4.1. «Начала» Евклида — образец античной математикиИзвестно, что «Начала» Евклида представляют собой ряд «предложений» (теорем) и их доказательств, объединённых в несколько книг по предметному содержанию. Все предложения связаны друг с другом благодаря тому, что доказательства одних предложений опираются на другие, предыдущие. При этом характер объединения знаний предложений в систему «Начал» детерминируется строением фигур и деятельностью с ними (отдельные знания получаются в результате преобразования фигур и сведения одних фигур к другим). Рассмотрим один пример — доказательство 20-го предложения первой книги «Начал» («Во всяком треугольнике две стороны, взятые вместе при всяком их выборе, больше, чем третья сторона» 201). Перед этим доказательством находятся 5 постулатов, 9 аксиом и 19 доказанных предложений. Ссылки указывают, что доказательство 20-го предложения опирается на предложения 19-е и пятое, а также восьмую аксиому:
Проведённый нами (В. М. Розин, Л. С. Москаева) анализ этого доказательства 202 позволяет сделать два вывода:
В отличие от геометрических чертежей, используемых в земледелии и технике, фигуры в «Началах» представляют собой идеальные объекты, а геометрические знания типа «если… то»… («Если треугольник равнобедренный, то углы у его основания равны») — теоретические знания, отнесённые к этим объектам. В системе «Начал» просматривается и онтология: разные виды фигур, их конструктивные элементы, геометрические отношения — треугольники, прямоугольники, круги и так далее, точки, стороны, отрезки, плоскости, отношения равенства, неравенства, подобия, параллельности и так далее. Как же формировались «Начала» Евклида? Исходные в генетическом отношении элементы геометрии (планы полей, алгоритмы вычисления их площадей, соотношения площадей и элементов) возникли ещё в Древнем Египте и Вавилоне на стыке двух операций — восстановления границ полей, смываемых разливами рек, и сравнения полей по величине. Чтобы восстановить конфигурацию поля (правильное по величине соотношение элементов поля) и указать положение поля среди других полей (а это необходимое условие восстановления системы прилегающих друг к другу полей), вавилонские и египетские математики использовали планы полей — рисунки полей, на сторонах которых проставлялись числа, фиксирующие длины сторон поля 203. Таким образом, в целом поля восстанавливались с помощью знаков двух типов (чисел и рисунков), связанных между собой. Если первоначально планы полей использовались только для восстановления полей, то в дальнейшем, как показывает генетический анализ, с их помощью стали изображать различные операции с полями (соединение или разделение полей, передел полей и тому подобное). В связи с этим планы полей превращаются в знаковые модели (онтологические схемы), с помощью которых получают одновременно две группы знаний: знания о величине элементов поля и знания о типе (форме) поля и его конфигурации. Числа, представленные на планах полей, использовались не только для восстановления полей, но и для определения их величины (площади). В ходе восстановления полей решались как прямые, так и обратные задачи (прямые — по элементам найти площадь поля, разделить площадь поля на две, три и так далее части; обратные — дана площадь и один из элементов, найти неизвестные элементы; дана сумма и разность двух полей, найти величину каждого поля, и тому подобное), что приводило к формированию особых идеализированных объектов. В отличие от модели (чертежа с числами) идеализированный объект — это серия прямых и обратных операций практики, отнесённых уже не к самому объекту практики, а по материалу — к модели. Позднее на этом этапе практикуется сведение одних идеализированных объектов к другим (конструирование из более простых более сложных, разложение сложных на простые, составление из простых групп операций более сложных). Таким путём формируются таблицы пифагорейских троек и решения задач «алгебраического» типа (смотри приведённую выше реконструкцию). Необходимым условием решения всех перечисленных задач было осуществление процедур с планами полей и числами, сравнение планов или чисел, вычленение в сложном плане более простых, составление из отдельных планов нового, сложного, установление отношений между различными элементами полей или величинами их площадей (например, деля одно число на другое, определяли, что одно поле в два раза больше другого). Выше я отмечал, что рассмотренная здесь практика вычисления площадей полей и расчёта их элементов, сложившаяся в древнеегипетском и шумеро-вавилонском хозяйстве, может считаться предпосылкой становления греческой геометрии. Анализ эмпирического материала и теоретические соображения позволяют наметить три возможных пути и способа формирования системы геометрических знаний:
В качестве первого можно указать познавательно-коммуникационный фактор — необходимость объяснять, как получены новые геометрические знания, а также доказательства их истинности, то есть отнесённость к началам (идеям, сущностям). Познавательно-коммуникационный фактор. Некоторые данные дают основание для предположения, что первоначально в греческой математике геометрические положения не доказывались (в смысле требований геометрии Евклида), а пояснялись (объяснялись в целях обучения или профессионального общения). Первые геометры, судя по скудным историческим данным, для получения геометрического знания строили чертежи и затем сводили (преобразовывали) полученную фигуру к фигурам с уже известными отношениями. При этом демонстрировались как сама фигура (позднее и способ её построения), так и способ её сведения к другой фигуре. Естественно думать, что если получалось не одно геометрическое знание, а несколько (двадцать, тридцать и более), то геометрические знания самой процедурой получения организовывались в длинные разветвлённые цепи, занимая в такой цепи определённое «место»: геометрическое знание А получалось на основе знания Б и В, геометрические знания Б и В — на основе знаний Г, Д, эти знания — на основе ещё одной группы знаний и так далее, до тех пор пока не оставались самые «первые» знания, которые не получались, а считались известными, познанными. В дальнейшем, вероятно, в целях обучения и облегчения профессионального общения способы получения новых знаний осознаются и описываются с помощью языка, включающего геометрические знания, термины геометрических фигур, описание процедур их построения и преобразования, описание исходных данных и требований к продукту. Кроме того, в связи с трудностями понимания длинные описания и процессы получения и объяснения знаний должны были разбиваться на отдельные части. «Длина» каждой части, вероятно, бралась такой, чтобы описание было простым и ясным. В результате описания включали в себя: части, фиксирующие способ получения и объяснения всех предыдущих знаний в цепи, и новые части. Чтобы не повторяться, греческие математики стали в последующих описаниях опускать все части из предыдущих описаний, отсылая к ним (так начинает складываться система ссылок одних предложений на другие). Все опущенные части геометрических преобразований и описаний заменяются знаниями, фиксирующими ситуации (условия) сведения и результаты, полученные в процессе сведения. Именно таким путём, вероятно, формировались знания типа «если… то…», которые мы находим в «Началах» («Если углы вертикальные, то они равны», «Если у треугольников равны три соответствующие стороны, то они равны»). В первой части этих знаний фиксируются ситуации сведения, а во второй — полученный в ходе сведения результат. В конце концов, изменяется и сама процедура (способ) сведения: фигуры, помимо непосредственных преобразований, начинают сводиться друг к другу с помощью знаний типа «если… то…», для чего в фигурах выделяются содержания, фиксируемые в знания этого типа. В свою очередь, для выделения таких содержаний приходится дополнительно преобразовывать одни фигуры в другие. Таким образом, складывается новая процедура (способ) получения геометрических знаний, опирающаяся на преобразование фигур и применение знаний типа «если… то…». При этом преобразования фигур создают условия для применения определённых знаний типа «если… то…», а применение таких знаний, в свою очередь, позволяет осуществить новые преобразования фигур. Параллельно усложняется и способ демонстрации фигур и их преобразований. Требование истинности геометрических знаний, которое постепенно укореняется в сознании геометров, заставляет, во-первых, обосновывать существование фигур, имеющих определённые свойства, во-вторых, производить только те процедуры, которые вели к истине. При этом считалось, что к истине ведут такие действия, при которых новые фигуры сводятся к уже познанным, а те — к началам. Так начинают формироваться «доказательства» геометрических положений и выделяются исходные, уже познанные каким-нибудь способом геометрические знания («начала» рассуждений). Второй фактор, способствующий систематизации геометрических знаний, — образование не только «прямых» процедур (доказательства теорем), но и «обратных» (решения «проблем»; в современной геометрии решению проблем соответствуют задачи на построение). Этот фактор условно можно назвать оперативно-познавательным. Оперативно-познавательный фактор. Если в доказательстве по заданному объекту (фигуре или элементу фигуры) необходимо получить определённое знание, выражающее свойства данного объекта, то при решении «проблемы», наоборот, по заданному знанию необходимо построить определённый объект (фигуру или элемент фигуры с определёнными свойствами). «Проблемы» поставляли для доказательств исходный материал — фигуры с определёнными свойствами, выраженными геометрическими знаниями, которые и подлежало доказать. Но в то же время доказательства могли поставить исходный материал для решения «проблем». Именно познание приводило к обратным процедурам, поскольку предполагало объективацию теоретических знаний. Полагание фигур с определёнными свойствами, приписывание им определённых отношений равенства и неравенства нередко вело к