Имре Лакатос:
Доказательства и опровержения.
Глава 7. Проблема пересмотра содержания

а) «Наивность» наивной догадки

Дзета. Я согласен с Омегой и также оплакиваю факт, что устранители монстров, исключений и инкорпораторы лемм все стремятся к некоторой истине за счёт содержания. Но его Правило 4 ¹¹⁵, требующее более глубоких доказательств той же самой наивной догадки, не будет достаточным.

Почему наши поиски содержания должны быть ограничены первой наивной догадкой, на которую мы напали? Почему целью нашего исследования должна быть «область наивной догадки?»

Омега. Я не понимаю вас. Конечно, нашей задачей было найти область истинности отношения V — Е + F = 2?

Дзета. Нет!

Нашей задачей было найти связь V, Е и F для любого многогранника. Ведь только по чистой случайности мы сначала познакомились с многогранниками, для которых F — E + F = 2.

Но критическое исследование этих «эйлеровых» многогранников показало нам, что неэйлеровых многогранников существует гораздо больше, чем эйлеровых. Почему же нам не обратить внимания на область истинности V — E + F = — 6, V — Е + F = 28 или V — Е + F = 0? Разве они не так же интересны?

Сигма. Вы правы.

Мы обратили так много внимания на V — Е + F = 2 только по той причине, что первоначально считали это истинным. Теперь же мы знаем, что это не так, — нам нужно найти новую, более глубокую наивную догадку…

Дзета … которая будет менее наивной…

Сигма … которая даст соотношение между V, Е и F для любого многогранника.

Омега. Зачем спешить? Решим сначала более скромную задачу, которую мы поставили перед собой: объяснить, почему некоторые многогранники являются эйлеровыми. До сих пор мы пришли только к частичным объяснениям. Например, ни одно из найденных доказательств не объяснило, почему картинная рама с кольцеобразными гранями спереди и сзади будет эйлеровой (рис. 16). Она имеет 16 вершин, 24 ребра и 10 граней…

Тета. Она, конечно, не будет многогранником Коши: у неё есть туннель, кольцеобразные грани…

Бета. И всё-таки она эйлерова! Как неразумно! Если многогранник провинился один раз — туннель без кольцеобразных граней (рис. 9), — то его отбрасывают к козлищам, а тот, который сделал вдвое больше преступлений — имеет кольцеобразные грани (рис. 16), — допущен к овцам ¹¹⁶.

Омега. Вы видите, Дзета, у нас достаточно загадок и для эйлеровых многогранников. Решим же их, прежде чем заняться более общей задачей.

Дзета. Нет, Омега. «На много вопросов иногда бывает легче ответить, чем только на один.

Новая более претенциозная проблема может оказаться более лёгкой, чем первоначальная» ¹¹⁷

В самом деле, я покажу, что ваша узкая случайная задача может быть решена только после решения более широкой, существенной.

Омега. Но я хочу раскрыть секрет эйлеровости!

Дзета. Я понимаю ваше упорство: вы поставили задачу определить, где Бог поместил твердь, отделяющую эйлеровы многогранники от неэйлеровых. Но нет основания думать, что слово «эйлеров» вообще встречалось у Бога в плане вселенной. А что если эйлеровость только случайное свойство некоторых многогранников? В этом случае будет неинтересно, или даже невозможно, найти случайные зигзаги в демаркационной линии между эйлеровыми и неэйлеровыми многогранниками. Тем более это допущение оставит незапятнанным рационализм, потому что эйлеровость не будет тогда частью рационального плана вселенной. Поэтому забудем об этом. Один из основных пунктов критического рационализма заключается в том, что надо быть всегда готовым во время решения оставить свою первоначальную задачу и заменить её другой.

б) Индукция как основа метода доказательств и опровержений

Сигма. Дзета прав. Какое несчастье!

Дзета. Несчастье?

Сигма. Да. Вы теперь хотите ввести новую «наивную догадку» о соотношении между V, Е и F для любого многогранника, не правда ли?

Невозможно! Взгляните на большую толпу контрапримеров. Многогранники с полостями, многогранники с кольцеобразными гранями, с туннелями, сросшиеся друг с другом в ребрах, в вершинах… V — Е + F может принять вообще любое значение. Вы, пожалуй, не сумеете разглядеть в этом хаосе какой-нибудь порядок! Твердую почву эйлеровых многогранников мы покинули для болота! Мы невозвратно потеряли наивную догадку и не имеем надежды получить другую!

