Имре Лакатос:
Доказательства и опровержения.
Глава 6. Возвращение к критике доказательства при помощи контрапримеров, которые являются локальными, но не глобальными. Проблема содержания

а) Возрастание содержания при более глубоких доказательствах

Омега. Мне нравится у Ламбды его метод доказательства и опровержений и я разделяю его веру, что как-нибудь мы сможем окончательно дойти до строгого анализа доказательства и таким образом до достоверно истинной теоремы. Но даже и так сам наш метод создаёт новую задачу: анализ доказательства при возрастании достоверности уменьшает содержание. Каждая новая лемма в анализе доказательства, каждое соответствующее. новое условие в теореме уменьшают область её применения. Возрастающая строгость применяется к уменьшающемуся числу многогранников. Разве включение лемм не повторяет ошибки, которую сделал Бета в игре на безопасность? Разве мы тоже не смогли бы «отступить слишком радикально, оставляя вне стен большое количество эйлеровых многогранников?» ⁹⁴ В обоих случаях мы могли бы вместе с водой выплеснуть и: ребёнка. Мы должны иметь противовес против уменьшающего содержание давления строгости.

Мы уже сделали несколько шагов в этом направлении. Позвольте мне напомнить вам о двух случаях и снова исследовать их.

Один случай мы имели, когда впервые натолкнулись на локальные, но не глобальные примеры ⁹⁵.

Гамма опроверг третью лемму в нашем первом анализе доказательства (именно, что «при вынимании треугольников из плоской триангулированной сети мы встречаемся только с двумя возможностями: или мы вынимаем одно ребро, или же мы вынимаем два ребра и вершину»). Он вынул треугольник из середины сети, не вынимая ни одного ребра или вершины.

Мы имели тогда две возможности ⁹⁶.

Первая состояла во включении ложной леммы в теорему. Это было бы совершенно правильной процедурой по отношению к достоверности, но так нехорошо уменьшило область применения нашей теоремы, что её можно было бы применить только к тетраэдру. Вместе с контрапримерами мы выбросили бы и все наши примеры, кроме одного.

Поэтому мы разумно приняли вторую возможность: вместо сужения области теоремы вследствие включения леммы мы расширили её, заменив лемму, сделанную ложной, другой, не являющейся таковой. Но этот существенный образец формирования теоремы был скоро забыт, и Ламбда не позаботился о том, чтобы сформулировать его в качестве эвристического правила. Оно было бы таким:

Правило 4. Если вы имеете контрапример, являющийся локальным, но не глобальным, попробуйте исправить ваш анализ доказательства, заменив отвергнутую лемму неопровергнутой другой.

Контрапримеры первого типа (локальные, но не глобальные) могут представить нам возможность увеличивать содержание нашей теоремы, которое постоянно сокращается под давлением контрапримеров третьего типа (глобальных, но не локальных).

Гамма. Правило 4 снова выявляет слабость предложенной Альфой и теперь устранённой «анализирующей доказательства зрелой интуиции» ⁹⁷.

Он составил бы список подозрительных лемм, непосредственно включил их и затем — не беспокоясь о контрапримерах — формулировал бы почти пустые теоремы.

Учитель. Омега, послушаем обещанный вами второй пример.

Омега. У Беты в анализе доказательства вторая лемма состояла в том, что все грани треугольны ⁹⁸.

Это может быть опровергнуто известным числом локальных, но не глобальных контрапримеров, например при помощи куба или додекаэдра. Поэтому вы, сэр, заменили её леммой, которая нами не опровергается, а именно, что «любая грань, рассеченная диагональным ребром, распадается на два куска». Но вместо того чтобы призвать Правило 4, вы порицали Бету за «невнимательный анализ доказательства». Вы согласитесь, что Правило 4 будет лучшим советом, чем просто «будьте внимательнее».

Бета. Вы правы, Омега, и вы также заставляете меня лучше понимать «метод лучшего сорта устранителей исключений» ⁹⁹.

Они начинают с осторожного, «безопасного» анализа доказательства и, систематически применяя Правило 4, постепенно строят теорему, не высказывая никаких ложных положений. В конце концов только от темперамента зависит, приближаться ли к истине сверху при помощи всегда неверных чрезмерных утверждений или же снизу при помощи всегда верных недостаточных утверждений.

Омега. Возможно, что это правильно. Но Правило 4 можно толковать двумя способами. До сих пор мы рассматривали только первую более слабую интерпретацию: «можно легко обработать, улучшить доказательство, заменив неверную лемму слегка изменённой, которую контрапример не может отвергнуть ¹⁰⁰; для этого нужно только «более внимательное» рассмотрение доказательства и «небольшое замечание» ¹⁰¹.