противоречиям. Чтобы их избежать, греческие учёные стали проверять, можно ли по заданному геометрическому знанию построить определённую фигуру и не ведёт ли подобное построение к противоречиям. Рассмотрим этот тип подробнее. Выше мы отмечали, что для получения геометрических знаний в доказательствах строились определённые чертежи и полученную в чертеже фигуру сводили к фигурам с уже известными, познанными отношениями. В логическом плане такое сведение можно интерпретировать как отнесение к построенному чертежу (новому объекту) ранее познанных геометрических знаний. Новое геометрическое знание, таким образом, как бы включало в себя старое (познанное ранее) геометрическое знание, но относилось к новому чертежу. Представленная в этом чертеже фигура сводилась к нескольким (реже одной) ранее изученным фигурам. Можно предположить, что возникли ситуации, когда к новым чертежам были отнесены геометрические знания, позволившие получить знания, противоречащие более ранним. Разбор процедур получения таких знаний мог показать, что ошибка возникла в связи с тем, что к чертежу были отнесены «неправильные», по убеждению геометра, знания. Например, могли предположить, что треугольник можно построить из любых трёх линий, а выяснилось, только из таких трёх линий, две из которых всегда больше третьей линии; что против большей стороны треугольника может лежать любой угол, а оказалось — только больший угол. Отнесение к чертежу «неправильного» знания вполне объяснимо. На первых этапах развития геометрии чертежи, судя по всему, строились «на глазок», без специальных обоснований, причём геометр, очевидно, предполагал, что данный построенный чертёж как раз такой, из которого можно получить знание, отнесённое к чертежу. Так, первоначально геометры, вероятно, не строили линию, точно проходящую через середину основания (линия проводилась всегда приблизительно через середину), а просто указывали: «Проведем линию через середину основания»; никто не строил равносторонний треугольник со сторонами, точно равными между собой, а говорили: «Треугольник равносторонний». Когда к построенному чертежу отнесено «правильное» знание, то, получая на основе этого чертежа новое знание, не встречают в системе уже познанных знаний антиномий. И наоборот, если к построенному чертежу по ошибке отнесено «неправильное» знание, то, получая на основе его новое геометрическое знание, обязательно должны были прийти к знанию, противоречащему ранее полученным, поскольку все уже познанные геометрические знания преобразованиями фигур прямо или опосредованно связаны друг с другом и в полученные знания входят составляющие тех знаний, на основе которых данные знания были получены. Когда к построенному чертежу геометры относили «неправильное» знание, то тем самым вычленяли в нём такие чертежи-элементы, к которым в предыдущих процессах сведения были отнесены правильные знания. В результате к этим чертежам могли быть отнесены знания, образованные из разных составляющих: как «правильных», так и «неправильных» знаний. В то же время относительно тех же чертежей было получено знание, составленное только из «правильных» знаний. Учитывая особый характер объектов геометрии — это идеальные объекты, имеющие ряд конструктивных свойств, которые задаются априорными знаниями (отношениями равенства, неравенства, подобия, параллельности и другими), — можно понять, что собой представляют данные антиномии. «Получая» относительно одного и того же чертежа два разных геометрических знания, математики фактически превращали чертёж в две разные фигуры. Однако, отождествляя фигуру с чертежом, они должны были считать, что получили относительно одной фигуры в одной процедуре два разных знания (например, знания «Углы у треугольника равны двум прямым» и «Углы у треугольника не равны двум прямым»). Вероятно, поэтому греческие математики приходят к мысли, что одно из полученных знаний не может относиться к данному объекту; это неправильное знание, оно не имеет права на существование и должно быть исключено из цепи знаний. Но, спрашивается, какое же знание из двух надо признать истинным, а какое исключить? Вероятно, то знание признавалось ложным, которое внесло разлад в уже полученные знания. Обнаружив, что не к любому чертежу можно отнести определённое геометрическое знание, греческие математики, прежде чем оформлять доказательства, вероятно, стали проверять, можно ли к построенному чертежу отнести знание, необходимое для получения определённого нового знания. Например, можно ли для получения некоторого знания построить на отрезке угол, равный другому углу (то есть можно ли к чертежу, на котором начерчены два приблизительно равных угла, отнести знание «Угол А равен углу В»). Для этого необходимо обосновать (доказать), что данное знание можно отнести к чертежу, изображающему отрезок с двумя углами. Можно предположить, что подобные затруднения и требования на определённом этапе развития геометрии были осознаны и сформулированы в виде «проблем». Как и всякую обратную задачу (по отношению к доказательству), «проблему», по всей видимости, удалось решить, когда заметили, что в процессе доказательства некоторых геометрических знаний за счёт построения и преобразования фигур уже были получены такие фигуры, к которым отнесено нужное знание. Однако не всегда для решения «проблемы» можно найти нужный образец получения геометрических знаний; вероятно, в большинстве случаев такого образца не удавалось найти. Поэтому естественно предположить, что, когда был осознан сам принцип подбора образца доказательства, отсутствующий образец стали строить специально. При его построении подбирали такое знание, в процессе доказательства которого находили нужный результат. Тем самым решение «проблем» должно было повлечь за собой получение новых геометрических знаний в цепях. Именно на данном этапе складываются так называемые обратные процедуры, точнее, пара из прямой и обратной процедур; процедуры доказательства и процедуры решения «проблем». Эта пара действовала как своеобразный «системный генератор» получения новых геометрических знаний. Действительно, решение одних «проблем», очевидно, повлекло за собой постановку и решение других новых «проблем». И вот почему. Для решения «проблем» находятся или строятся доказательства, в которых получаются нужные для данной цели геометрические знания. Для построения доказательств точно так же необходимо построить определённый чертёж, к которому можно отнести определённое геометрическое знание. Тогда немедленно возникает вопрос, породивший постановку и решение предыдущих «проблем»: можно ли к данному чертежу отнести данное знание и так далее. Например, чтобы убедиться, что два угла на отрезке могут быть равны, необходимо доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. Для этого, в свою очередь, нужно построить равнобедренный треугольник и провести в нём через середину основания и вершину высоту. Однако возникают вопросы, аналогичные предыдущему: можно ли построить равнобедренный треугольник (можно ли к треугольнику отнести знание «Треугольник равнобедренный»), можно ли через середину основания провести высоту? Таким образом, решение одних «проблем» должно было порождать постановку и решение новой группы «проблем» и тем самым приводить к расширению группы знаний, получаемых в цепях. Решение новой группы «проблем» снова порождало постановку и решение следующей группы «проблем» и так далее. Анализ «проблем» и доказательств в «Началах» показывает, что всё движение заканчивается, когда удаётся прийти к постановке «проблемы», решение которой осуществлялось с помощью инструментов (например, линейки и циркуля). Так, для построения в «Началах» равностороннего (равнобедренного) треугольника проводят две окружности с одинаковыми радиусами и доказывают, что треугольник ABC равносторонний, так как все его стороны — радиусы, а все радиусы у окружностей равны. При этом кажется, что уже нельзя задать вопрос: а можно ли провести две окружности с одинаковым радиусом или можно ли точки А, В, С соединить отрезками АВ, ВС, АС? Греческие математики, вероятно, думали, что так сделать можно: нужно взять циркуль и линейку и провести соответствующие линии. Однако вопрос не в том, можно или нельзя провести окружность, а в том, равны ли у окружности все радиусы, то есть можно ли к радиусам окружности отнести знание «Все радиусы окружности равны». Третий фактор, способствующий систематизации геометрических знаний, можно назвать интерпретационным. Интерпретационный фактор. Интерпретация в геометрическом «языке» доказательств образцов решения шумеро-вавилонских задач по нашей реконструкции позволила получить ряд новых геометрических знаний и их доказательств. Вот лишь один пример. От вавилонской математики был получен, в частности, образец решения следующей задачи. Задача: «Длина и ширина прямого поля. Длина превышает ширину на 10. Площадь поля 11. Длина и ширина сколько? (х-у=10, ху=11, х =?, у =?)». Решение: «Раздели то, на что превышает длина ширину, пополам — 10 : 2 — получишь 5. Возьми результат пять раз (то есть возведи в квадрат. — Прим. авт.) — получишь 25. Сложи 25 с величиной площади 11 — получишь 36. Извлеки затем квадратный корень — получишь 6. Вычти из шести 5 — получишь 1 (ширину поля). Сложи 6 и 5 — получишь 11 (длину поля)». 204 На основе этого образца можно было решить аналогичные задачи, отличающиеся от данной лишь числовыми значениями, но нельзя было понять, почему разница между длиной и шириной должна делиться пополам, а полученный результат затем возводиться в квадрат, зачем величина данного квадрата складывалась с величиной площади поля и из полученного результата извлекался квадрат, почему, наконец, сумма полученного квадратного корня с половиной длины и ширины даёт длину поля, а разность — ширину. Можно предположить, что греческие математики (очевидно, поздние пифагорейцы) рассмотрели приведённый образец решения с точки зрения уже известных им чертежей и геометрических знаний. Естественно, что сначала они должны были рассмотреть подобным образом условие задачи.