Дзета. Но…

Бета. А почему нет? Вспомните кажущийся безнадёжным хаос в нашей таблице чисел вершин, рёбер и граней даже у самых обыкновенных многогранников.

Мы столько раз не могли подобрать для них формулу ¹¹⁸.Но потом внезапно нас поразил настоящий закон, управляющий ими: V — E + F = 2.

Каппа (в сторону). «Настоящий закон?» Странное название для полнейшей ложности.

Бета. Всё, что мы должны теперь сделать, это дополнить нашу таблицу новыми данными для неэйлеровых многогранников и поискать новую формулу: при наличии терпеливого прилежного наблюдения и некоторого счастья мы попадем на правильную формулу; затем мы можем снова её улучшить, применяя метод доказательств и опровержений!

Дзета. Терпеливое, прилежное наблюдение? Пробовать одну формулу за другой? Может быть, вы придумаете гадательную машину, которая будет давать вам случайные формулы и пробовать их на вашей таблице? Неужели вы так думаете о прогрессе науки?

Бета. Не понимаю вашего гнева. Ведь вы, конечно, согласитесь, что начало нашего знания, наши наивные догадки могут прийти только после прилежного наблюдения и внезапного прозрения, как бы много ни взял на себя наш критический метод «доказательств и опровержений», после того как мы найдем наивную догадку? Любой дедуктивный метод должен начинаться с индуктивного основания!

Сигма. Ваш индуктивный метод никогда не принесёт удачи. Мы пришли к F — E + F = 2 только потому, что в нашей первоначальной таблице не было ни картинной рамы, ни морского ежа. Теперь же, когда этот исторический инцидент…

Каппа (в сторону) … или благосклонное божественное руководство…

Сигма … более уже не существует, вы никогда не сможете из хаоса «индуцировать» порядок. Мы начали с долгого наблюдения и со счастливым прозрением — и потерпели поражение. Теперь вы предлагаете начать снова с ещё более долгим наблюдением и с более счастливым прозрением. Даже если бы мы пришли к какой-нибудь новой наивной догадке — в чём я сомневаюсь — мы кончили бы только такой же путаницей.

Бета. Может быть, вы хотите совсем отказаться от исследования? Нам нужно начать снова — прежде всего с некоторой новой наивной догадки, а затем снова пройти через метод доказательств и опровержений.

Дзета. Нет, Бета. Я согласен с Сигмой, поэтому и не начну опять с новой наивной догадки.

Бета. Тогда с чего же вы хотите начать, если не с индуктивного обобщения на низшем уровне в качестве наивной догадки? Или у вас есть какой-нибудь другой метод для начала?

в) Дедуктивная догадка против наивной догадки

Дзета. Начинать?

Зачем я должен начинать? Мой ум не пуст, когда я открываю (или изобретаю) задачу.

Учитель. Не дразните Бету. Вот задача: имеется ли соотношение между числами вершин, рёбер и граней многогранника, аналогичное тривиальному соотношению между числами вершин и сторон многоугольника V = EE? ¹¹⁹ Как вы приметесь за эту задачу?

Дзета. Прежде всего я не имею стипендии от правительства для производства подробной описи многогранников, а также не обладаю армией ассистентов для подсчёта их вершин, рёбер и граней и составления таблиц по этим данным. Но если бы даже всё это у меня было, я не имел бы терпения — или интереса — испытывать пригодность одной формулы за другой.

Бета. Что же тогда? Вы ляжете на диван, закроете глаза и забудете о данных?

Дзета. Так точно я и сделаю. Чтобы начать, мне нужна идея, а не какие-либо данные.

Бета. А откуда вы возьмёте идею?

Дзета. Она уже имеется в нашем уме, когда мы формулируем задачу; фактически она имеется уже в самой формулировке задачи.

Бета. Какая же идея?

Дзета. Та, что для многоугольника V = EE.

Бета. Ну так что же?

Дзета. Задача никогда не приходит с неба. Она всегда связана с нашим земным знанием. Мы знаем, что для многоугольников V = Е. Теперь многоугольник есть система многоугольников, состоящая из одного единственного многоугольника. Многогранник есть система многоугольников, состоящих более чем из одного многоугольника. Но для многогранников V¹E. В каком пункте отношение V = EE отказалось служить при переходе от монополигональных систем к полиполигональным? Вместо того чтобы собирать данные, я прослежу, как эта задача возникла на основе нашего земного знания, или каковы были ожидания, опровержение которых представило эту задачу.

