, если и только если каждая модель класса К есть также модель предложения X». В связи с этим важный смысл приобретает следующий вопрос: что значит для заключения A следовать из посылок Z? Общепринятым считается следующий принцип: A следует из посылок Z, если и только если любой случай, в котором каждая посылка в Z является истинной, есть случай, в котором A истинна. Основной замысел Тарского состоял в том, чтобы дать определение логического следования, применимого для очень широкого класса рассуждений, причём, как оказалось, настолько широкого, что возникают проблемы уже иного уровня, относящиеся скорее к вопросу о том, что есть логика.

Логическое следование можно представить как отношение между некоторым множеством высказываний Г (гипотез) и высказыванием B (заключением), отображающее тот факт, что, в силу только логической структуры названных высказываний и, значит, независимо от их содержания нельзя приписать всем высказываниям из Г значение истинно, не будучи при этом быть вынужденным приписать это значение и высказыванию B. В этом случае говорят о логическом следовании B из Г в семантическом смысле и записывают этот факт как утверждение Г ⊧ B, читаемое: из Г семантически следует B.

В формализованных логических теориях (исчислениях) выражение Г ⊧ B обозначает, что формула B этого исчисления в рамках принятой семантики (см. Семантика) является истинной (обобщённо для многозначных логик: принимает выделенное значение) всегда, когда являются истинными (принимают выделенные значения) все формулы из Г.

В рамках логики, фиксирующей нормы логических рассуждений с помощью формализованных теорий (логических исчислений), говорят об отношении логического следования в смысле выводимости B из Г в некотором исчислении Т. Символически это записывают как ГB с указанием, если необходимо, о каком исчислении идёт речь. ГB представляет собой метаутверждение о существовании построенной по определённым правилам конечной последовательности формул, называемой выводом из гипотез, в которой последняя формула есть B. При наличии такой последовательности и говорят о логическом следовании B из Г в смысле выводимости. Если при построении последовательности оказывается возможным обойтись без использования посылок, то говорят, что B логически следует из пустого списка гипотез, что принимают как факт его логической доказуемости, в том смысле, что B является теоремой исчисления Т (символически: ⊢ B).

Логические исчисления и определение в них вывода из гипотез строятся с таким расчётом, чтобы в рамках принятой для исчисления семантики условия истинности формул Г гарантировали истинность B. Более строго, семантика должна исключать случаи, при которых все входящие в Г формулы были бы истинными, а B было при этом ложным. Утверждения ГB могут быть использованы как правила логики для высказываний с логической структурой, которую отображают соответственно формулы из Г и формула B.

В классической логике множества верных утверждений вида ГB и Г ⊧ B совпадают в том смысле, что каждому ГB соответствует Г ⊧ B и наоборот.

Выражение ⊧ B трактуется как утверждение о семантической истинности (общезначимости, тавтологичности B). Из понимания логического следования в семантическом смысле вытекает, что в случае семантической истинности B, мы должны признавать верным Г ⊧ B и A ⊧ B для любых Г и A. Иными словами, общезначимая формула следует из любой. Ясно также, что из всякой противоречивой (тождественно ложной) формулы A (a также из противоречивой совокупности формул Г) следует произвольная формула B. При понимании логического следования в смысле выводимости мы должны признавать верным всякое утверждение AB, в котором B — теорема исчисления, или A — отрицание теоремы.

Эти принципы, связанные с классической трактовкой логического следования, выглядят достаточно странными как с интуитивной точки зрения, так и с позиций традиционного понимания, и не случайно в связи с этим говорят о парадоксах классического понимания следования. В некоторых случаях такого рода парадоксальность препятствует адекватному логическому анализу содержательных связей между высказываниями и других требующих содержательного подхода вопросов. Возникает задача устранения парадоксов. При необходимости можно, хотя здесь есть свои трудности, построить исчисление, которое не позволяло бы получать утверждений вида ГB, признаваемых парадоксальными. При этом, однако, надо либо отказаться от совпадения классов утверждений о логическом следовании в двух указанных смыслах, либо изменить семантику логических связок, либо изменить понимание логического следования в семантическом смысле. Необходимо также изменить понятие вывода из гипотез, чтобы теоремы исчисления нельзя было рассматривать как следствия из произвольных гипотез.

Примером проблем, которые возникают на пути решения перечисленных задач и трудностей с которыми приходится сталкиваться при их решении, служит история становления и развития релевантной логики (см. Логика релевантная). Говоря о проблеме логического следования, имеют ввиду не только уже названные вопросы. Все указанные трудности и проблемы значительно усложняются, когда логическое следование пытаются описать (формализовать) в объектном языке самих исчислений, за счёт введения в этот язык соответствующей импликации. Теоремы таких исчислений в этом случае выступают как утверждения о следовании из утверждений о следовании же. Многие исследователи выступают против такой интерпретации импликации на том основании, что это влечёт к смешению языка и метаязыка. Импликация объектного языка, по их мнению, выражает различного типа условные связи, включая и необходимую, порождаемую отношением логического следования. Различные подходы к формализации логического следования привели наряду с классической теорией материальной импликации к построению различных теорий строгой, сильной, аналитической, интенсиональной, релевантной и некоторых других видов импликации.

Библиография:
  1. Сидоренко Е. А. Логическое следование и условные высказывания. — М., 1983.
  2. Gomez-Torrente M. Tarski on Logical Consequence. — Notre Dame Journal of Formal Logic. 1996. Vol. 37. № 1.
  3. Tarski A. On the Concept of Logical Consequence. — Tarski A. Logic, Semantics, Metamatematics. Indianapolis, 1983. P. 409–420.
Источник: Логическое следование. Гуманитарная энциклопедия [Электронный ресурс] // Центр гуманитарных технологий, 2010–2016 (последняя редакция: 30.10.2016). URL: http://gtmarket.ru/concepts/6919
Текст статьи: © Е. А. Сидоренко. Подготовка электронной публикации и общая редакция: Центр гуманитарных технологий.
Ограничения: Настоящая публикация охраняется в соответствии с законодательством Российской Федерации об авторском праве и предназначена только для некоммерческого использования в информационных, образовательных и научных целях. Копирование, воспроизведение и распространение текстовых, графических и иных материалов, представленных на данной странице, не разрешено.
Реклама:
Содержание раздела
Новые концепты
Базисные концепты