Требование задачи — определить стороны АВ и ВС — греческие геометры могли осмыслить следующим образом: два отрезка ВС и BE будут определены, если известны их разность — отрезок ЕС и произведение — величина прямоугольника АВСД, построенного на этих отрезках. Тем самым в геометрии была сформулирована новая теорема (положение): «Доказать, что два отрезка будут определены, если определён прямоугольник, построенный на этих отрезках, и определён отрезок, равный разности исходных отрезков (предложение 84 (85) «Данных» Евклида)» 205. С помощью той же «техники», очевидно, было осмыслено и решение данной задачи. Приблизительно так же были сформулированы условия и решения многих других шумеро-вавилонских и египетских задач (эти формулировки и решения вошли затем в первые книги «Начал» Евклида). Нетрудно заметить, что переформулирование на геометрическом языке образцов решения шумеро-вавилонских задач предполагало, во-первых, использование геометрической онтологии (в её «конструкторе» нужно было представить условие и шаги решения задач), во-вторых, построение новых фигур и геометрических положений (то есть идеальных объектов и теоретических знаний). Другими словами, это был уже процесс функционирования формирующейся науки геометрии. Но был, вероятно, ещё один источник получения новых геометрических положений (знаний). Ван дер Варден утверждает (и мы разделяем его точку зрения), что первоначально греческие математики имели готовые тексты шумеро-вавилонской и египетской математики, которые они и описывали с помощью геометрического языка. Однако со временем должна была сложиться познавательная процедура построения подобных текстов. Можно предположить, что она включала операции сопоставления и измерения, применяемые к реальным или знаковым объектам — вещественным моделям или чертежам; по отношению к фигурам как идеальным объектам подобные знаковые модели выступали в качестве эмпирических объектов. В этом случае фигуры или их элементы не сводят одни к другим на основе мысленного наложения, а сопоставляют друг с другом как эмпирические объекты по величине или конфигурации (так в некоторых случаях поступал ещё Архимед). Последовательное сопоставление позволяет получить новые группы геометрических знаний (они, по нашей классификации, являются эмпирическими). Вот пример одной из них: «Четырёхугольник в два раза больше треугольника», «Упрямого (косого) четырёхугольника противоположные стороны не сближаются и не удаляются» (потом стали говорить «параллельны»), «У прямого четырёхугольника две любые прилежащие стороны наклонены друг к другу под прямым углом», «Противоположные стороны, которые не сближаются и не удаляются, одинаково наклонены к линии, пересекающей одну из этих сторон под прямым углом». Именно подобные серии эмпирических знаний были в дальнейшем схематизированы в языке теории геометрии. В результате в «Началах» Евклида мы находим уже следующие геометрические знания: «Прямая, падающая на параллельные прямые, образует накрест лежащие углы, равные между собой, и внешний угол, равный внутреннему, противолежащему с той же стороны, и внутренние односторонние углы, равные двум прямым» (предложение 29 первой книги), «В параллелограмме противоположные стороны и углы равны между собой и диагональ разделяет их пополам» (предложение 34), «Если параллелограмм имеет с треугольником одно и то же основание и находится между теми же параллельными, то параллелограмм будет вдвое больше треугольника» (предложение 41). Рассмотренный здесь процесс стихийной систематизации не был единственным. Параллельно с ним развёртывался и второй — сознательное построение науки геометрии и попытки обосновать самые первые познанные геометрические знания и объекты, к которым сводились все остальные. Действительно, одни и те же цепи геометрического знания можно было получить по-разному, исходя из разных познанных ранее знаний (соответственно изменялись и движения в чертежах). Выбирая в группе уже познанных знаний разные геометрические знания, можно получить цепи знаний, в которых одни и те же знания будут в одном варианте построения этих цепей познанными, в другом варианте — полученными из познанных знаний. Характерно, что с точки зрения способа получения геометрических знаний нет никакой разницы, какие знания считать познанными, а какие получать. Однако, с точки зрения отдельного геометра, познанные знания существенно отличались от всех остальных. Каждый крупный геометр мог, вероятно, считать в качестве уже познанных, истинных строго определённую группу знаний. В эту группу знания могли отбираться по самым разным признакам, например, по «простоте», или «очевидности», или «неделимости» её объекта. Мы полагаем, что в этот же период были осознаны следующие простые закономерности:
Одновременно была нащупана и особая форма построения геометрических знаний — определения, форма, которая частично должна была снимать сам вопрос о природе уже познанного исходного знания. Действительно, в определении знания «равно», «больше», «меньше», «параллельно» трактовались как свойства, характеристики, задающие объекты — фигуры. Если раньше говорили: «Радиусы у окружности равны», то затем стали говорить: «Окружность — это такая фигура, у которой отрезки, падающие из центра на обод (окружность), равны». За счёт этого оборота речи возникало впечатление, что знание «Радиусы у окружности равны» уже не надо было получать. Однако не все известные знания можно выразить в форме определений. Например, нельзя считать, что равные треугольники — это такие фигуры, у которых равны по две стороны и углу (есть много фигур, которые не равны, хотя у них равны по две стороны и углу), или что прямые углы — это такие углы, которые равны (есть много равных углов, не являющихся прямыми). Вероятно, поэтому подобные знания не были представлены в форме определений, а выделены в отдельную группу (аксиомы и постулаты). В эту же группу попали знания, на основе которых получены решения геометрических задач на построение (решения «проблем»). Проблемы осмысления уже познанных знаний и выделения обоснованных принципов организации геометрических знаний, с нашей точки зрения, не могли быть решены только в языковом и операциональном планах, для их разрешения потребовалась философская рефлексия. П. Гайденко показывает, что фигуры и другие объекты геометрии Платон помещает между миром идей и чувственным миром в область геометрического пространства. Поэтому геометрические объекты подчиняются, во-первых, «логике» существования идеального (идеям), во-вторых, «логике» чувственного мира (поэтому фигуры можно чертить, рассматривать, делить и так далее), в-третьих, «логике» обеих этих реальностей (то есть логике геометрического пространства). Подобное решение позволило Платону наметить интересную процедуру обоснования (и фактически систематизации) геометрических объектов. По реконструкции Гайденко, точка, линия, треугольник (плоскость), тетраэдр (объем) уподобляются в мире идеального единице, двойке, тройке и четвёрке (то есть соответствующим идеям), а в мире геометрического пространства — «движущемуся» (точка — это граница, потенциальная возможность движения, движущаяся точка есть линия, движущаяся линия образует пространство, движущееся пространство порождает объём) 206. Следующий шаг в систематизации научных знаний делает Аристотель. В «Аналитиках» он формулирует принципы организации и построения знаний, полученных в доказательстве. Мы укажем лишь несколько главных принципов, определивших характер и строение различных вариантов «Начал».