Рисунок 17

Сигма. Правильно. Последуем вашим рекомендациям. Для всякого многоугольника Е — V = 0 (рис. 17, а). Что случится, если я прикреплю к нему другой многоугольник (необязательно в той же плоскости)?

Добавляемый многоугольник имеет n₁ с торон и n₁ вершин; если мы прикрепим его к первоначальному по цепочке из n₁’ рёбер и n₁’ + 1 вершин, то мы увеличим число рёбер на n₁— n₁’, а число вершин на n₁— (n₁’ + 1); значит, в новой 2-полигональной системе получится избыток в числе рёбер над числом вершин: Е — V = 1 (рис. 17,6); необычное, но совершенно допустимое прикрепление мы видим на рис. 17, в. «Прикрепление» новой грани к системе будет всегда увеличивать этот избыток на единицу; следовательно, для построенной таким образом F-полигональной системы будет всегда E — V = EF — 1.

Бета. Или V — Е + F = 1.

Ламбда. Но ведь это неверно для большей части полигональных систем. Возьмите куб…

Сигма. Но моё построение может привести только к «открытым» полигональным системам — ограниченным цепочкой рёбер. Мой мысленный эксперимент я могу легко распространить на «закрытую» полигональную систему без такой границы. Это закрытие может быть произведено, если мы такую сосудообразную систему покроем многоугольником — крышкой; прикрепление такого покрывающего многоугольника увеличит F на единицу без изменения V или Е…

Дзета. Итак, для закрытой полигональной системы — и закрытого многогранника, — построенной таким образом, V — Е + F = 2; догадка, которую мы теперь получили без «наблюдения» числа вершин, рёбер и граней одного многогранника!

Ламбда. И теперь вы можете применить метод доказательств и опровержений без какой-нибудь «индуктивной отправной точки».

Дзета. С той разницей, что вам уже не надо будет выдумывать доказательство — оно уже получилось готовым. Вы можете продолжать непосредственно с опровержениями, анализом доказательства, образованием теоремы.

Ламбда. Тогда в вашем методе — вместо наблюдений — доказательство предшествует наивной догадке ¹²⁰.

Дзета. Ну, я не назвал бы «наивным» предположение, которое выросло из доказательства. В моём методе нет места для индуктивных наивностей.

Бета. Есть возражение! Вы только отодвинули назад наивное индуктивное начало: вы же начали с «V = EE для многоугольников». Разве вы не основываете это на наблюдениях?

Дзета. Как большинство математиков, я не умею считать. Я только что попытался сосчитать стороны и вершины у семиугольника; сначала я нашёл 7 сторон и 8 вершин, а затем, второй раз, 8 сторон и 7 вершин…

Бета. Шутки в сторону, как вы получили V = EE?

Дзета. Я был глубоко потрясен, когда впервые понял, что для треугольника V — Е = 0. Я, конечно, хорошо знал, что для одного ребра V — Е = 1 (рис. 18, а). Я знал также, что присоединение новых рёбер всегда увеличивает на единицу и число рёбер и число вершин (рис. 18,6 и 18, в). Почему же тогда в полигональных системах рёбер будет V — Е = 0? Потом я понял, что это получается вследствие перехода от открытой системы рёбер (которая ограничивается двумя вершинами) к закрытой системе рёбер (которая не имеет такой границы), так как мы «закрываем» открытую систему, вставляя ребро без добавления новой вершины. Таким образом, я доказал, но не наблюдал, что для многоугольников будет V — Е = 0.

Бета. Ваша хитрость не поможет вам. Вы только ещё дальше отодвинули назад индуктивную отправную точку; теперь обратимся к утверждению, что для всякого ребра V — Е = 1. Вы это доказали или наблюдали?

Дзета. Я доказал это. Я, конечно, знал, что для одной вершины V = 1 (рис. 19). Моей задачей было построить аналогичное соотношение…

Бета (яростно). Разве вы не наблюдали, что для точки V = E1?

Дзета. А вы наблюдали это? (В сторону, к Пи.) Должен ли я сказать ему, что моей «индуктивной отправной точкой» было пустое пространство? Что я начал с того, что «наблюдал» ничто?