При этой интерпретации Правило 4 будет просто заплаткой в рамках первоначального доказательства.

В качестве альтернативы я допускаю радикальную интерпретацию: заменить лемму — или, может быть, все леммы — не только пытаясь выжать последнюю каплю содержания из данного доказательства, но, может быть, изобретая совершенно другое, более охватывающее, более глубокое доказательство.

Учитель. Например?

Омега. Я обсуждал ранее догадку Декарта — Эйлера с одним другом, который сразу же предложил следующее доказательство: вообразим, что многогранник полый и имеет поверхность, сделанную из какого-нибудь твёрдого материала, например картона.

Ребра должны быть отчётливо раскрашены с внутренней стороны; хорошо осветим внутренность, и пусть одна из граней будет линзой обыкновенной камеры — та самая грань, из которой я могу снять фотографию, показывающую все ребра и вершины.

Сигма (в сторону). Камера в математическом доказательстве?

Омега. Таким образом, я получаю изображение плоской сети, с которой можно проделать то же самое, что и с плоской сетью вашего доказательства. Таким же образом я могу показать, что для односвязных граней V — Е + F = 1 и после добавления невидимой грани-линзы на фотографии я получаю формулу Эйлера. Основная лемма заключается в том, что у многогранника имеется такая грань, которая, будучи преобразована в линзу камеры, так фотографирует внутренность многогранника, что на пленке будут все ребра и вершины. Теперь я ввожу следующее сокращение: вместо «многогранника, имеющего одну грань, с которой можно сфотографировать всю внутренность», я буду говорить «квазивыпуклый многогранник».

Бета. Таким образом, ваша теорема будет: «Все квазивыпуклые многогранники с односвязными гранями являются эйлеровыми».

Омега. Для краткости и признания заслуги изобретателя этого частного доказательства я бы сказал: «Все многогранники Жергонна будут эйлеровыми» ¹⁰².

Гамма. Но имеется множество простых многогранников, которые, будучи вполне эйлеровыми, имеют такие скверные выступы внутри, что у них нет грани, с которой можно было бы сфотографировать всю внутренность. Доказательство Жергонна не будет более глубоким, чем у Коши, — наоборот, доказательство Коши глубже жергоннова!

Омега. Конечно!

Я полагаю, что Учитель знал о доказательстве Жергонна, обнаружил его неудовлетворительность при помощи какого-нибудь локального, но не глобального контрапримера, и заменил оптическую лемму — фотографирование — более общей топологической леммой — растягиванием. При этом он пришёл к более глубокому доказательству Коши не путём «тщательного анализа доказательства», сопровождавшегося небольшим изменением, но в результате радикального нововведения, полученного воображением.

Учитель. Я принимаю ваш пример, но доказательства Жергонна я не знал. Но если вы знали, почему же нам о нём не сказали?

Омега. Потому что я непосредственно отверг его при помощи нежергонновых многогранников, которые были эйлеровыми.

Гамма. Как я только что сказал, я тоже нашёл такие многогранники. Но будет ли это доводом для совершенного уничтожения этого доказательства?

Омега. Думаю, что да.

Учитель. А вы не слышали о доказательстве Лежандра? Вы и его захотите уничтожить?

Омега. Я, конечно, уничтожил бы. Оно ещё менее удовлетворительно; его содержание ещё беднее, чем доказательство Жергонна. Его мысленный эксперимент начинался с картографирования многогранника при помощи центральной проекции на сферу, содержавшую этот многогранник. Радиус сферы он выбирал равным 1. Он выбрал центр проекции так, чтобы сфера была полностью один и только один раз покрыта сетью сферических многоугольников. Таким образом, первой его леммой было, что такая точка существует. Второй его леммой было, что для сети на сфере, полученной из многогранника, будет V — Е + F = 2; это он нашёл при помощи тривиально истинных лемм сферической тригонометрии. Точка, из которой возможна такая центральная проекция, существует только для выпуклых и немногих приличных, «почти выпуклых» многогранников — класс ещё более узкий, чем «квазивыпуклых» многогранников. Но теорема — «Все многогранники Лежандра являются эйлеровыми» ¹⁰³ — полностью отличается от теоремы Коши, но только к худшему. Она, «к несчастью, неполна» ¹⁰⁴.

Она представляет «пустое усилие, предполагающее условия, от которых теорема Эйлера совершенно не зависит. Она должна быть уничтожена и нужно поискать более общих принципов» ¹⁰⁵.

Бета. Омега прав. «Выпуклость в известной степени для эйлеровости является акцидентальной.