Одновременно Аристотель фактически сформулировал и соответствующую «исследовательскую программу» получения истинных знаний и построения наук. Суть её сводилась к тому, чтобы построить и развернуть группы идеальных объектов, связанных между собой процедурами сведения (доказательства), причём в основании должны были лежать начала (характеризующие рода бытия), не требующие обоснования. Каждая группа идеальных объектов, образующая «тело» отдельной науки, во-первых, должна была отражать всю совокупность свойств и характеристик определённой предметной области — арифметики, геометрии, физики, астрономии, оптики и других, во-вторых, решать ряд интересующих учёного проблем (этот момент практически не осознавался), в-третьих, удовлетворять принципам и началам, сформулированным в ходе обоснования. Подобная исследовательская программа фактически сводила цели античного учёного к нахождению начал доказательства (определений, постулатов, аксиом), задающих некоторый род бытия, и описанию его, то есть к получению в доказательстве всех знаний, характеризующих рассматриваемый род. Собственно научными (истинными) считались лишь те знания об объектах, которые в качестве начал доказательства либо заключений были включены в процедуры доказательства или, что то же самое, фиксировали единицы родов бытия (вещи, предметы). Поэтому, например, все знания об объектах, которые как условия мышления (предпосылки, ориентиры, гипотезы, и тому подобное) использовались при построении наук или их фрагментов, но не входили непосредственно в доказательства, не считались истинными и в науку не включались. 4.2. Формирование научного предмета в «Физике» АристотеляВ античной культуре различались несколько видов движения, о которых были получены различные знания, в том числе и эмпирические. Для получения последних движения тел замещались и моделировались в числах и отрезках, с которыми уже как с представителями движений осуществлялись операции сравнения и преобразования. Например, чтобы сравнить два движения, сравнивали, во-первых, отрезки (или числа), фиксирующие пути этих движений, и, во-вторых, числа, фиксирующие время движений; при одинаковом времени то движение считалось больше («быстрее»), которое «прошло» больший путь; при одинаковом пути более быстрым считалось движение, «затратившее» меньше времени. Эмпирические знания о движении, полученные на числовых и геометрических моделях, в свою очередь, становились предметом объяснения и осмысления. В результате о движении были получены знания типа «Движение состоит из бесконечного количества частей, вложенных одни в другие»; «Время состоит из моментов «теперь»; «Для прохождения определённого расстояния необходимо затратить определённое время». (Можно предположить, что подобные знания были получены в два этапа: на первом движение и время замещались в геометрических отрезках, которые делились на части и суммировались из частей; на втором описания этих операций осмысливались с помощью различных понятий, например части и целого, элемента и множества.) Эти знания, как известно, были использованы Зеноном для обоснования утверждений Парменида о единстве и неподвижности бытия. Зенон на основе подобных теоретических знаний формулирует знаменитые апории о движении, доказывая, что полагание движения противоречит бытию. Например, он строит следующее рассуждение: «Предмет, прежде чем пройти известное расстояние, должен пройти половину его, а прежде половины — четверть и так далее до бесконечности. Поэтому для прохождения любого расстояния необходимо бесконечное время. Но движение совершается в конечное время. Следовательно, движение невозможно» 209. Напротив, для Аристотеля движение — это не просто «название» («Всё прочее — только названия: / Смертные их сочинили, истиной их почитая»), а род бытия. Рассуждения Зенона он считает ошибочными («Зенон же делает неверные заключения» 210). Поэтому Аристотель прежде всего обращается к основаниям (началам), на которые должно опираться рассуждение о движении, чтобы затем на их основе показать ошибки в рассуждении Зенона и оправдать собственное рассуждение о движении. Но суммируем сначала, какие типы (виды и рода) движений различались, а также основные проблемы, которые Аристотель должен был разрешить. Судя по «Физике», «О небе» Аристотеля и другим источникам, различалось равномерное и неравномерное движение, движение земных тел и небесных (первые, например, как тяжёлые тела, двигались вниз или, подобно огню, вверх, вторые вращались по кругам), различались собственно дви-жение и покой, движение тел в разных средах (воздухе, воде, масле). Движение в пустоте хотя и мыслилось, но понималось различно: атомисты, как известно, считали пустоту реальностью, необходимой для объяснения движения, а Аристотель, рассуждая о покое, решительно отрицал её существование. Если бы пустота существовала, считает Аристотель, то было бы возможно движение с бесконечно большой скоростью (мгновенное), а также падение всех тел, какой бы вес и размер они ни имели, с одинаковой скоростью, что, по убеждению Аристотеля, невозможно 211. Центральной проблемой для Аристотеля было разрешить противоречия, сформулированные Зеноном, а также объяснить ряд уже известных знаний, полученных из наблюдений за движущимися телами и в рассуждениях. Например, почему тяжёлые тела падают вниз, а лёгкие устремляются вверх, почему происходит ускорение свободно падающих тел, как понять движение тела, брошенного в воздух (рука уже не соприкасается с телом, а оно продолжает движение), как объяснить, почему планеты не останавливаются в своём движении (почему небесное движение не иссякает, хотя на земле, если перестаёт действовать сила и двигатель, всякое движение заканчивается)? Анализ «Физики» даёт возможность предположить, что движение как род бытия Аристотель конституирует в два этапа. На первом этапе движение характеризуется с помощью категорий «сущность», «суть бытия», «вещь», «форма», «материал», «возможность», «действительность», «способность», «качество», «количество», «состояние». Эти понятия и категории определяются Аристотелем относительно друг друга и организуются в такую систему, которая, как показывает анализ, позволяет выразить эмпирические смыслы, зафиксированные в описаниях различных движений, а также объяснить затруднения, возникающие в рассуждениях о движении. В результате Аристотель получает два разных представления о движении:
Можно предположить, что второе представление о движении возникает на основе первого, когда Аристотель пытается определить, что представляют собой вещи, переходящие из возможного бытия в действительное. Именно здесь он фактически «отрывает» движение от вещей, характеризуя его через качества или состояния, то есть особые сущности, способные к изменениям. Однако, поскольку в системе Аристотеля сущности неотделимы от вещей, совмещение двух представлений о движении, очевидно, является для Аристотеля большой проблемой. На втором этапе оба категориальных представления о движении Аристотель конкретизирует и развёртывает до такой степени, что благодаря этому удаётся нормировать рассуждения о движении. Сам процесс конкретизации и развёртывания содержит две характерные процедуры:
Например, чтобы разрешить вышеприведённую апорию Зенона, Аристотель выделяет две основные группы числовых и геометрических моделей движения, фиксируемых терминами «расстояние» и «время». Описывая эти употребления, он сначала выделяет правильные и неправильные операции деления и суммирования, производимые на этих моделях, и затем правильные операции характеризует с помощью категорий и понятий о движении, заданных на первом этапе 212. Так, Аристотель доказывает, что и время, и пройдённое расстояние относятся к роду движения и могут быть, подобно движению, охарактеризованы с помощью категорий «изменение», «потенция» (возможность), «энтелехия» (действительность), «качество и количество». Он утверждает, что при характеристике времени и расстояния необходимо употреблять категорию «бесконечность», что позволяет и время, и пройдённое расстояние делить до бесконечности и складывать из «бесконечно малых» частей, причём бесконечность времени Аристотель устанавливает не только сходство времени с пройденным расстоянием, но также их различие: если время является количеством (мерой, величиной) движения, то есть определяет движение как его «механизм», то пройдённое расстояние — это целое, которое делится на бесконечное количество частей и проходится движением как бесконечное, то есть является «продуктом», «результатом» движения. Наконец, Аристотель показывает, что скорость (быстрота, медленность) — это отношение, связывающее в движении время и пройдённое расстояние. Обе группы моделей, фиксирующих время и расстояние, пройденные в движении, Аристотель рассматривает, с одной стороны, как стороны единого объекта (рода) — движения, выделенные в знании, и, с другой стороны, как знания об этих сторонах. Скорость движения, как это видно из текста «Физики», не является для Аристотеля параметром движения, поскольку не изображается как целое в моделях. В античной науке понятие «скорость» относилось к сопоставлениям движений в числовых и геометрических моделях, изображающих время движения и пройденные расстояния. Результаты этих сопоставлений фиксируются в естественном языке с помощью терминов «быстрое», «медленное», «одинаково», которые сами уже не относятся к числам или геометрическим отрезкам. Именно поэтому Аристотель не мог выделить «употребление скоростей»; скорость он сводит к характеристике, присущей в одинаковой мере как роду, так и видам движения 214. Следовательно, в категориальном видении Аристотеля Скорость не могла быть противопоставлена движению ни как его вид, ни как его сторона (параметр). Конкретизированные представления о движении Аристотель использует не только для нормирования правильных рассуждений о движении и опровержения апорий Зенона, но также для/различения и описания разных видов движения. В частности, он различает равномерное и неравномерное движение, относя к последнему и свободное падение. Анализируя способы сравнения разных движений, Аристотель склоняется к мысли, что именно равномерное движение преимущественно образует сущность любого движения и, следовательно, специфицирует движение как род бытия. Поэтому, определяя неравномерное движение, Аристотель сопоставляет его с равномерным и приходит к выводу, что различие между обоими видами движения определяется либо характером пути, времени, среды, либо характером скорости движения, различающейся большей или меньшей степенью 215. Объявляя равномерное движение сущностью движения, Аристотель закреплял и обосновывал