Ламбда. Во всяком случае два пункта мы установили. Сначала Сигма аргументировал, что только благодаря исторической случайности можно прийти к наивной индуктивной догадке; если имеешь перед собой реальный хаос фактов, то вряд ли сможешь подвести их под изящную формулу. Затем Дзета показал, что для логики доказательств и опровержений мы совсем не нуждаемся ни в наивной догадке, ни в индуктивистской отправной точке.

Бета. Возражение! А как быть с теми прославленными наивными догадками, которым не предшествовали (или даже за которыми не следовали) доказательства, вроде догадки о четырёх цветах, которая говорит, что четырёх цветов вполне достаточно для того, чтобы раскрасить любую карту, или догадки Гольдбаха? Ведь только благодаря историческим случайностям доказательства могут предшествовать теоремам, или может иметь место «дедуктивная догадка» Дзеты; в других случаях первыми бывают наивные индуктивные догадки.

Учитель. Мы, конечно, должны усвоить оба эвристических образца; дедуктивная догадка является самой лучшей, но наивная догадка лучше, чем отсутствие всякой догадки. Но наивная догадка — не индукция; такие вещи, как индуктивные догадки, не существуют!

Бета. Но ведь мы нашли наивную догадку при помощи индукции!» Э то значит, что она была внушена наблюдением, указана особыми событиями… И среди частных случаев, которые мы рассмотрели, мы могли различить две группы: те, которые предшествовали формулировке догадки, и те, которые появились потом. Первые подсказали догадку, вторые поддержали её. Оба ряда случаев произвели некоторого рода контакт между догадкой и «фактами»… ¹²¹

Этот двойной контакт и представляет сердце индукции; первый создаёт индуктивную эвристику, второй даёт индуктивное оправдание, или индуктивную логику.

Учитель. Нет! Факты не подсказывают догадок и тем более не поддерживают их!

Бета. Тогда что же подсказало мне F — E + F = 2, если не факты, собранные в моей таблице?

Учитель. Я скажу вам. Вам самим несколько раз не удавалось подвести их под формулу ¹²². Произошло следующее: у вас были три или четыре догадки, которые по очереди были быстро отвергнуты. Ваша таблица была построена в процессе проверки и опровержения этих догадок. Эти мёртвые и теперь уже забытые догадки подсказали факты, а не факты подсказали догадки. Наивные догадки не являются индуктивными догадками; мы приходим к ним путём испытаний и ошибок, через предположения и опровержения ¹²³.

Но если вы думаете — неправильно, — что пришли к ним индуктивным путём от ваших таблиц, если вы верите, что чем длиннее таблица, тем больше догадок она подскажет и потом поддержит, то вы можете потратить даром своё время, собирая ненужные данные. Таким образом, проникшись доктриной, что путь открытия ведёт от фактов к догадкам и от догадки к доказательству (миф индукции), вы можете полностью забыть об эвристической альтернативе: дедуктивном угадывании ¹²⁴.

Математическая эвристика очень похожа на научную эвристику — не потому, что обе являются индуктивными, но потому, что обе характеризуются догадками, доказательствами и опровержениями. Важная разница заключается в природе соответствующих догадок, доказательств (в науке — объяснений) и контрапримеров ¹²⁵.

Бета. Понимаю. Тогда наша наивная догадка никогда не была первой догадкой, «подсказанной» жёсткими непредположительными фактами; ей предшествовали многие «донаивные» догадки и опровержения. Логика догадок и опровержений не имеет исходной точки, но логика доказательств и опровержений имеет ее: она начинается с первой наивной догадки, за которой должен последовать мысленный эксперимент.

Альфа. Может быть. Но тогда я не стал бы называть её «наивной» ¹²⁶.

Каппа (в сторону). Даже в эвристике нет такой вещи, как совершенная наивность.

Бета. Главное — как можно скорее выйти из периода испытаний и ошибок, быстро перейти к мысленным экспериментам, не имея слишком много «индуктивного» уважения к «фактам». Это уважение может задерживать рост знания. Представьте себе, что при помощи испытаний и ошибок вы пришли к догадке V — Е + F = 2 и что она будет сразу же отвергнута наблюдением: для картинной рамы V — Е + F = 0. Если вы слишком уважаете факты, в особенности когда они опровергают ваши догадки, вы пойдёте снова к до-наивным испытаниям и ошибкам и будете искать другую догадку. Но если вы обладаете лучшей эвристикой, то вы по крайней мере попытаетесь игнорировать неприятное испытание наблюдением и попробуете испытание мысленным экспериментом, вроде доказательства Коши.

Сигма. Какая путаница! Зачем называть испытанием доказательство Коши?

