а) Бесконечное расширение понятий уничтожает смысл и истину
Каппа . Альфа уже сказал, что наш «старый» метод приводит к порочной бесконечности 169. Гамма и Ламбда ответили надеждой, что поток опровержений может иссякнуть 170; но теперь, когда мы понимаем механизм успеха опровержений — расширение понятий, — мы знаем, что их надежда была тщетной. Для всякого предложения всегда найдётся некоторое достаточно узкое толкование его терминов, которое окажется истинным, и некоторое достаточно широкое, которое окажется ложным. Какое толкование предполагается, и какое нет, зависит, конечно, от наших намерений.
Первое толкование можно было бы назвать догматическим, подтвердительным ил и оправдательным толкованием, а второе скептическим, критическим или опровергательным. Альфа назвал первое конвенционалистской стратагемой 171, но теперь мы видим, что второе будет таким же. Вы все осмеяли догматическое толкование Дельтой наивной догадки 172, а затем догматическое толкование Альфой теоремы 173. Но расширение понятий опровергает всякое утверждение и вообще не оставит истинного утверждения.
Гамма . Постойте. Правда, мы расширили понятие «многогранник», затем разорвали его и отбросили; как указал Пи, наивное понятие «многогранник» уже не фигурирует больше в теореме.
Каппа . Но тогда вы начнёте расширять термин в теореме — теоретический термин, не правда ли? Вы сами решили расширить «односвязную грань» так, чтобы включить круг в боковую поверхность цилиндра 174.
Вы подразумевали, что интеллектуальная честность требует подставить шею, добиться почётного статуса опровергаемости, то есть сделать возможным толкование опровергателя. Но при наличии расширения понятий опровергаемость означает опровержение. Таким образом, вы скользите по бесконечному склону, опровергая каждую теорему и заменяя её более «строгой» — такой, ложность которой ещё не выявлена. Но вы никогда не выйдете из ложности.
Сигма . А что, если мы остановимся на некотором пункте, примем оправдательные толкования и не будем трогаться дальше от истины или от той частной лингвистической формы, в которой была выражена истина?
Каппа . Тогда вам придётся отражать контрапримеры, расширяющие понятия, вместе с устраняющими монстры определениями. Таким образом, вы будете скользить по другому бесконечному склону: вы будете принуждены принимать каждую «особую лингвистическую форму» вашей истинной теоремы, которая не будет достаточно точной, и вы будете принуждены включать в неё всё более и более «строгие» определения, выраженные в терминах, неясность которых ещё не разоблачена. Но вы никогда не выйдете из неясности.
Тета (в сторону ). Что же плохо в эвристике, где неясность является ценой, которую мы платим за рост?
Альфа . Я сказал вам: точные понятия и непоколебимые истины живут только в мысли, но не в языке!
Гамма . Позвольте мне сделать вам вызов, Каппа. Возьмите теорему, как она стояла после того как мы учли цилиндр: «Для всех простых объектов с односвязными гранями, у которых ребра оканчиваются в вершинах, V — Е + F = 2». Как вы опровергнете это методом расширения понятий?
Каппа . Прежде всего я вернусь к определяющим терминам и произнесу предложение полностью. Затем я решу, какие понятия надо расширить. Например, «простой» стоит вместо «могущий быть растянутым в плоскости после отнятия одной грани». Я растяну термин «растягивание». Возьмите уже обсужденные тетраэдры-близнецы, имеющие общее ребро (рис. 6, а). Этот многогранник будет простым, его грани — односвязными, но V — Е + F = 3. Итак, наша теорема неверна.
Гамма . Но эти близнецы-тетраэдры не будут простым многогранником!
Каппа . Конечно, будут простым. Отнимая любую грань, я могу растянуть его на плоскости. Мне придётся только быть осторожным, когда я подойду к критическому ребру, чтобы ничего не разорвать, открывая по этому ребру второй тетраэдр.
|
|
Рисунок 24
|
Гамма . Но это же не растягивание! Вы режете — или расщепляете — ребро на два ребра. Вы, конечно, не можете поместить одну точку в двух точках: растягивание является дважды непрерывным однозначным отображением.