сложившиеся в античной науке способы описания движений разного вида. Так, чтобы охарактеризовать некоторое движение, античные исследователи разбивали его на «части» (по времени или пути) и определяли скорость движения в каждой полученной «части»; если величины этих скоростей совпадали, то движение считалось равномерным, если нет — неравномерным. (Естественно, что при этом каждый раз определялась средняя скорость на конкретном участке движения. Однако для античных учёных это просто скорость, понятие «мгновенная скорость» возникло лишь в XIV веке в работах Уильяма Хейтейсбери и Николая Орема 216.) Поскольку равномерное движение при таком способе описания задавалось одной величиной, выражающей скорость этого движения, а неравномерное — рядом величин, выражающих скорость на равных участках неравномерного движения, но не скорость этого движения в целом, в категориальном представлении исследователей равномерное движение «виделось» как единое целое, а неравномерное — как составленное из единых. Именно этот момент категориального видения Аристотель фиксирует в «Физике», объявив равномерное движение сущностью. Помимо рассмотренных двух идеальных объектов, в своих физических работах Аристотель создаёт и другие — представление о естественном и насильственном движении, о падении тяжёлых тел и движении лёгких, о круговом движении неба. «Под естественным, — пишет М. Гуковский) — понимается движение, происходящее без воздействия какой-либо силы; по классической аристотелевской концепции, оно вызвано врождённым для всего сущего стремлением к своему месту, той точке, в которой сосредоточена как бы вся сущность стихии, из которой состоит данное тело. Движение, вообще говоря, может происходить по всем направлениям, но движение естественное может происходить только в одном направлении, определяемом для расположенной в пространстве телесной точки линией, соединяющей эту точку с центром мира, или, что то же самое, с центром земли» 217. А. Григорьян и В. Зубов дополнительно разъясняют аристотелевскую концепцию так. С точки зрения Аристотеля, «четыре стихии (земля, вода, воздух, огонь) располагаются во вселенной концентрически, или, что то же, так расположены их «естественные места». Если вышележащая стихия насильственно перемещена в нижележащую, она проявляет стремление вернуться в своё «естественное место», то есть приобретает «лёгкость»; вода, находясь в земле, устремляется вверх, точно так же как воздух, перемещённый в землю или воду» 218. Понятно, что идея «стремления тел к своим местам», вероятно, как условие обретения ими сущности, — это не эмпирическое наблюдение, а чистый конструкт, призванный объяснить разные наблюдаемые явления и согласовать естественное движение с системой аристотелевских категорий. Например, на этом представлении основано объяснение, «почему одни и те же тела опускаются в воздухе и всплывают вводе, например дерево. Такие тела содержат в своём составе то или иное количество воздуха» 219. Или другое объяснение, почему скорость падения прямо пропорциональна весу падающего тела: «Если тело стремится вниз вследствие врождённого в самом его веществе стремления соединиться со свойственным ему местом, то естественно, что чем больше в нём этого вещества, с тем большей скоростью оно будет к этому месту стремиться» 220. Другой конструкт Аристотеля — объяснение насильственного движения. Исходя из убеждения, что «все движущее необходимо бывает движимо чем-то» (за исключением того, что имеет начало движения в себе самом, например, человек или бог), а также что человека с движущим телом связывает среда (воздух или жидкость), Аристотель утверждает, что «при бросании тела происходит последовательная передача движения через промежуточную среду. Бросающий как бы сообщает способность двигать либо воздуху, либо воде, либо «чему-нибудь иному подобному, что по природе своей способно и двигать, и двигаться». Когда движущее перестаёт двигать, движимое перестаёт двигаться, однако оно сохраняет ещё способность двигать нечто другое, а потому действительно движет соприкасающееся с ним» 221. Гуковский считает, что Аристотель здесь вводит понятие импульса, «импето». Иначе думают А. Григорьян и В. Зубов. «Фемистий (IV век Новой эры), — пишут они, — пытался ближе определить природу той «движущей способности», которую приобретает воздух. Всего более «движущая способность» сходна с теплотой, способной передаваться от одного тела к другому и сохраняться в нём независимо от последующей судьбы первого тела. Против этой ставшей традиционной перипатетической теории выступил в VI веке Новой эры. Иоанн Филопон (или Иоанн Грамматик). Он положил начало теории, которая позднее получила название теории impetus. По филопону, для объяснения движения брошенных тел не нужно прибегать к представлению о посредствующей роли среды (воздуха и воды). Некая «движущая сила», или «энергия», может непосредственно сообщаться брошенному твёрдому телу» 222. В целом конструкция насильственного движения предполагала три основные идеи: посредующей среды (соответственно запрета пустоты), взаимодействия и уничтожаемости движения. «Движение приобретаемое как бы изнашивается под действием сопротивления. Самая причина движения — сила, вызывающая его, вечная и изначальная в движении естественном, является преходящей и непрочной в движении приобретаемом» 223. Эта конструкция, естественно, не лежала в природе; она была изобретена Аристотелем, с одной стороны, старавшимся преодолеть платоновскую концепцию «антиперистасиса» (представления о вихревой передаче в сплошной среде воздействия от одного тела к другому), с другой — стремившимся объяснить насильственное движение исходя из идей контакта, посредника и среды. Наконец, конструкция движения небесных тел тоже не могла быть взята из наблюдения. Объясняя, почему небесные тела движутся не останавливаясь и какая сила их движет, Аристотель, во-первых, полагает, что есть «перводвигатель», во-вторых, что это «живой разум» (божество), мысль которого и есть причина вечного движения неба. «Существует что-то, что вечно движется безостановочным движением, а таково движение круговое; и это ясно — не только как логический вывод, но и как реальный факт, а потому первое небо (то есть замыкающая Вселенную крайняя сфера. — Прим. авт.) обладает, можно считать, вечным бытием. Следовательно, существует и нечто, что его приводит в движение. А так как то, что движется и вместе движет, занимает промежуточное положение, поэтому есть нечто, что движет, не находясь в движении, нечто вечное и являющее собой сущность и реальную активность. Но движет так предмет желания и предмет мысли: они движут, сами не находясь в движении. При этом разум, в силу причастности своей к предмету мысли, мыслит самого себя: он становится мыслимым, соприкасаясь со своим предметом и мысля его, так что одно и то же есть разум и то, что мыслится им. И жизнь, без сомнения, присуща ему: ибо деятельность разума есть жизнь… и деятельность его, как она есть сама по себе, есть самая лучшая и вечная жизнь» 224. В целом идеальные объекты «Физики» были созданы Аристотелем примерно также, как идеальные объекты науки «О душе». При их создании Аристотель учитывал и наблюдаемые явления, рассматриваемые им как верные знания 225, и, что не менее существенно, различные, как бы мы сегодня сказали, логические и методологические соображения (требование представить вещи категориально, снять противоречия, преодолеть неустраивающие Аристотеля концепции других мыслителей, согласовать собственные построения, реализовать свои представления о действительности, и тому подобное). Значение эти вторых детерминант было более существенным, чем первых, что видно хотя бы по тому, что при «споре» видимого и мыслимого приоритет, безусловно, отдавался второму. Например, определяя равномерное движение как движение с одинаковой (равной) скоростью, Аристотель не просто описывает те или иные наблюдаемые в реальности свойства движущихся вещей, а задаёт определённые начала (род бытия): именно в этом состоит, по Аристотелю, функция определений. С точки зрения Аристотеля, начала, задающие определённый род бытия, необходимо строить таким образом, чтобы, с одной стороны, в них фиксировались «знания», полученные в чувственном восприятии и индукции, ас другой стороны, обеспечивалась возможность построения доказательств. Доказательство же, говорит Аристотель, исходит из общего. Таким образом, по мнению Аристотеля, чтобы с помощью определений задать начала, необходимо от знаний о единичном и частном перейти к знанию об общем. Именно на основе таких представлений Аристотель строит определение равномерного движения. Сравнивая скорости на отдельных участках пути, проходимого телом, движущимся примерно с одной и той же скоростью, можно получить знание о равенстве скоростей, которое относится к единичному движению и верно лишь приблизительно (на самом деле скорости на отдельных участках любого реального движения различны). Тем не менее Аристотель, чтобы задать движение как род бытия, как общее, утверждает, что существует движение с одинаковой (равной) скоростью. Соответственно выражаемый этим знанием объект — равномерное движение — является идеальным объектом. В дальнейшем получение теоретических знаний о равномерном движении определялось использованием понятия «равномерное движение» в математике. Уже современники Аристотеля, Архит и Автолик, доказывали ряд геометрических теорем, используя представление о равномерном движении (перемещении или вращении) точки или отрезка прямой. Опираясь на это представление, они определяли отношения между отрезками (дугами), которые равномерно движущиеся точки проходят за одинаковое или различное время. Подобное употребление понятия «равномерное движение» имело два последствия. Во-первых, пришлось ввести новое понятие равномерного движения, учитывающее подведение под это понятие математических объектов. Вот как Автолик переопределяет равномерное движение: «О точке говорится, что она равномерно перемещается, если в равные времена она проходит и одинаковые величины» (слово «одинаковые» уточняет, что речь идёт о величинах одного и того же вида: двух отрезках прямой, двух дугах и так далее) 226 Во-вторых, при описании и изображении равномерных движений стали использовать теоретические знания геометрии, главным образом теоремы теории пропорций, за счёт чего о равномерном движении удалось получить новые теоретические знания. В плане научного мышления это означало построение нового идеального объекта, содержащего два компонента: старый идеальный объект механики — равномерное движение и идеальный объект теории пропорций — отрезки, связанные