Бета. Зачем называть испытанием доказательство Коши? Это было испытание!

Послушайте. Вы начали с наивной догадки: V — Е + F = 2 для всех многогранников.

Затем вы отсюда вывели следствие: «если наивная догадка справедлива, то после устранения одной грани для оставшейся сети будет V — Е + F = 1»; «если это следствие справедливо, то V — Е + F = 1, даже после триангуляции»; «если это последнее следствие справедливо, то V — Е + F = 1 будет справедливым, когда мы будем отнимать треугольники по одному»; «если это верно, то V — Е + F = 1 для одного-единственного треугольника»…

Теперь это последнее заключение оказалось общеизвестным, истинным. Но что произошло бы, если бы мы заключили, что для единственного треугольника V — Е + F = 0? Мы сразу же отвергли бы первоначальное предположение как ложное. Всё, что мы сделали, сводится к тому, что мы испробовали нашу догадку, а именно выводили из неё следствия. Испытание, по-видимому, подтвердило нашу догадку. Но подтверждение ещё не доказательство.

Сигма. Но тогда наше доказательство доказало даже ещё меньше, чем мы думали! Тогда нам нужно обратить процесс и попытаться построить мысленный эксперимент, который идёт в противоположном направлении: от треугольника назад к многограннику!

Бета. Это верно. Только Дзета показал, что вместо решения нашей задачи сначала путём создания наивной догадки при помощи испытаний и ошибок, затем проверки, затем обращения испытания в доказательство можно сразу же начать с реального доказательства. Если бы мы поняли возможность дедуктивного угадывания, то мы могли бы избежать всей этой псевдоиндуктивной возни!

Каппа (в сторону). Что за драматическая серия поворотов на 180°! Критически настроенный Альфа обратился в догматика, догматик Дельта в опровергателя, а теперь индуктивист Бета в дедуктивиста!

Сигма. Но подождите. Если за испытательным мысленным экспериментом…

Бета. Я назову его анализом…

Сигма … может всегда сразу последовать доказательный мысленный эксперимент…

Бета. Я назову его синтезом… ¹²⁷

Сигма … то будет ли «аналитическая теорема» необходимо тождественной с «синтетической?» Идя в противоположном направлении, мы можем пользоваться другими леммами ¹²⁸.

Бета. Если они будут другими, то синтетическая теорема должна заменить аналитическую; в конце концов анализ только испытывает, тогда как синтез доказывает.

Учитель. Ваше открытие, что наше «доказательство» фактически было испытанием, как будто шокировало класс и отвлекло его внимание от вашего главного аргумента: именно, если мы имеем догадку, уже опровергнутую контрапримером, то мы должны отложить опровержение в сторону и попытаться испробовать догадку при помощи мысленного эксперимента. Таким путём мы могли бы напасть на доказательство, оставить фазу испытаний и ошибок и пустить в ход метод доказательств и опровержений. Но ведь именно это и заставило меня сказать, что «я готов заняться «доказательством» ложного предположения» ¹²⁹. И тогда Ламбда потребовал в своём Правиле 1: «Если вы имеете какую-нибудь догадку, то попробуйте доказать её и опровергнуть её».

Дзета. Это верно. Но позвольте мне дополнить правило Ламбды и Правило 4 Омеги так:

Правило 5. Если у вас есть контрапример любого типа, попробуйте при помощи дедуктивного гадания найти более глубокую теорему, для которой уже более не будет контрапримеров.

Омега. Вы теперь расширяете моё понятие «глубины» и, может быть, вы и правы. Но как же быть с действительным применением нашего нового правила? До сих пор оно только давало нам результаты, которые мы уже знали. Легко быть мудрым после события. Ваше «дедуктивное гадание» как раз представляет синтез, соответствующий первоначальному анализу Учителя. Но теперь вы должны быть честным — вы должны использовать ваш метод для нахождения догадки, которой вы ещё не знали, с обещанным увеличением содержания.

Дзета. Правильно. Я начну с теоремы, рождённой моим мысленным экспериментом: «Все закрытые нормальные многогранники будут эйлеровыми».

Омега. Нормальные?»

Дзета. Я не желаю тратить времени на прохождение через метод доказательств и опровержений. Я просто называю «нормальными» все многогранники, которые могут быть построены, исходя из «совершенного» многоугольника, прикладывая к нему (а) первые F — 2 граней без изменения V — Е + F (это будут открытые нормальные многогранники) и (б) наконец, закрывающую грань, которая увеличивает V — Е + F на 1 (и превращает открытый многогранник в закрытый).