Каппа . Определение 9? Боюсь, что это узкое, догматическое толкование «растягивания» не удовлетворит моему здравому смыслу. Например, я вполне могу в воображении растянуть квадрат (рис. 24, а) в два вложенных друг в друга квадрата, если растяну его контурную линию (рис. 24,6). Назовёте ли вы это растягивание разрезом или расщеплением только потому, что оно не представляет «дважды непрерывного однозначного отображения». Между прочим, я удивляюсь, почему вы не определили растягивание как преобразование, которое оставляет F, Е и F неизменными, и покончили бы с этим?
Гамма . Верно, вы опять выиграли. Я должен или согласиться с вашим опровергательным толкованием «растягивания» и расширить моё доказательство, или найти более глубокое, или включить лемму, или ввести определение, устраняющее монстры. Однако в каждом из этих случаев я всегда буду делать более и более ясными мои определяющие термины. Почему я не должен прийти к такой точке, для которой значение терминов будет настолько кристально ясным, что может быть только одно-единственное толкование, как в случае с 2 + 2 = 4? Здесь нет ничего эластичного в смысле этих терминов и ничего опровержимого в истине этого определения, которое вечно сияет в естественном свете разума.
Каппа . Мутный свет!
Гамма . Расширьте, если вы можете.
Каппа . Но это же детская игра! В некоторых случаях два и два составляют пять. Предположим, что просим прислать две вещи, из которых каждая весит два фунта; они были присланы в ящике, весящем один фунт; тогда в этой упаковке два фунта и два фунта составляют пять фунтов!
Гамма . Но вы получаете пять фунтов, складывая три груза, 2 и 2 и 1!
Каппа . Верно, наша операция «2 и 2 составляют 5» не представляет сложения в первоначальном смысле этого слова. Но простым расширением смысла сложения мы можем сделать этот результат истинным. Наивное сложение представляет очень частный случай упаковки, когда вес покрывающего материала равен нулю. Нам нужно включить эту лемму в догадку в качестве условия: наша исправленная догадка будет: «2 + 2 = 4 для «невесомого» сложения» 175.
Вся история алгебры представляет ряд таких расширений понятий и доказательств.
Гамма . Я думаю, что вы «растягиваете» слишком далеко. В следующий раз вы истолкуете «плюс» как «косой крест» и будете рассматривать это как опровержение! Или вы истолкуете «все» как «не» в положении: все многогранники суть многогранники!» Вы расширяете понятие расширения понятий! Мы должны отграничить опровержение при помощи рационального расширения от «опровержения» при помощи иррационального расширения. Мы не можем позволить вам расширить любой термин так, как вы этого хотите. Мы должны закрепить понятие контрапримера в кристально ясных терминах!
Дельта . Даже Гамма обратился в устранителя монстров: теперь для опровержения расширением понятий он хочет получить определение, устраняющее монстры. Разумность в конце концов зависит от неэластических, точных понятий 176.
Каппа . Но таких понятий не существует! Почему не принять, что наша способность уточнять смысл наших выражений ничтожна и поэтому наша способность доказывать тоже ничтожна? Если вы хотите, чтобы математика имела смысл, то вы должны отказаться от достоверности. Если вы хотите достоверности, избавьтесь от смысла. Вы не можете иметь и то и другое. Тарабарщина безопасна от опровержений, имеющие смысл предложения могут быть опровергнуты расширением понятий.
Гамма . Тогда ваши последние утверждения тоже могут быть опровергнуты — и вы знаете это. «Скептики — это не секта людей, убеждённых в том, что они говорят, это — секта лжецов» 177.
Каппа . Ругательства — последнее прибежище разума!
б) Смягчённое расширение понятий может превратить математическую истину в логическую
Тета . Я думаю, что Гамма прав относительно необходимости проведения раздельной линии между рациональным и иррациональным расширением понятий. Действительно, расширение понятий зашло слишком далеко и из скромной рациональной деятельности превратилось в радикальную и иррациональную.
Первоначально критика сосредоточивалась исключительно на небольшом расширении одного частного понятия. Оно должно было быть небольшим, чтобы мы не могли его заметить; если бы его действительная — расширяющая — природа была увидена, то оно могло не быть принятым как законная критика. Оно сосредоточивается на одном частном понятии, как в случае наших несофистических универсальных предложений «Все А суть В». В таком случае критик хочет найти слегка расширенное А (в нашем случае многогранник), которое не будет В (в нашем случае эйлеров).