отношениями «больше», «меньше», «равно», «кратно» и других. Для античных учёных этот процесс сводился к соединению и совпадению двух родов бытия: рода, фиксирующего движение, и рода, определяющего математические величины. Особенности этих «начал» специально обсуждал Аристотель. В частности, он показал, что «начала» физики включают два компонента: «начала» математики — форму, величину, фигуру, и тому подобное — и «начала», специфичные для самой природы, — материю и движение. «После того как нами определено, — пишет философ, — в скольких значениях употребляется слово «природа», следует рассмотреть, чем отличается математик от физика. Ибо природные тела имеют и поверхности, объёмы, и протяжение в длину, и точки, изучением которых занимается математик. Он и производит абстракцию, ибо мысленно фигуры можно отделить от движения. Сами того не замечая, то же делают и философы, которые учат об идеях: они абстрагируют физические свойства, менее отделимые, чем математические. Именно нечётное и четное, прямая линия, кривая, далее число, линия и фигура будут существовать и без движения, а мясо, кость и человек — ни в коем случае. Ибо геометрия рассматривает физическую линию, но не поскольку она существует физически, а оптика — математическую линию, но не как математическую, а как физическую. А так как природа двояка, она есть форма и материя, то… подобные предметы нельзя брать ни без материи, ни с одной материальной стороны… раз существуют две природы, с которой из двух должен иметь дело физик, или, может быть, с тем, что составлено из них? Но если искусство подражает природе, то к одной и той же науке относится и познание формы и материи в определённых границах. Следовательно, дело физики — познавать ту и другую природу…» 227 Включение в предмет механики оперативной системы математики, по нашему предположению, стало возможным по двум причинам. Во-первых, изменяются и усложняются механизмы развёртывания знаний: от процедур сопоставления реальных объектов на моделях, которые дают эмпирические знания, переходят к процедурам построения идеальных объектов и теоретических знаний. При этом развёртывание эмпирических знаний теперь «подчиняется» логике построения и употребления идеальных объектов и теоретических знаний. Во-вторых, идеальные объекты и теоретические знания механики с самого начала строятся с помощью знаковых и понятийных средств, заимствованных из оперативной системы математики. Например, определение равномерного движения включает в себя термины идеальных объектов математики («точка», «отрезок») и термины отношений, их связывающих («равно», «больше», «меньше», «кратно»). Таким образом, при конструировании идеальных объектов античной механики большое значение играли и математические соображения. В частности, теория пропорций во многом обусловливала форму представления этих объектов. В работах Архимеда, как известно, намеченная здесь линия математизации античной механики находит своё полное завершение. Одновременно Архимед создаёт первый образец эмпирической теории, полностью удовлетворяющий нормам, которые сформулировали Платон и Аристотель. Но, прежде чем перейти к анализу одной из его работ «О плавающих телах», сделаем одно замечание. Работы Аристотеля и других «античных учёных» способствовали тому, что земной мир и космос постепенно начинают видеться по-новому. Если прежде природные явления понимались как результат действия богов или отдельные стихии, то под влиянием античных наук складываются представления о действительности — о движении, теплоте, свете, силах, среде, и тому подобном, соответствующие идеальным объектам античной науки. Новое, если так можно выразиться, научно-рациональное видение действительности — это продукт новой античной культуры и творческого конституирования и осмысления её античными мыслителями. 4.3. Античная «техническая наука»У Платона есть любопытное рассуждение 228. Он говорит, что существуют три скамьи: идея («прообраз») скамьи, созданная самим Богом, копия этой идеи (скамья, созданная ремесленником) и копия копии — скамья, нарисованная живописцем. Если для нашей культуры основная реальность — это скамья, созданная ремесленником, то для Платона — идея скамьи. И для остальных античных философов реальные вещи выступали не сами по себе, а в виде воплощений «начал» и «причин». Поэтому ремесленник (художник) не творил вещи (это была прерогатива Бога), а лишь выявлял в материале и своём искусстве то, что было заложено в природе. При этом сама природа понималась иначе, чем в Новое время. «Природа, — говорит Аристотель, — есть известное начало и причина движения и покоя для того, чему она присуща первично, по себе, а не по совпадению» 2. Под природой понималась реальность, позволяющая объяснить изменения и движения, происходящие сами собой («естественные» изменения, как стали говорить потом в Новое время), а не в силу воздействия человека. Поскольку источником изменений, происходящих сами собой, в конечном счёте мог быть только Бог, природа мыслилась одновременно и как живое, органическое и сакральное целое. Как мы помним, небо у Аристотеля — это и небо, и источник всех изменений и движений, и перводвигатель как причина этих изменений, а также божество, созерцающее (мыслящее) само себя. 229 Итак, природа, по Аристотелю, — это первое начало движения и божественный разум («предмет желания и предмет мысли, они движут, (сами) не находясь в движении»). Именно Бог вложил в природу прообразы (идеи, сущности) всех вещей и изделий. Если человек, занимаясь наукой, узнавал «начала» и «причины» вещей, то есть прообразы их, он мог затем и создать (выявить в материале) соответствующие вещи. Но лишь постольку, поскольку они были сотворены Богом и помещены в природу в виде «начал» и «причин». С точки зрения Платона, человек создаёт некоторую вещь, подражая её идее, причём идею создал Творец. Но что значит подражать идее? Это было не очень понятно. По Платону получалось, что относительно философского познания, ведущего от вещей к идеям, изготовление вещей, уводящее от идей к вещам, является обратной операцией, а следовательно, по сравнению с философским занятием делом, не стоящим настоящих усилий. Ценным, ведущим к благу, считал Платон, является только достижение бессмертия, а это предполагало жизнь философией и наукой. Решение прямой задачи считалось занятием благородным, поскольку приближало человека к подлинному бытию, а решение обратной — занятием низким, так как удаляло человека от этого бытия. В представлениях античных мыслителей можно отметить известную двойственность, противоречивость. С одной стороны, они не отрицали значения научных знаний (особенно арифметики и геометрии) для практики и техники (искусства). «При устройстве лагерей, занятии местностей, — пишет Платон, — стягивании и развёртывании войск и различных других военных построениях как во время сражения, так и в походах, конечно, скажется разница между знатоком геометрии и тем, кто её не знает». С другой же стороны, это значение несравнимо с тем, которое имеет научное знание как чистое созерцание божественного разума или блага. Продолжая, Платон уточняет: «Но для этого было бы достаточно А вот как рассуждает Аристотель в «Метафизике», сравнивая людей «опытных», однако не знающих науки, с людьми, и опытными, и знакомыми с наукой. Он пишет следующее: «В отношении к деятельности опыт, Здесь есть своя логика. Ведь что такое техническое действие и технические изделия с точки зрения античных мыслителей? Это природное явление — изменение, порождающее вещи. Но и то и другое (и изменение, и вещи) не принадлежат идеям или сущностям, которые изучает наука. По Платону, изменение (возникновение), происходящее внутри технического действия, не бытие («есть бытие, есть пространство и есть возникновение»), а вещи не идеи, а всего лишь копии идей. Для Аристотеля бытие и вещи также не совпадают, а изменение есть «переход из возможного бытия в действительное». В последнем случае изменение получает осмысленную трактовку и, что важно, сближается с представлением о деятельности. Аристотель, как известно, отрицавший платоновскую концепцию идей, старается понять, что такое создание вещей, исходя из предположения о том, что в этом процессе важная роль отводится познанию и знаниям. Его рассуждение таково: если известно, что болезнь представляет собой то-то (например, неравномерность), а равномерность предполагает тепло, то, чтобы устранить болезнь, необходимо нагревание 232. Познание и мышление — это, по Аристотелю, движение в знаниях, а также рассуждение, которое позволяет найти последнее звено (в данном случае тепло), а практическое дело, наоборот, — движение от последнего звена, опирающееся на знания и отношения, полученные в предшествующем рассуждении. Это и будет, по Аристотелю, создание вещи 233. Для современного сознания в этом рассуждении нет ничего особенного, все это достаточно очевидно. Не так обстояло дело в античные времена. Связь деятельности по созданию вещей с мышлением и знаниями была не только не очевидна, но, напротив, противоестественна. Действие — это одно, а знание — другое. Потребовался гений Аристотеля, чтобы соединить эти две реальности. Созданная Аристотелем поистине замечательная конструкция действия, опирающегося на знание и мышление, основывается на том, что знания отношений, полученные в таком мышлении, снима-ют в себе в обратном отношении практические операции. Действительно, если тепло есть равномерность, то предполагается, что неравномерность устраняется действием нагревания. Но всегда ли это так? В ряде случаев да. Например, анализ античной практики, которая стала ориентироваться на аристотелевское решение и конструкцию практического действия, показывает, что были по меньшей мере три области, где знания отношений, полученных в научном рассуждении, действительно, позволяют найти это последнее звено и затем выстроить практическое действие, дающее нужный эффект. Это были геодезическая практика, изготовление орудий, основанных на действии рычага, и определение устойчивости кораблей в кораблестроении. При прокладке водопровода Эвпалина, который копался с двух сторон горы, греческие инженеры, как известно, использовали геометрические соображения (вероятно, подобие двух треугольников, описанных вокруг горы, и измерили соответствующие углы и стороны этих треугольников; одни стороны и углы они задавали, а другие определяли из геометрических отношений) 234. Аналогично Архимед, опираясь на закон рычага (который он сам вывел), определял при заданной длине плеч и одной силе другую силу, то есть вес, который рычаг мог поднять (или при заданных остальных элементах определял длину плеча). Сходным