Омега. «Совершенный» многоугольник?

Дзета. Под «совершенным» многоугольником я подразумеваю такой, который может быть построен, исходя из одной-единственной вершины, прикладыванием к ней сначала n — 1 рёбер без изменения V — Е и, наконец, последнего закрывающего ребра, которое уменьшает V — Е на 1.

Омега. Будут ли ваши закрытые нормальные многогранники совпадать с многогранниками Коши?

Дзета. Я не желаю сейчас углубляться в это.

г) Увеличение содержания путём дедуктивного угадывания

Учитель. Достаточно предварительных замечаний. Посмотрим ваш вывод.

Дзета. Хорошо, сэр. Я беру два закрытых нормальных многогранника (рис. 20, а) и склеиваю их вместе по многоугольному обводу так, чтобы исчезли две склеивающиеся грани (рис. 20, б). Так как для двух многогранников V — Е + F = 4, то исчезновение двух граней в соединённом многограннике восстановит формулу Эйлера — ничего удивительного после доказательства Коши, так как новый многогранник может быть легко раздут в шар.

Таким образом, формула хорошо выдерживает это испытание приклеиванием. Но попробуем теперь испытать двойное приклеивание: склеим вместе два многогранника по двум многоугольным обводам (рис. 20, в). Теперь исчезнут 4 грани и для нового многогранника V — Е + F = 0.

Рисунок 20

Гамма. Это контрапример 4 Альфы, картинная рама!

Дзета. Теперь если при помощи «двойного приклеивания» я прикреплю к этой картинной раме (рис. 20, в) ещё один нормальный многогранник (рис. 21, а), то V — Е + F будет — 2 (рис. 21, б).

Сигма. Для моносфероидального многогранника V — Е + F = 2, для дисфероидального V — Е + F = 0, для трисфероидального V — Е + F = — 2, для n-сфероидального V — E + F = 2 - 2* (n–1)…

Дзета … что представляет вашу новую догадку с содержанием, бывшим ещё неизвестным, полную и с доказательством и без составления какой-нибудь таблицы ¹³⁰.

Рисунок 21

Сигма. Это действительно прекрасно. Вы не только объяснили упорную картинную раму, но вы создали ещё бесконечное множество новых контрапримеров…

Дзета. С полным объяснением.

Ро. Я как раз пришёл к тому же результату другим путём. Дзета начал с двух эйлеровых примеров и превратил их в контрапример, контролируя экспериментом. Я начинаю с контрапримера и превращаю его в пример. Я сделал следующий умственный эксперимент с картинной рамой: «Пусть многогранник будет из какого-нибудь материала, который легко режется как мягкая глина; пропустим нитку через туннель, а затем через глину. Многогранник не распадется ¹³¹ …

Но он сделается знакомым, простым сфероидальным многогранником! Это верно, мы увеличим число граней на 2, а числа и рёбер и вершин на m; но так как мы знаем, что эйлерова характеристика простого многогранника равна 2, то первоначальный должен был иметь характеристику 0. Теперь, если для того чтобы сделать многогранник простым, необходимо большее число, скажем n, таких разрезов, то его характеристика будет 2 - 2*n.

Сигма. Это интересно. Дзета уже показал нам, что мы можем не нуждаться в догадке для начала доказательства, что мы можем непосредственно произвести синтез, то есть доказательный умственный эксперимент над близким предложением, которое, как мы знаем, является верным. Теперь Ро показывает, что мы можем обойтись без догадки даже для начала испытания, но, предполагая, что результат уже имеется, мы можем заняться придумыванием анализа, то есть проверочного мысленного эксперимента ¹³².

Омега. Однако какой бы путь вы ни выбрали, все ещё остаются кучи необъяснённых многогранников. По вашей новой теореме для всех многогранников V — Е + F будет чётным числом, меньшим 2. Но мы видели также несколько многогранников с нечётными эйлеровыми характеристиками. Возьмите увенчанный куб (рис. 12) с V — E + F = 1…

Дзета. Я никогда не говорил, что моя теорема приложима ко всем многогранникам. Она применима только ко всем n-сфероидальным многогранникам, построенным согласно моей конструкции. В настоящем её состоянии она не приводит к кольцеобразным граням.

Рисунок 22

Омега. Да?

Сигма. Я знаю!

