Учитель. На нашем последнем уроке мы пришли к догадке относительно многогранников, а именно: что для всех многогранников V — Е + F = 2, где V — число вершин, Е — число рёбер и F — число граней. Мы испытали её различными способами. Но мы пока ещё не доказали её. Может быть, кто-нибудь нашёл доказательство?
Ученик Сигма. Я со своей стороны должен сознаться, что пока ещё не придумал строгого доказательства этой теоремы… Однако истинность её была установлена в очень многих случаях, и не может быть сомнения, что она справедлива для любого тела. Таким образом, это предложение, по-видимому, доказано вполне удовлетворительно 13.
Но если у вас есть доказательство, то, пожалуйста, дайте его.
Учитель. Действительно, я его имею. Оно состоит в следующем мысленном эксперименте.
Первый шаг. Вообразим, что многогранник будет полым с поверхностью из резины. Если мы вырежем одну из его граней, то всю остальную поверхность мы можем, не разрезая, растянуть на плоской доске. Грани и ребра будут деформироваться, ребра могут стать криволинейными, но V, Е и F не изменятся, так что если и только если V — Е + F = 2 для первоначального многогранника, то V — Е + F — 1 для этой плоской сети — вспомните, что мы одну грань удалили. (На рис. 1 показана такая сеть для куба.)
Второй шаг. Теперь мы стриангулируем нашу карту — она действительно выглядит как географическая карта. Проведем (может быть, криволинейные) диагонали в тех (может быть, криволинейных) многоугольниках, которые ещё не являются (может быть, криволинейными) треугольниками. Проведя каждую диагональ, мы увеличиваем и E и F на единицу, так что сумма V — Е + F не изменится (рис. 2).
Рисунок 3
Третий шаг. Теперь будем вынимать из триангулированной сети треугольники один за другим. Вынимая треугольник, мы или вынимаем ребро, причём исчезают одна грань и одно ребро (рис. 3, а), или вынимаем два ребра и вершину; тогда исчезают одна грань, два ребра и одна вершина (рис. 3, б). Таким образом, если V — Е + F = 1 до выемки треугольника, то оно останется таким же и после выемки. В конце этой процедуры мы получаем один треугольник.
Для него V — Е + F = 1 является справедливым. Таким образом, мы доказали нашу догадку 14.
Ученик Дельта. Вы должны назвать это теперь теоремой.
Теперь здесь уже нет ничего из области догадок 15.
Ученик Альфа. Не знаю. Я вижу, что этот эксперимент можно выполнить с кубом или с тетраэдром, но как я могу знать, что его можно произвести с любым многогранником. Кстати, уверены ли вы, сэр, что всякий многогранник после устранения одной грани может быть развернут плоско на доске?
У меня есть сомнения относительно вашего первого шага.
Ученик Бета. Уверены ли вы, что при триангулировании карты вы всегда получите новую грань для любого нового ребра? У меня есть сомнения относительно вашего второго шага.
Ученик Гамма. Уверены ли вы, что когда вы будете откидывать треугольники один за другим, то получатся только две альтернативы — исчезновение одного ребра или же двух рёбер и одной вершины? Уверены ли вы также, что в конце процесса останетесь только с одним треугольником? У меня есть сомнения относительно вашего третьего шага 16.
Учитель. Конечно, я не уверен.
Альфа. Но ведь это ещё хуже, чем раньше. Вместо одной догадки, мы теперь имеем по меньшей мере три! И вы называете это «доказательством!»
Учитель. Я допускаю, что традиционное название «доказательство» для этого мысленного эксперимента, пожалуй, не совсем подходит. Я не думаю, что этот эксперимент устанавливает истинность догадки.
Дельта. Ну а что же он тогда делает? Что же, по-вашему, доказывает математическое доказательство?
Учитель. Это тонкий вопрос, на который мы попытаемся ответить позже. До тех пор я предлагаю сохранить освящённый временем технический термин «доказательство» для мысленного эксперимента, или квазиэксперимента, который предлагает разложение первоначальной догадки на вспомогательные догадки или леммы, таким образом впутывая ее, может быть, в совершенно далёкую область знания. Например, наше «доказательство» в первоначальную догадку — о кристаллах, или, скажем, о твёрдых телах — включило теорию резиновых листов. Декарт или Эйлер, отцы первоначальной догадки, наверняка ни о чём подобном не думали 17.
Примечания:
Список примечаний представлен на отдельной странице, в конце издания.