образом (то есть когда при одних заданных величинах высчитывались другие) Архимед определял центр тяжести и устойчивость кораблей. Можно заметить, что во всех этих трёх случаях знания отношений моделировали реальные отношения в изготавливаемых вещах. Но не меньше, а, скорее, больше было других случаев, когда знания отношений не могли быть рассмотрены как модель реальных отношений в вещах. Например, Аристотель утверждал, что тела падают тем быстрее, чем больше весят, однако сегодня мы знаем, что это не так. Тот же Аристотель говорил, что нагревание ведёт к выздоровлению, но в каких случаях? Известно, что во многих случаях нагревание усугубляет заболевание. Хотя Аристотель и различил естественное изменение и создание вещей и даже ввёл понятие природы, он не мог понять, что моделесообразность знания практическому действию Впрочем, здесь нет ничего удивительного, природа и естественное понимались в Античности не так, как в культуре Нового времени. Естественное просто противопоставлялось искусственному, то есть сделанному или рождающемуся самостоятельно. Природа понималась как один из видов бытия наряду с другими, а именно как такое «начало, изменение которого лежит в нём самом». Природа не рассматривалась как источник законов природы, сил и энергий, как необходимое условие инженерного действия. В иерархии начал бытия природе отводилась хотя и важная роль (источника изменений, движения, самодвижения), но не главная. Устанавливая связь действия и знания, Аристотель апеллировал не к устройству природы, а к сущности деятельности. В результате полученные в Античности знания и способы их использования, по Аристотелю, только в некоторых случаях давали благоприятный, запланированный эффект. Вероятно, поэтому гениальное открытие Аристотеля смогли удачно освоить и использовать (да и то в отдельных областях) только отдельные, исключительно талантливые учёные-инженеры, например, Евдокс, Архит, Архимед, Гиппарх. (К тому же многие из них всегда помнили наставления Платона, утверждавшего, что занятие техникой вообще уводит от идей и неба, затрудняя путь к бессмертию.) Подавляющая же масса античных техников действовали по старинке, то есть рецептурно, большинство из них охотнее обращались не к философии, а к магическим трактатам, в которых они находили принципы, вдохновляющие их в практической деятельности. Например, такие: «Одна стихия радуется другой», «Одна стихия правит другой», «Одна стихия побеждает другую», «Как зерно порождает зерно, а человек — человека, так и золото приносит золото». Однако помимо техников, не отличавшихся от ремесленников, в античной культуре, как мы уже отмечали, действовали пусть и редкие фигуры учёных-техников (предтечи будущих инженеров и учёных-естественников). Евдокс, Архит, Архимед, Гиппарх, Птолемей, очевидно, не только хорошо понимали философские размышления о науке и опыте, мудрости и искусстве (технике), но и, несомненно, применяли некоторые из философских идей в своём творчестве. Ведь в той или иной мере и Платон, и Аристотель устанавливали связь идей (сущностей) и вещей, а следовательно, науки и опыта. Другое дело, что, как правило, реализация этой связи в технике не фиксировалась. Рассмотрим этот процесс несколько подробнее. Г. Дильс в ставшей уже классической работе «Античная техника» пишет: «Исходная величина, которую древние инженеры клали в основу при устройстве метательных машин> — это калибр, то есть диаметр канала, в котором двигаются упругие натянутые жилы, с помощью которых орудие заряжается (натяжение) и стреляет 235. Инженеры признавали, по словам Филона, наилучшей найденную ими формулу для определения величины калибра К — 1,13 × 100, то есть в диаметре канала должно быть столько дактилей, сколько единиц получится, если извлечь кубический корень из веса каменного ядра (в аттических минах), помноженного на 100, и ещё с добавкой десятой части всего полученного результата. И эта исходная мера должна быть пропорционально выдержана во всех частях метательной машины». Перед нами типичный инженерный расчёт, только он опирается не на знания естественных наук, а на знания, полученные в опыте, и знания математические (теорию пропорций и арифметику). Подобный расчёт мог бы быть использован также и для изготовления метательных машин (он выступал бы тогда в роли конструктивной схемы, где указаны размеры деталей и элементов). Отличие этого этапа формирования науки от шумеро-вавилонского принципиально: в греческой математической науке знание отношений, используемых техниками, заготовлялось, так сказать, впрок (не сознательно для целей техники, а в силу автономного развития математики). Теория пропорций предопределяла мышление техника, знакомясь с математикой, проецируя её на природу и вещи, он невольно начинал мыслить элементы конструкции машины как бы связанными этими математическими отношениями. Подобные отношения (не только в теории пропорций, но и в планиметрии, а позднее и в теории конических сечений) позволяли решать и такие задачи, где нужно было вычислять элементы, недоступные для непосредственных измерений (например, уже отмеченный известный случай прокладки водопровода Эвпалина). Одно из необходимых условий решения таких задач — перепредставление в математической онтологии реального объекта. Если в шумеро-вавилонской математике чертежи как планы полей воспринимались писцами в виде уменьшенных реальных объектов, то в античной науке чертёж мыслится как бытие, существенно отличающееся от бытия вещей (реальных объектов). Платон, например, помещает геометрические чертежи между идеями и вещами, в область «геометрического пространства». Аристотель тоже не считает геометрические чертежи (и числа) ни сущностями, ни вещами: он рассматривает их как мысленные конструкции, некоторые свойства, абстрагируемые от вещей. Этими свойствами оперируют, как если бы они были самостоятельными сущностями, и затем смотрят, какие следствия проистекают из этого. Можно догадаться, что подобные философские соображения как раз и обеспечивали возможность перепредстэвления реальных объектов как объектов математических (то есть возможность описания реальных объектов в математической онтологии). «Техническая теория» в рамках античной науки. Переход от использования в технике отдельных научных знаний к построению своеобразной античной «технической науки» мы находим в исследованиях Архимеда. Но отдельные предпосылки этого процесса можно найти и в самой античной математике. Например, в «Началах» Евклида нетрудно заметить группировку теорем (положений), которая вполне схожа с группировкой технических знаний. (В технических теориях, как мы показали с В. Г. Гороховым, описываются классы однородных идеальных объектов — колебательные контуры, кинематические цепи, тепловые и электрические машины и так далее 236.) Евклид объединяет математические знания, описывающие классы однородных объектов, в отдельные книги. Именно в античной математике (в работах до Евклида и в «Началах») была впервые применена и отработана сама процедура сведения и преобразования одних идеальных объектов (фигур, ещё не описанных в теории) к другим идеальным объектам (фигурам, описанным в теории). В ходе таких преобразований получались знания отношений («равно», «больше», «меньше», «подобно», «параллельно»). В дальнейшем, в Новое время, как известно, эти знания были использованы в фундаментальных науках и параметризованы, то есть отнесены к связям параметров природных, реальных объектов. Наконец, именно в античной геометрии были отработаны две основные процедуры теоретического рассуждения: прямая — доказательство геометрических положений и обратная — решение проблем. Эти две процедуры являются историческим эквивалентом современной теоретической постановки и решения в технических науках задач «синтеза — анализа» 237. Более явно отдельные элементы технического мышления могут быть прослежены в античной астрономии. Конечная прагматическая ориентация теоретической астрономии не вызывает сомнений (предсказание лунных и солнечных затмений, восхода и захода планет и Луны, определение долготы и широты, и тому подобное). Но совсем не очевидно, что эта ориентация может быть сближена с технической ориентацией, ведь человек вроде бы непричастен к ходу небесных явлений. Тем не менее такое сближение возможно. В определённом смысле все объекты античной астрономии могут быть отнесены к однородным объектам. На эту мысль наводит единообразная форма их моделей — геометрических изображений небесных сфер и эпициклов. Идеальные объекты, представленные в этих моделях, формируются точно так же, как идеальные объекты технических наук, то есть складываются в ходе схематизации и онтологизации процедур сведения одних теоретически представленных небесных явлений к другим. (Первоначально эти явления описывались в родственных «фундаментальных теориях» — арифметике, геометрии, теории пропорций.) Аналогично этому в античной теоретической астрономии, вероятно, впервые была отработана процедура получения отношений между параметрами изучаемого в теории реального объекта. Первоначально исходные параметры геометрических моделей теоретической астрономии заимствовались непосредственно из таблиц, фиксирующих ступенчатые и зигзагообразные функции. Эти таблицы греческие астрономы получили от вавилонян 238. Позднее греческие астрономы стали производить собственные измерения, ориентируясь уже на новые, «тригонометрические» модели, фиксирующие небесные явления, а также на требования, возникающие в процессе преобразования этих моделей (в Новое время эта процедура была перенесена Галилеем в механику и уже в XIX веке — из естествознания в технические науки). Если небесные тела и их траектории может создать, сотворить только Бог (главным же образом они мыслятся как природные, космические явления), то строительство кораблей — всецело дело рук человека, искусного техника. С этой точки зрения крайне интересные случаи использования научных знаний в технике демонстрирует работа Архимеда «О плавающих телах». По сути, это вариант «технической науки до технической техники», однако представленный в форме античной теории, из которой изгнано всякое упоминание об объектах техники (кораблях). Действительно, работа построена по всем канонам античной науки: формулируется аксиома, на основе которой доказываются теоремы, при доказательстве последующих теорем используется знание предыдущих. В тексте работы не приведены эмпирические знания, описания наблюдений или опытов; идеальные объекты — идеальная жидкость и погружение в неё идеальные тела — не противопоставляются реальным жидкостям и телам. Вообще если термины «жидкость» и «тело» не относить к реальным