Но Каппа заострил это в двух направлениях. Во-первых, чтобы подвергнуть расширяющей понятие критике более чем одну составную часть предложения, находящегося под ударом. Во-вторых, превратить расширение понятий из тайной и даже скромной деятельности в открытое деформирование понятия вроде превращения «все» в «не». Здесь в качестве опровержения принимается любой имеющий смысл перевод терминов атакуемого предложения, который делает теорему ложной. Тогда я сказал бы, что если предложение не может быть опровергнуто в отношении своих составных частей: а, b, то оно будет логически истинным для этих составных частей 178.
Такое предложение представляет конечный результат длинного критико-спекулятивного процесса, в течение которого смысловой груз некоторых терминов полностью перенесён на остальные термины и на форму теоремы.
Теперь всё, что говорит Каппа, сводится к тому, что не существует предложений, логически истинных для всех их составных частей. Но могут быть предложения, логически истинные по отношению к некоторым составным частям, так что поток опровержений может быть открытым снова, если будут добавлены новые составные части, могущие быть расширенными. Если мы доведем дело до конца, то кончим иррационализмом, — но мы в этом не нуждаемся. Теперь, где же должны мы провести граничную линию? Мы можем допустить расширение понятий только для особо выделенной подгруппы составных частей, которые станут первыми мишенями для критики. Логическая истинность не будет зависеть от их значения.
Сигма . Таким образом, в конце концов мы приняли пункты Каппы: мы сделали истину не зависящей от значения по крайней мере некоторых из терминов!
Тета . Это верно. Но если мы хотим разбить скептицизм Каппы и избегнуть его порочных бесконечностей, то мы непременно должны остановить расширение понятий в той точке, где оно перестаёт быть орудием роста и становится орудием разрушения: может быть, нам придётся определить, какими будут термины, значение которых может быть расширено только за счёт уничтожения основных принципов рациональности 179.
Каппа . Можем ли мы расширять понятия в вашей теории критической рациональности? Или будет ли это очевидно истинным, формулированным в не допускающих расширения точных терминах, которые не нуждаются в определении? Не кончится ли ваша теория критицизма «обращением к суду?» Можно ли критиковать всё, кроме вашей теории критицизма, вашей «метатеории» 180?
Омега (к Эпсилону ). Мне нравится этот отход от истины к рациональности. Чьей рациональности? Я чувствую конвенционалистскую инфильтрацию.
Бета . О чём вы говорите? Я понимаю «мягкий образец» Теты расширения понятий. Я также понимаю, что расширение понятий может атаковать более чем один термин: мы видели это, когда Каппа расширял «расширение» или когда Гамма расширял «все»…
Сигма . Но Гамма, конечно, расширял «односвязные!»
Бета . Ну нет. «Односвязные» — это сокращение — он расширил только термин «все», который попался среди определяющих слов 181.
Тета . Вернёмся к делу. Вы чувствуете себя несчастными из-за «открытого» радикального расширения понятий?
Бета . Да. Никто не захочет принять эту последнюю выпущенную марку за настоящее опровержение! Я хорошо вижу, что мягкая расширяющая понятия тенденция эвристического критицизма, раскрытая Пи, представляет наиболее важный двигатель математического роста. Но математики никогда не примут эту последнюю дикорастущую форму опровержения!
Учитель . Вы неправы, Бета. Они приняли её и их принятие было поворотным пунктом в истории математики. Эта революция в математическом критицизме изменила понятие о математической истине, изменила стандарты математического доказательства, изменила характер математического роста 182.
Но теперь закроем на данный момент нашу дискуссию; об этой новой стадии мы поговорим в другое время.
Сигма . Но ведь ничего не установлено. Мы не можем остановиться теперь.
Учитель . Сочувствую вам. Эта последняя стадия даст важные источники пищи для нашей дискуссии 183. Но научное исследование «начинается и кончается проблемами» 184.
(Покидает классную комнату).
Бета . Но вначале у меня не было проблем! А теперь у меня нет ничего, кроме проблем!
|