Выпуклый многогранник может быть, например, при помощи выступа или вталкивания во внутрь одной или нескольких вершин, преобразован в невыпуклый многогранник с теми же самыми конфигурационными числами. Соотношение Эйлера соответствует чему-то более фундаментальному, чем выпуклость» ¹⁰⁶.

И вы никогда не поймаете это вашими «почти» или «квази» пустяками.

Омега. Я думал, что учитель нашёл это в топологических принципах доказательства Коши, в котором все леммы Лежандрова доказательства заменены совершенно новыми. Но тогда я натолкнулся на многогранник, отвергший даже это доказательство, которое наверняка является самым глубоким из всех до него.

Учитель. Послушаем.

Омега. Вы все помните «морского ежа» Гаммы (рис. 7). Он, конечно, не был эйлеровым. Но не все звездчатые многогранники будут неэйлеровыми. Возьмите, например, «большой звездчатый додекаэдр» (рис. 15). Он состоит из пентаграмм, но только иначе расположенных. Он имеет 12 граней, 30 рёбер и 20 вершин, так что V — Е + F = 2 ¹⁰⁷.

Учитель. Значит, вы отбрасываете наше доказательство?

Омега. Да.

Удовлетворительное доказательство должно объяснить также и эйлеровость «большого звездчатого додекаэдра».

Ро. А почему не допустить, что «большой звездчатый додекаэдр» состоит из треугольников? Ваши затруднения мнимы.

Дельта. Я соглашаюсь. Но они будут мнимыми по другой причине. Я теперь занялся звездчатыми многогранниками; они так увлекательны. Но я боюсь, что они существенно отличаются от обычных многогранников; поэтому возможно, что нельзя придумать доказательство, которое одной единственной идеей объяснило бы эйлеров характер, скажем, куба и также «большого звездчатого додекаэдра».

Омега. Почему же нет? У вас нет воображения. Стали бы вы настаивать после доказательства Жергонна и до Коши, что выпуклые и вогнутые многогранники будут существенно различными? Поэтому возможно, что нельзя придумать доказательства, которое одной единственной идеей объяснило бы Эйлеров характер выпуклых и вогнутых многогранников. Позвольте мне привести место из «Диалогов» Галилея.

«Сагредо. Как вы видите, все планеты и спутники — назовём всех их «планетами» — движутся по эллипсам.

Сальвиати. Я боюсь, что существуют планеты, движущиеся по параболам. Посмотрите на этот камень. Я бросаю его; он движется по параболе.

Симпличио. Но этот камень не планета! Это два совершенно различных явления!

Сальвиати. Конечно, этот камень будет планетой, только брошенной менее могущественной рукой, чем та, которая бросила Луну.

Симпличио. Глупости! Как вы можете соединять вместе небесные и земные явления? Одно не имеет ничего общего с другим! Конечно, оба явления могут быть объяснены доказательствами, но я, конечно, ожидаю, что оба объяснения будут совершенно различными! Я не могу вообразить доказательства, которое при помощи одной единственной идеи объяснило движение планеты в небе и ядра на Земле!

Сальвиати. Вы не можете вообразить его, а я могу придумать его» ¹⁰⁸.

Учитель. Бросим ядра и планеты. Омега, удалось ли вам найти доказательство, которое охватило бы вместе обычные эйлеровы многогранники и эйлеровы звездчатые многогранники?

Омега. Я не нашёл. Но я его найду ¹⁰⁹.

Ламбда. Скажите, в чём же дело с доказательством Коши? Вы должны объяснить, почему отвергаете одно доказательство за другим.

б) Стремление к окончательным доказательствам и соответствующим необходимым и достаточным условиям

Омега. Вы критиковали анализы доказательства за крушение обратной передачи ложности при помощи контрапримеров третьего типа. Теперь я критикую их за крушение передачи ложности (или, что то же самое, обратной передачи истины) при помощи контрапримеров второго типа. Доказательство должно объяснить явление эйлеровостн в полном его объёме.

Мои поиски имеют целью не только верность, но также и окончательность.

Теорема должна быть верной — не должно быть никаких контрапримеров внутри её области; но она также должна быть окончательной; не должно быть никаких контрапримеров вне её области. Я хочу провести граничную линию между примерами и контрапримерами, а совсем не между, с одной стороны, безопасной областью с небольшим числом примеров, а, с другой стороны, с мешком, содержащим смесь примеров и контрапримеров.

Ламбда. Итак, вы хотите, чтобы условия теоремы были не только достаточными, но также и необходимыми!

