Имре Лакатос:
Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы

Введение

В истории мысли часто случается, что при появлении нового мощного метода быстро выдвигается на авансцену изучение задач, которые этим методом могут быть решены, в то время как всё остальное игнорируется, даже забывается, а изучением его пренебрегают.

Именно это как будто произошло в нашем столетии в области философии математики в результате стремительного развития метаматематики.

Предмет метаматематики состоит в такой абстракции математики, когда математические теории заменяются формальными системами, доказательства — некоторыми последовательностями хорошо известных формул, определения — «сокращёнными выражениями», которые «теоретически необязательны, но зато типографически удобны»  ¹.

Такая абстракция была придумана Гилбертом, чтобы получить мощную технику исследования задач методологии математики. Вместе с тем имеются задачи, которые выпадают из рамок метаматематической абстракции. В их числе находятся все задачи, относящиеся к «содержательной» математике и её развитию, и все задачи, касающиеся ситуационной логики и решения математических задач.

Школу математической философии, которая стремится отождествить математику с её метаматематической абстракцией (а философию математики — с метаматематикой), я буду называть «формалистской» школой. Одна из самых отчётливых характеристик формалистской позиции находится у Карнапа (1937) ². Карнап требует, чтобы (а) философия была заменена логикой науки…, но (в) «логика науки представляет не что иное, как логический синтаксис языка науки»…, (с) «метаматематика же является синтаксисом математического языка» (стр. XIII и 9). Итак, философию математики следует заменить метаматематикой.

Формализм отделяет историю математики от философии математики, так как согласно формалистскому пониманию математики, собственно говоря, истории математики не существует. Любой формалист целиком будет согласен с замечанием Рассела, высказанным «романтически», но сделанным вполне серьёзно, что «Законы мысли» Буля (Boole, 1854) были «первой книгой, когда-либо написанной по математике» ³.

Формализм отрицает статус математики для большей части того, что обычно понималось как входящее в математику, и ничего не может сказать об её «развитии». Ни один из «творческих» периодов и вряд ли один из «критических» периодов математических теорий может быть допущен в формалистическое небо, где математические теории пребывают как серафимы, очищенные от всех пятен земной недостоверности. Однако формалисты обычно оставляют открытым небольшой чёрный ход для падших ангелов; если для каких-нибудь «смесей математики и чего-то другого» окажется возможным построить формальные системы, «которые в некотором смысле включают их», то они могут быть тогда допущены. При таких условиях Ньютону пришлось прождать четыре века, пока Пеано, Рассел и Куайн (Quine) помогли ему влезть на небо, формализовав его исчисление бесконечно малых. Дирак оказался более счастливым: Шварц спас его душу ещё при его жизни. Может быть, мы должны упомянуть здесь парадоксальное затруднение метаматематика: по формалистским или даже по дедуктивистским стандартам он не является честным математиком. Дьёдонне говорит об «абсолютной необходимости для каждого математика, который заботится об интеллектуальной честности (выделение моё. — Прим. авт.), представлять свои рассуждения в аксиоматической форме» (1939, с. 225).

При современном господстве формализма невольно впадаешь в искушение перефразировать Канта: история математики, лишившись руководства философии, сделалась слепой, тогда как философия математики, повернувшись спиной к наиболее интригующим событиям истории математики, сделалась пустой.

«Формализм» представляет крепость логической позитивистской философии.

Если следовать логическому позитивизму, то утверждение имеет смысл только, если оно является «тавтологическим» или эмпирическим. Так как содержательная математика не является ни «тавтологической», ни эмпирической, то она должна быть бессмысленной, она — чистый вздор ⁴.

Догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики.

Целью этих статей является подход к некоторым проблемам методологии математики. Я употребляю слово «методология» в смысле, близком к «эвристике» ⁵ Пойа и Бернайса и к «логике открытия» или «ситуационной логике» Поппера ⁶.

Недавняя экспроприация термина «методология математики» для использования в качестве синонима «метаматематики» имеет несомненно формалистский привкус. Это показывает, что в формалистской философии математики нет настоящего места для методологии как логики открытия ⁷.

Если верить формалистам, то математика будет тождественна формализованной математике. Но что можно открыть в формализованной теории? Два ряда вещей.

Во-первых, можно открыть решение задач, которые машина Тюринга при подходящей программе может решить за конечное время (как, например, будет ли некоторое предложенное доказательство действительно доказательством или нет?). Ни один математик не заинтересован в том, чтобы следить за этим скучным механическим «методом», предписываемым процедурами такого решения.

Во-вторых, можно найти решения задач вроде: будет ли теоремой или нет некоторая формула теории, в которой не установлена возможность окончательного решения, где можно руководствоваться только «методом» неуправляемой интуиции и удачи.

Так вот, для живой математики непригодна эта мрачная альтернатива машинного рационализма и иррационального отгадывания вслепую ⁸.

Исследование неформальной математики даёт творческим математикам богатую ситуационную логику, которая не будет ни механической, ни иррациональной, но которая никак не может получить признания, тем более поощрения формалистской философии.

История математики и логика математического открытия, то есть филогенез и онтогенез ⁹ математической мысли, не могут быть развиты без критицизма и окончательного отказа от формализма.

Но формалистская философия математики имеет очень глубокие корни. Она представляет последнее звено в длинной цепи догматистских философий математики. Ведь уже более двух тысяч лет идёт спор между догматиками и скептиками.

Догматики утверждают, что силой нашего человеческого интеллекта и чувств, или только одних чувств, мы можем достичь истины и узнать, что мы её достигли.

Скептики, с другой стороны, или утверждают, что мы совершенно не можем достичь истины (разве только при помощи мистического эксперимента), или что если даже сможем достичь её, то не можем знать, что мы её достигли. В этом большом споре, в котором время от времени аргументы осовременивались, математика была гордой крепостью догматизма. Всякий раз, когда математический догматизм попадал в «кризис», какая-нибудь новая версия снова придавала ему подлинную строгость и настоящие основы, восстанавливая образ авторитарной, непогрешимой, неопровержимой математики — «единственной науки, которую Бог захотел дать человечеству» (Гоббс, 1651). Большая часть скептиков примирилась с неприступностью этой крепости догматистской теории познания ¹⁰.

Бросить этому вызов — давно уже стало необходимым.

Цель этого этюда и есть этот вызов математическому формализму, но это не прямой вызов основным положениям математического догматизма. Наша скромная цель состоит в установлении положения, что неформальная квазиэмпирическая математика не развивается как монотонное возрастание количества несомненно доказанных теорем, но только через непрерывное улучшение догадок при помощи размышления и критики, при помощи логики доказательств и опровержений.

Поскольку, однако, метаматематика представляет парадигму неформальной квазиэмпирической математики и в настоящее время находится в быстром росте, то эта статья тем самым бросает вызов современному математическому догматизму.

Исследователь недавней истории метаматематики найдёт на его собственном поле описанные здесь образцы.

Диалогическая форма должна отразить диалектику рассказа; она должна содержать своего рода рационально реконструированную или «дистиллированную» историю. Реальная история будет звучать в подстрочных примечаниях, большая часть которых поэтому должна быть рассматриваема как органическая часть статьи.

Имре Лакатос.