Учитель. Подсказанное доказательством разложение догадки открывает новые горизонты для проб. Это разложение более широким фронтом развёртывает догадку, так что наш дух критики получает большее количество целей. Мы теперь вместо одной имеем по меньшей мере три возможности для контрапримеров.
Гамма. Я уже выразил моё несогласие с вашей третьей леммой (а именно, что при вынимании треугольников из сети, получившейся после растягивания и последующей триангуляции, мы имеем только две возможности: мы убираем или только одно ребро, или же два ребра с вершиной). Я подозреваю, что при удалении треугольника могут появиться и другие возможности.
Учитель. Подозрение — это ещё не критика.
Гамма. А контрапример будет критикой?
Учитель. Конечно. Догадкам нет дела до несогласий или подозрений, но они не могут игнорировать контрапримеры.
Тета (в сторону). Догадки, очевидно, сильно отличаются от тех, кто их представляет.
Гамма. Я предлагаю очень простой контрапример. Возьмём триангуляционную сеть, которая получилась после проведения на кубе двух первых операций (см. Pис. 2). Теперь, если я удалю треугольник изнутри этой сети, как можно вынуть кусок из головоломки, то я вынимаю только один треугольник без удаления каких-нибудь рёбер или вершин. Таким образом, третья лемма неверна — и не только в случае куба, но для всех многогранников, кроме тетраэдра, для которого в плоской сети все треугольники будут граничными. Таким образом, ваше доказательство доказывает теорему Эйлера для тетраэдра. Но ведь мы уже и так знали, что для тетраэдра V — Е + F = 2, так зачем же это доказывать?
Учитель. Вы правы. Но заметьте, что куб, который представляет контрапример для третьей леммы, не будет контрапримером для основной догадки, так как для куба V — Е + F = 2. Вы показали, что аргументация доказательства имеет недостаток, но это не значит, что наша догадка ложна.
Альфа. Так, вы теперь снимете cвое доказательство?
Учитель. Нет.
Критика не всегда будет необходимо разрушением. Я просто исправлю моё доказательство, чтобы оно устояло против этой критики.
Гамма. Как?
Учитель. Прежде чем показать «как», давайте введём такую терминологию. Локальным контрапримером я буду называть пример, который отвергает лемму (не отвергая необходимо основную догадку), а глобальным контрапримером я назову пример, отвергающий саму догадку. Таким образом, ваш контрапример будет локальным, но не глобальным. Локальный, но не глобальный контрапример представляет критику только доказательства, но не догадки.
Гамма. Значит, догадка может быть верной, но ваше доказательство её не доказывает.
Учитель. Но я легко могу переработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка исправленной, которую ваш контрапример не сможет опровергнуть. Я не буду спорить, что при вынимании любого треугольника получаются только две упомянутые возможности, но скажу только, что на каждой стадии процесса вынимания одного из граничных треугольников может встретиться одна из упомянутых возможностей. Возвращаясь к моему мысленному эксперименту, я должен только в описании моего третьего шага прибавить одно слово, а именно, что «теперь из триангулированной сети мы отнимаем один за другим граничные треугольники». Вы согласитесь, что для приведения в порядок доказательства понадобилось только небольшое замечание? 18
Гамма. Не думаю, чтобы ваше замечание было таким пустяковым; оно, конечно, очень остроумно.
Чтобы выяснить это, я покажу, что оно неверно. Возьмём опять плоскую сеть для куба и отнимем восемь из десяти треугольников в последовательности, указанной на рис. 4. При вынимании восьмого треугольника, который, конечно, будет тогда граничным, мы отняли два ребра и ни одной вершины, а это изменит V — Е + F на 1. И мы остались с двумя отдельными треугольниками 9 и 10.
Учитель. Ну, я мог бы спасти лицо, сказав, что под граничным треугольником я подразумевал такой, вынимание которого не нарушает связности сети. Но интеллектуальная честность препятствует мне скрыто изменять мои положения словами, начинающимися с «я думал»; поэтому я считаю, что вторую версию операции вынимания треугольников я должен заменить третьей, а именно, что вынимаются треугольники один за другим таким образом, чтобы V — Е + F не изменялось.
Каппа. Охотно соглашусь, что соответствующая такой операции лемма будет истинной: конечно, если мы вынимаем треугольники один за другим, так, чтобы V — Е + F не изменялось, то V — Е + F не будет изменяться.
Учитель. Нет.
Лемма заключается в том, что треугольники в нашей сети могут быть перенумерованы так, что при вынимании их в правильной последовательности V — Е + F не будет изменяться, пока мы не достигнем последнего треугольника.
Каппа. Но как же построить эту правильную последовательность, если она вообще существует? 19
Ваш первоначальный мысленный эксперимент давал инструкцию: вынимайте треугольники в любом порядке. А теперь вы говорите, что мы должны следовать некоторому определённому порядку, но не говорите, какой это порядок и существует ли он в действительности. Таким образом, ваш мысленный эксперимент разваливается. Вы исправили анализ доказательства, то есть список лемм, но мысленный эксперимент, который вы назвали «доказательством», исчез.
Ро. Исчез только третий шаг.
Каппа. Кроме того, улучшили ли вы лемму? Ваши первые две версии по крайней мере до их опровержения казались тривиально простыми, а ваша длинноватая заплатанная версия даже не кажется очевидной. Можете ли вы верить, что она избежит опровержения?
Учитель.
«Очевидные» или даже «тривиально простые» предложения обычно скоро отвергаются: софистические, неочевидные предположения, созревшие после критицизма, могут оказаться истинными.
Омега. А что случится, если и ваши «софистические предположения» окажутся ложными и мы не сможем заменить их неложными? Или если вам не удастся улучшить локальными заплатами ваши аргументы? При помощи замены отвергнутой леммы вам удалось справиться с локальным контрапримером, не бывшим глобальным. А что если в следующий раз вам это не удастся?
Учитель. Вопрос хорош — поставим его завтра в повестку дня.
Примечания:
Список примечаний представлен на отдельной странице, в конце издания.