Её можно распространить и на многогранники с кольцеобразными гранями: можно построить кольцеобразный многоугольник, уничтожив ребро в рождённой доказательством подходящей системе многоугольников, не изменяя числа граней (рис. 22, а и 22, б). Я думаю, не существуют ли также «нормальные» системы многоугольников, построенные в согласии с нашим доказательством, в которых можно уничтожить даже более одного ребра, не уменьшая числа граней…

Гамма. Это правда. Посмотрите на такую «нормальную» систему многоугольников (рис. 23, а). Вы можете уничтожить два ребра, не уменьшая числа граней (рис. 23, б).

Сигма. Хорошо! Тогда вообще для n-сфероидальных, или n-связных, многогранников с l_k ребрами, которые можно уничтожить без уменьшения числа граней.

Бета. Эта формула объясняет мой увенчанный куб (рис. 12), моносфероидальный многогранник (с n=1) с одной кольцеобразной гранью: все l_k равны нулю, кроме l₁, которое будет 1, или:

Следовательно, V — E + F = 1.

Сигма. Она также объясняет ваш «иррациональный» эйлеров каприз: куб с двумя кольцеобразными гранями и туннелем (рис. 16). Это дисфероидальный многогранник (n = 2) с

Следовательно, его характеристика будет V — E + F = 2 - 2 + 2 = 2. В мире многогранников восстановлен моральный порядок ¹³³

Омега. А как для многогранников с полостями?

Сигма. Я знаю!

Для них нужно сложить эйлеровы характеристики каждой отдельной несвязанной поверхности ¹³⁴,

Бета. А тетраэдры-близнецы?

Сигма. Я знаю!

Гамма. Какой смысл всей этой точности? Остановите этот поток претенциозных тривиальностей! ¹³⁵

Альфа. А почему должен он прекратиться? Разве тетраэдры-близнецы — монстры, а не настоящие многогранники? Тетраэдр-близнец такой же хороший многогранник, как и ваш цилиндр! Но вам нравилась лингвистическая точность ¹³⁶. Почему же вы осмеиваете нашу новую точность? Мы должны добиться, чтобы теорема охватила все многогранники; делая её точной, мы увеличиваем, а не уменьшаем её содержание. В этом случае точность будет добродетелью!

Каппа. Скучные добродетели так же плохи, как и скучные пороки! Кроме того, вы никогда не достигнете полной точности. Мы должны остановиться там, где нам перестанет быть интересным идти дальше.

Альфа. Моя точка зрения иная. Мы начали с положения (1): одна вершина есть одна вершина.

Отсюда мы вывели (2): V = EE для всех совершенных многоугольников.

Отсюда мы вывели (3): V — E + F = 1 для всех нормальных открытых систем многоугольников.

Отсюда (4): V — Е + F = 2 для всех нормальных закрытых систем многоугольников, то есть для многогранников.

Отсюда, по очереди, снова (5): F — Е + F = 2 - 2 (n — 1) для нормальных n-сфероидальных многогранников.

Для нормальных n-сфероидальных многогранников с многосвязными гранями,

Для нормальных n-сфероидальных многогранников с многосвязными гранями и полостями.

Разве это не чудесное раскрытие скрытых богатств, содержавшихся в тривиальной исходной точке? И так как (1) несомненно истинно, то также будет и остальное.

Ро (в сторону). Скрытые «богатства?» Два последних пункта показывают только, как дешево можно получить обобщения ¹³⁷.

Ламбда. Вы серьёзно думаете, что (1) является единственной аксиомой, из которой вытекает всё остальное? Что дедукция увеличивает содержание?

Альфа. Конечно! Разве это не чудо дедуктивного мысленного эксперимента? Если вы уж схватили маленькую истину, то дедукция неизбежно развернёт её в дерево познания ¹³⁸. Если дедукция не увеличивает содержания, то я назвал бы её не дедукцией, но «проверкой»; проверка отличается от истинного доказательства как раз тем, что она бывает чисто аналитической и также бесплодной ¹³⁹.

Ламбда. Но, конечно, дедукция не может увеличить содержания. Если критика устанавливает, что заключение богаче предпосылок, то нам нужно усилить предпосылки, выявив скрытые леммы.

Каппа. А эти скрытые леммы содержат софистичность и погрешимость и в конце концов уничтожают миф о непогрешимой дедукции ¹⁴⁰.

Учитель. Есть ещё вопросы относительно метода Дзеты?

