Карл Поппер:
Объективное знание.
Приложение 2. Дополнительные замечания

В этом Приложении 1978 года к «Объективному знанию» я хочу обсудить и, насколько смогу, ответить на некоторые критические замечания, выдвинутые против взглядов, изложенных в этой книге, со времени её первой публикации в 1972 году ³³⁶. Я рассмотрю их под следующими пятью рубриками:

1. Индукция.
2. Истинность.
3. Сравнение содержаний.
4. Правдоподобность (verisimilitude).
5. Решающие эксперименты в физике.

Могу сразу же сказать, что самыми серьёзными я считаю возражения, выдвинутые Дэвидом Миллером и другими против моего анализа правдоподобности ³³⁷.

1. Индукция

Энтони О’Хиа (1975) в ясно написанной заметке выдвинул два аргумента в поддержку утверждения, что «индуктивные предположения» нужны в науке и что «Поппер не может заниматься наукой без них» ³³⁸. Я попытаюсь вкратце показать, что оба эти аргумента ошибочны.

Первый из них — это возражение против моих взглядов, которое уже много раз высказывалось и много раз опровергалось. Оно кажется вполне убедительным для тех, кто привык мыслить индуктивистски, и всё-таки оно явно несостоятельно. Очень коротко его можно сформулировать так: нам нужно какое-то индуктивное допущение, если мы хотим аргументировать от прошлого опыта к предсказанию будущих событий — хотя бы такое допущение, которое говорит нам, что мы имеем право аргументировать от прошлого опыта к будущему.

Я отвечаю на это, что мы никогда (и менее всего в науке) не делаем выводов из чисто наблюдательного опыта относительно будущих событий. На самом деле все такие выводы основаны на опыте наблюдений (сформулированном в виде «начальных условий») плюс некоторые общие теории. Присутствие этих теорий (таких как ньютонова теория тяготения) существенно для возможности аргументировать от прошлого к будущему. Однако эти общие теории не выводятся, из опыта прошлых наблюдений. Они скорее являются догадками — это предположения.

В этом ответе всё сказано. Ведь ясно, что в чисто дедуктивном умозаключении, ведущем от начальных условий и общих теорий к некоторому предсказанию, нет места никаким «индуктивным допущениям». А значит, единственное место, через которое могут проникнуть «индуктивные предположения», это общие теории. Но общую теорию можно предположить ещё до того, как появятся какие-либо свидетельства в её пользу, ещё до того, как появятся какие-то её «позитивные примеры». Поэтому она не только не выводится, а предполагается, но уж ни в коем случае не выводится индуктивно или с помощью каких-то «индуктивных предположений». Конечно, предсказания, базирующиеся таким образом на общих теориях и начальных условиях, не являются ни «оправданными (justified)», ни «обоснованными (warranted)» ни в каком смысле этих терминов — во всяком случае не более, чем «оправданы» или «обоснованы» сами эти общие теории. Однако, как я разъяснил более подробно в другом месте ³³⁹, оправдание, или джастификация, не играет никакой роли в критическом анализе научного знания.

Второе возражение О’Хиа кажется мне менее интересным, поскольку оно основано на недоразумении. То, что я называю «фоновым знанием» ³⁴⁰, состоит не только из отчётов о наблюдениях (как он неявно предполагает), но и из теорий — из тех предположительных теорий, которые на данный момент (когда мы обсуждаем некоторое множество конкурирующих и потому проблематичных теорий) мы считаем непроблематичными. О’Хиа говорит, что «и то, как здесь употребляется фоновое знание, и последующее объяснение закона убывающей отдачи (law of diminishing returns) ³⁴¹ от повторных проверок, похоже, приходят в противоречие с характерным для Поппера отвержением — в «Logic of Scientific Discovery» [то есть в моей книге, 1977 года [a]] (pp. 367–369) — любой схемы вида

Р (а_n, а₁а₂… а_п–1)> р (а_n),

Где p есть мера вероятности» ³⁴².

Использованную О’Хиа ссылку можно понять только в предположении, что он полагает, будто то, что я называю «фоновым знанием», состоит только из конкретных наблюдений (observational instances), таких как а₁, а₂, … в формуле, на которую он ссылается. Однако это не так. (Вероятность будущих наблюдаемых случаев, и даже теорий, может возрасти, если «даны» другие теории ³⁴³.) Таким образом, опасения О’Хиа рассеиваются сами собой.

Мне, пожалуй, следовало бы упомянуть слова О’Хиа, что «отвержение Поппером индукции затрудняет ему… показ того, почему было бы рациональным предпочесть в качестве основы для действия лучше всего проверенную научную теорию» ³⁴⁴, причём он цитирует отрывки из главы 1 настоящей книги. Поскольку я подробно изложил в другом месте ³⁴⁵ мой анализ прагматической проблемы индукции, в котором содержится неявный ответ на критику О’Хиа, мне вряд ли нужно что-то ещё говорить об этом здесь. Однако, я мог бы добавить следующее.

