Абстракция потенциальной осуществимости

Абстракция потенциальной осуществимости — это метод мысленного отвлечения, применяемый в рамках одной из наиболее сложных разновидностей идеи бесконечности (см. Бесконечное и конечное) — идеи так называемой потенциальной бесконечности как процесса неограниченных количественных изменений. Представление о неограниченном развитии какого-либо конструктивного процесса, будучи конкретным воплощением этой идеи, требует совершения всевозрастающего количества конструктивных актов, и попытки реального их осуществления, даже в том случае, когда начальные шаги процесса осуществимы фактически, рано или поздно сталкиваются с препятствиями чисто материального характера: для совершения очередного акта недостаёт времени, места или материала. Абстракция потенциальной осуществимости представляет собой решение отвлекаться от всей совокупности осложнений указанного рода, считать их несущественными. Тем самым шаги, осуществимость которых носит лишь воображаемый характер, начинают мыслиться совместно и равноправно с реально выполнимыми. Так, мысленно рассматривая конструктивный процесс (см. Конструктивный процесс) построения натурального ряда 0, 1, 2, … (процесс принципиально незавершаемый), принимается решение, что совместно и равноправно со всяким натуральным числом n рассматривается и следующее за ним число n + 1. Мысленно осуществляя вывод в рамках какой-либо дедуктивной теории, предполагается считать, что вслед за любым шагом этого вывода может быть совершён ещё один. То же самое абстракция потенциальной осуществимости разрешает делать и в применении к любому конструктивному процессу: представив выполненным определённый этап этого процесса, можно согласиться мыслить процесс продвинутым (согласно правилам его развёртывания) ещё на один шаг.

В логическом аспекте (см. Логика) принятие абстракции потенциальной осуществимости ведёт к обоснованию метода полной (совершенной) индукции (см. Индукция). Наряду с абстракцией отождествления (см. Абстракция отождествления) абстракция потенциальной осуществимости является необходимой предпосылкой построения абстрактной теории конструктивных процессов и конструктивных объектов. Это определяет её исключительную роль в методологии математики, в особенности в конструктивном направлении, в котором в качестве объектов рассмотрения допускаются лишь конструктивные объекты, а высказывания об их существовании понимаются как высказывания об их потенциальной осуществимости. Абстракция потенциальной осуществимости применяется и в рамках теоретико-множественной программы Г. Кантора, но в этом случае наряду с этой абстракцией употребляется гораздо более далеко идущая абстракция актуальной бесконечности (см. Абстракция актуальной бесконечности). Кроме математики абстракция потенциальной осуществимости играет важную роль при анализе многих ситуаций, возникающих в логике и в других дедуктивных науках. Некоторые её ослабления, учитывающие ограничения на длину процессов, сложность шагов и промежуточных данных и так далее, применяются в ряде смежных разделов теории алгоритмов и теоретической кибернетики.

Термин «абстракция потенциальной осуществимости» был впервые введён в употребление А. А. Марковым в ходе анализа математических абстракций, предпринятого им в связи с разработкой основ конструктивного направления в математике. Отмечая, что абстракция потенциальной осуществимости, как и абстракция актуальной бесконечности, включает в себя известный элемент воображения, он тем не менее указывал на то, что в отношении отхода от действительности абстракции эти находятся на двух качественно различных уровнях.