д) Логические контрапримеры против эвристических

Альфа. Мне нравится Правило 5 ¹⁴¹

Дзеты так же, как и Правило 4 ¹⁴² Омеги. Мне нравился метод Омеги за то, что он искал локальные, а не глобальные контрапримеры, как раз те самые, которые первоначальными тремя правилами Ламбды ¹⁴³ игнорировались как логически безобидные и, следовательно, эвристически неинтересные. Омега был ими побужден к изобретению новых мысленных экспериментов: реальный прогресс в нашем знании!

Теперь Дзета вдохновляется контрапримерами, которые одновременно являются и локальными, и глобальными — прекрасными подтверждениями с логической, но не с эвристической точки зрения; хотя они и подтверждения, но всё же призывают к действию. Дзета предлагает распространить, сделать усложнённым наш первоначальный мысленный эксперимент, превратить логические подтверждения в эвристические, логически удовлетворительные примеры в такие, которые будут удовлетворительными и с логической, и с эвристической точки зрения.

И Омега, и Дзета стоят за новые идеи, тогда как Ламбда, и особенно Гамма, заняты лишь лингвистическими трюками с их неуместными глобальными, но не локальными контрапримерами — единственными существенными с их причудливой точки зрения.

Тета. Так что же, логическая точка зрения будет «причуднической?»

Альфа. Если это ваша логическая точка зрения, то да. Но я хочу сделать ещё одно замечание. Увеличивает ли дедукция содержание или нет — заметьте, что она, конечно, это делает — она, по-видимому, наверняка гарантирует непрерывный рост знания. Мы начинаем с одной вершины и заставляем знание расти насильственно и гармонически для выяснения соотношения между числами вершин, рёбер и граней какого угодно многогранника: чистый не драматический рост без опровержений!

Тета. (Каппе). Разве Альфа потерял способность суждений? Начинают с задачи, а не с вершины ¹⁴⁴!

Альфа. Эта постепенная, но неодолимо победоносная кампания приведёт нас к теоремам, которые «не являются сами по себе очевидными, но только выведены из истинных и известных принципов при помощи постоянного и непрерывающегося действия ума, который отчётливо видит каждый шаг процесса» ¹⁴⁵. Эти теоремы никак не могут быть получены «беспристрастным» наблюдением и внезапной вспышкой интуиции.

Тета. В этой окончательной победе я всё же сомневаюсь. Такого рода рост никогда не приведёт нас к цилиндру — так как (1) начинает с вершины, а у цилиндра их нет. Также, может быть, мы никогда не достигнем односторонних многогранников или многогранников с большим числом измерений.

Это постепенное непрерывное распространение вполне может остановиться на какой-нибудь точке и вам придётся ждать нового революционного толчка. И даже такая «мирная непрерывность» полна опровержений и критики! Что заставляет нас идти от (4) к (5), от (5) к (6) и от (6) к (7), как не постоянное давление контрапримеров, являющихся и глобальными, и локальными? В качестве подлинных контрапримеров Ламбда принимал только такие, которые являются глобальными, но не локальными: они обнаруживают ложность теоремы. Правильно оценённым Альфой было нововведение Омеги — в качестве подлинных контрапримеров рассматривать и такие, которые являются локальными, но не глобальными: они обнаруживают, что теорема бедна истиной. Теперь Дзета советует нам считать подлинными и такие контрапримеры, которые являются и глобальными, и локальными: они тоже обнаруживают у теоремы бедность истиной. Например, картинные рамы для теоремы Коши будут и глобальными, и локальными контрапримерами: они, конечно, будут подтверждениями, если рассматривать одну только истину, но опровержениями, если рассматривать содержание.

Мы можем первые (глобальные, но не локальные) контрапримеры назвать логическими, а остальные — эвристическими контрапримерами. Но чем больше мы признаем опровержений — логических или эвристических — тем быстрее растёт знание.

Логические контрапримеры Альфа считает неуместными, а эвристические контрапримеры вообще отказывается называть контрапримерами и все по причине его одержимости идеей, что рост математического знания непрерывен и критика не играет никакой роли.

Альфа Понятие об опровержении и понятие о критике вы искусственно распространяете только для того, чтобы оправдать вашу критическую теорию роста знания. Разве лингвистические хитрости могут быть орудиями философов?

Пи. Я думаю, что обсуждение образования понятий поможет нам выяснить исход спора.

Гамма. Мы все навострили уши.