Каппа. Вообразим в целях доказательства, что вы нашли такую магистральную теорему. «Все магистральные многогранники будут эйлеровыми». Понимаете ли вы, что эта теорема будет «окончательной» только в том случае, если будет верной обратная теорема: «Все эйлеровы многогранники будут магистральными многогранниками?»

Омега. Конечно.

Каппа. Значит ли это, что если в порочной бесконечности потеряется верность, то будет потеряна также и окончательность? Вы должны находить по крайней мере по одному эйлерову многограннику вне области каждого из ваших все более глубоких доказательств.

Омега. Конечно, я знаю, что не могу решить проблему окончательности, не решив проблемы верности. Я уверен, что мы решим обе. Мы остановим бесконечный поток контрапримеров как первого, так и третьего типа.

Учитель. Ваши поиски увеличивающегося содержания очень важны. Но почему не признать ваш второй критерий удовлетворительности — окончательность — лишь желательным, но не обязательным? Почему отвергать интересные доказательства, не содержащие сразу достаточных и необходимых условий? Почему рассматривать их как опровергнутые?

Омега. Ну… ¹¹⁰

Ламбда. Во всяком случае Омега вполне убедил меня, что единственное доказательство может быть недостаточным для критического улучшения наивной догадки. Наш метод должен заключать радикальную формулировку Правила 4, и тогда он должен быть назван методом «доказательств и опровержений» вместо «доказательства и опровержений».

Мю. Извините моё вмешательство. Результаты вашей дискуссии я как раз перевёл в квазитопологические термины. Метод включения лемм дал сужающуюся последовательность найденных областей постепенно исправляемых теорем: в процессе появления скрытых лемм эти области сокращались под непрерывной атакой глобальных контрапримеров и стремились к некоторому пределу; назовём этот предел «областью анализа доказательств». Если мы применяем более слабую формулировку Правила 4, то эта область может быть расширена под продолжающимся давлением локальных контрапримеров. Эта расширяющаяся последовательность будет тоже иметь предел; я назову его «областью доказательства».

Дискуссия показала, что даже и эта область может быть очень узкой (возможно, даже пустой). Нам придётся придумывать более глубокие доказательства, области которых составят расширяющуюся последовательность, включающую всё более и более упорствующие эйлеровы многогранники, бывшие локальными контрапримерами для предшествующих доказательств. Эти области, являющиеся и сами предельными областями, будут сходиться к двойному пределу — «области наивной догадки», — которая является целью исследования.

Топология этого эвристического пространства является проблемой математической философии: если последовательности бесконечны, то будут ли они вообще сходиться, стремиться к пределу, может ли предел быть пустым множеством?

Эпсилон. Я нашёл более глубокое доказательство, чем у Коши, которое объясняет также эйлеровость «большого звездчатого додекаэдра!» (Передает записку Учителю.)

Омега. Окончательное доказательство! Теперь будет раскрыта истинная сущность эйлеровсти!

Учитель. Я очень жалею, но время истекает: мы обсудим крайне утончённое доказательство Эпсилона как-нибудь в другое время ¹¹¹.

Всё, что я вижу, сводится к тому, что оно не будет окончательным в смысле Омеги. Не правда ли, Бета?

в) Различные доказательства дают различные теоремы

Бета. Наиболее интересная вещь, которую я уяснил из этой дискуссии, заключается в том, что различные доказательства той же самой наивной догадки приводят к различным теоремам. Единственная догадка Декарта — Эйлера исправляется каждым доказательством в отдельную теорему. Наше первоначальное доказательство дало: «Все многогранники Коши суть эйлеровы». Теперь мы узнали кое-что о двух совершенно различных теоремах: «Все многогранники Жергонна суть эйлеровы» и «Все многогранники Лежандра суть эйлеровы». Три доказательства и три теоремы с одним общим предком ¹¹².

Обычное выражение «различные доказательства теоремы Эйлера» будет тогда не совсем правильным, так как оно скрывает жизненную роль доказательства в образовании теорем ¹¹³.

Пи. Разница между различными доказательствами лежит гораздо глубже. Только наивная догадка относится к многогранникам. Теоремы касаются соответственно объектов Коши, жергонновых и лежандровых, — но никоим образом не многогранников.

Бета. Вы пытаетесь шутить?

Пи. Нет, я объясню мою точку зрения. Но я сделаю это в более широком контексте — я хочу обсудить вообще формирование понятий.

Дзета. Лучше бы сначала обсудить содержание. Я нахожу Правило 4 Омеги очень слабым — даже в его радикальной формулировке ¹¹⁴.

Учитель. Правильно. Давайте послушаем сначала о том, как Дзета подходит к проблеме содержания, а затем откроем наши дебаты дискуссией об образовании понятий.