объектам, а связывать только с идеальными объектами и процедурами развёртывания теории, то науку, которую построил Архимед, по способу описания нельзя отличить от математической теории «Начал» Евклида. Тем не менее можно показать, что Архимед при построении своей теории использовал эмпирические знания о реальных жидкостях и телах и сам его метод доказательства существенно отличается от математического. Рассмотрим оба эти момента подробнее. Анализ формулировок некоторых теорем, содержащихся в этой работе, например: «… тело, более лёгкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остаётся над поверхностью» 239 — позволяет утверждать, что они получены в ходе измерений, при сопоставлении реальных объектов с общественно фиксированными эталонами. Результаты сопоставления фиксировались затем в знаковых моделях (числах) или чертежах. В данном случае можно предположить, что осуществлялись два рода сопоставлений: взвешивание тел и жидкости и определение положения тел относительно поверхности жидкости (тело выступает над поверхностью, полностью погружено в жидкость, опускается «до самого низа» и так далее). Отличие доказательства, принятого в этой работе, от математического можно проследить при анализе ссылок. Первое положение Архимеда («Если поверхность, рассекаемая любой плоскостью, проходящей через одну точку, всегда даёт в сечении окружность круга с центром в той самой точке, через которую проводятся секущие плоскости, то эта поверхность будет шаровой» 240) является чисто математическим и опирается при доказательстве на математическое знание о равенстве радиусов шара. При доказательстве второго положения («Поверхность всякой жидкости, установившейся неподвижно, будет иметь форму шара, центр которого совпадает с центром Земли») используются не только первое положение, но также аксиома, не математическая по своей природе («Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из её частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилегающих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными, и что каждая из её частиц сдавливается жидкостью, находящейся под ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается ещё чем-нибудь» 241). Кроме того, в этом доказательстве Архимед, не оговаривая, использует положение о равенстве давления частиц жидкости, расположенных на одинаковом расстоянии от центра Земли. Это положение, физическое по своей сути, позволяет Архимеду утверждать, что частицы жидкости, расположенные на одинаковом расстоянии от центра, не придут в движение (отсюда следует, что частицы покоящейся жидкости лежат на одинаковом расстоянии от центра Земли и, следовательно, поверхность такой жидкости имеет форму шара с центром, совпадающим с центром Земли). Таким образом, доказательство второго положения (и, как показывает анализ, всех последующих) включает две группы ссылок: на математические и физические положения (аксиому или скрытое или ранее доказанное положение). От физических положений в этих доказательствах Архимед переходит к определённым математическим положениям и наоборот. В результате в каждом доказательстве строится новое физическое положение (знание), включающее в себя определённые математические соотношения, доказанные в математике. При доказательстве всех своих положений Архимед использует сложные чертежи, изображающие жидкость и погружённые в неё тела. Именно к этим чертежам относятся и математические, и физические положения (знания). На чертежах Архимед демонстрирует различные преобразования идеальных объектов — геометрических фигур и тел, а также идеальной жидкости, в которую погружены правильные тела, и переходит от математических идеальных объектов к физическим. Эти геометрические тела в практике кораблестроения используются как модели разрезов (сечений) кораблей. Собственно говоря, вся теория Архимеда в практическом отношении направлена на выяснение «законов» устойчивости кораблей (переменным параметром в данном случае является форма сечения). Чем же отличается «техническая» наука Архимеда от современных технических наук классического типа? Казалось бы, и там и тут — реальное обращение к объектам техники и теоретическое описание закономерностей их строения и функционирования. И там и тут налицо применение для этих целей математического аппарата. И там и тут дело не ограничивается лишь реальными объектами техники, изучаются также случаи, мыслимые лишь теоретически, то есть те, которые конструируются на уровне идеальных объектов, но не воплощены ещё в техническом устройстве (опережающая роль науки). Отличие Теперь мы можем сказать, в каком смысле в Античности понималась математика. С одной стороны, уже Аристотель доказал, что математика используется как средство в науках О природе («Следовательно, дело физики познавать ту и другую природу»). С другой стороны, и природа, и отношение к ней математики понимались иначе, чем в Новое время. В некотором отношении математика и физика в Античности, по отношению, например, к философии, понимаются как принадлежащие к одному типу наук: они описывают два рода бытия, относящихся ко второй философии, просто один род входит в другой. В Новое время математика по отношению к наукам о природе понимается совершенно иначе: а именно как подлинное знание о законах природы 242. В Античности математика не выделяется из других наук, не имеет привилегированного положения. Но точно так же науки о природе и технике рассматриваются одинаково с другими науками, это видно хотя бы по тому, что и «Начала» Евклида, и учение «О плавающих телах» строятся и обосновываются совершенно одинаково. Но различие в строении и формировании математических и физических наук, конечно, есть. Реконструкция происхождения геометрии показывает, что оперативность математических конструкций связана, во-первых, с тем, что идеальные объекты математики строятся так, чтобы снять в своём строении отношения и характеристики некоторой исходной предметной области (например, геометрические фигуры снимают в своём строении отношения, которые были установлены в практике земледелия — определение площадей полей, раздел и соединение Полей, определение одних элементов полей, если известны другие), во-вторых, с тем, что нащупываются (задаются) самостоятельные операции с идеальными объектами математики (эти операции, как правило, отличаются от действий, Направленных на исходные объекты, но могут их имитировать, например, наложение геометрических фигур друг на друга имитирует сравнение полей по величине площадей). Предварительно может быть зафиксирована следующая закономерность (я вернусь к её обсуждению дальше). На первом этапе формирования определённой математики отношения и характеристики определённой предметной области переводятся в характеристики и строение соответствующих математических (идеальных) объектов. На втором этапе вырабатываются процедуры построения одних математических объектов на основе других, а также их теоретического изучения. Такое изучение позволяет получать все новые и новые характеристики математических объектов, однако, что принципиально, не выходящие за круг заданных конструктивных отношений. На третьем этапе построенные и изученные математические объекты начинают использоваться в других областях познания, причём идеальным объектам этих областей приписываются отношения и характеристики, заимствованные из соответствующих математических языков. Обновление и развитие характеристик и отношений исходной области математических объектов, конечно, периодически происходит, но, как следует из работ И. Лакатоса, здесь имеют место, но в свернутом виде, сходные закономерности: эти новые характеристики и отношения в конструктивной форме снимают отношения определённой предметной области 243. Завершая этот раздел, вернёмся ещё раз к полемике с Е. Мамчур. Кажется, что мнение Архимеда полностью подтверждает её убеждение в том, что есть природа, а наука только отображает её закономерности (а не создаёт их, как утверждает Кант и я вслед за ним; вспомним знаменитое: человек имеет «возможность как бы a priori предписывать природе законы и даже делать её возможной» 244). В работе «О шаре и цилиндре» Архимед пишет следующее: «Конечно, эти свойства были и раньше по самой природе присущи упомянутым фигурам, но они всё же оставались неизвестными тем, кто до лас занимался геометрией, и никому из них не пришло на ум, что все эти фигуры являются соизмеримыми друг с другом» 245. Однако стоит учесть, что Архимед — это завершение развития греческой геометрии и вообще античной науки, когда учёные давно привыкли к новой реальности и методам и им стало казаться, что мир всегда был такой. Совершенно иначе он воспринимался даже во времена Платона и Аристотеля, не говоря уже о более ранних временах. Мир Аристотеля — это сущее, но только-только выходящее на поверхность. Поэтому мир не только существует, но и конституируется, мыслится разумом и в этой мысли впервые устанавливается. Вспомним проведённый нами генезис науки. Сначала изобретаются рассуждения и обнаруживаются противоречия. Их разрешение приводит к созданию онтологических диспозитивных конструкций (категорий) и логических норм (правил). Одновременно начинают создаваться науки. Существующие знания о наблюдаемых явлениях (богах, движении, душе, музыке, и тому подобное) получаются заново с использованием методологических дискрипции, логических норм, диспозитивных конструкций. И относят их не просто к наблюдаемым феноменам, а, с одной стороны, к выстроенным идеальным объектам (онтологическим построениям), с другой — к новой реальности (идеям, сущему), которая тоже сознательно устанавливается. Как следствие, и мир начинает структурироваться, мыслиться и видеться по-новому. Например, как состоящий из родов бытия, каждый из которых описывается в соответствующей науке. Архимеду, однако, кажется, что так было всегда, и его задача как учёного — всего лишь выявить свойства, присущие изучаемому явлению по природе. Со всей определённостью нужно сказать, что мир, описываемый в античной философии и науках (а за ними стоят соответствующие новые социальные практики), создан античной культурой и творчеством античных мыслителей, а не существовал всегда. Но точно также мир языческих богов создан культурой древних царств, мир физических законов природы — культурой Нового времени. А дальше человека ожидают все новые и новые миры будущих цивилизаций. Кстати, в них в силу традиции и действия физических законов (если, конечно, они будут продолжать действовать), вероятно, сохранятся и законы первой природы. Но может оказаться, что и они уйдут в небытие, уступив место другой реальности. |
|
Оглавление |
|
|---|---|
|
|