Лучшее, что мы можем сделать, — это искать истинную теорию, используя всю нашу творческую, критическую и экспериментальную изобретательность. Конечно, бывают случаи, когда истинная теория желаемого нами рода не существует. Я не удивился бы, например, если бы мы тщетно искали истинную теорию, с помощью которой мы могли бы предсказывать погоду по воскресеньям на пять недель вперёд. Вместе с тем если истинная теория такого рода, какую мы ищем, существует, то метод выдвижения дерзких гипотез и энергичных стараний устранить те из них, которые окажутся ошибочными, может добиться успеха и на его основе удастся выдвинуть истинную теорию. И он не оставляет все на волю случая, как делал бы метод одного только выдвижения дерзких гипотез без попыток устранения ошибочных или, ещё хуже, метод догматического цепляния за единственную догадку, единственную теорию, первой пришедшую нам на ум, или, и того хуже, метод отказа вообще от всяких теорий.

О’Хиа говорит: «сам по себе факт, что не существует «лучшего» или «более рационального» метода, чем данный (метод выбора лучше других проверенной теории), ещё не показывает, что этот метод сам по себе представляет рациональный путь к достижению заданной цели (к успешному действию)» ³⁴⁶. С этим я полностью согласен. Но дело в том, что, во-первых, у нас просто нет никаких гарантий успеха, а во-вторых, существуют худшие, то есть менее рациональные методы. О’Хиа продолжает: «В игре с отгадыванием случайных чисел может не быть лучшего или более рационального метода, чем дублирование последнего числа, но сама по себе эта процедура вряд ли рациональна» ³⁴⁷. Именно так: эта процедура соответствует тому, что мы выбираем число наугад, а потом держимся за него до конца, каким бы печальным он ни был, что, конечно, менее рационально, чем метод, который я рекомендую (см. следующий абзац. — Прим. пер.). (Однако, поскольку в рассматриваемом О’Хиа особом случае действительно нет лучшего метода, нежели удвоение последнего числа — хотя есть много столь же плохих методов, — этот метод вряд ли можно назвать «иррациональным»).

Итак, я думаю, что я прав, когда называю метод выдвижения догадок (множества догадок), состязания между ними и устранения худших из них более рациональным, чем некоторые другие методы, и О’Хиа даже не отрицает, что он является «лучшим» или «наиболее рациональным» из известных нам методов. (Кстати, я не считаю, что на спор из-за слова «рациональный» стоит тратить много времени, и я не пытаюсь «оправдать» метод, о котором идёт речь — я не джастификационист. Напротив, я всегда подчёркивал, что этот метод может и не добиться успеха, и я был бы удивлён, но счастлив, если бы кто-нибудь сумел предложить лучший или более рациональный метод, успех которого был бы несомненен (certain) или вероятен (probable).)

Здесь можно добавить два слова о шумных требованиях индуктивистов (О’Хиа отрицает, что принадлежит к их числу) по части индуктивных принципов или индуктивных предположений. Такие принципы или предположения — вроде «принципа единообразия природы» — обычно считаются находящимися на более высоком уровне общности, нежели физические теории, то есть на метауровне. И действительно, догадки более высокого уровня по поводу мира, или метадогадки, часто играют определённую роль в наших научных процедурах. Можно высказать метадогадку, что мы, возможно, можем с помощью метода предположений и опровержений найти модель, объясняющую фазы луны или действие грозы. И можно высказать метадогадку, выводимую из нашей космологии, что мы будем тщетно применять метод предположений и опровержений, если попытаемся с его помощью найти закон, позволяющий предсказывать погоду по воскресеньям на пять недель вперёд. Другими словами, мы можем высказывать метадогадки, которые заставят нас ожидать, что метод предположений и опровержений может помогать нам отвечать на вопросы в одних областях, но не помогать в других. Конечно, эти метадогадки погрешимы, и кто-то может открыть правило типа «дождь почти всегда идёт по воскресеньям, но не по субботам». Однако мы не только были бы удивлены, если бы такое правило работало — оно бы нарушило наше миропонимание. Эта точка зрения, конечно, в свою очередь предположительна, хотя можно сказать, что это — «допущение», лежащее в основе многих наших научных предположений. (См. также мою книгу [1977 [a]], раздел 79).

Я считаю возможным, что некоторые люди, интуитивно верящие в «индуктивные предположения», почувствуют, что допущение этих метадогадок согласуется с их интуицией, и это может смягчить их опасения, связанные с моим отрицанием индукции.

2. Истина

Доктор Сьюзен Хаак [1976] в статье, названной «Истинно ли то, что говорят о Тарском?», требует меня к ответу за интерпретацию теории истины Тарского (в настоящей книге и в других местах) как теории соответствия. На вопрос, поставленный в названии её статьи, она отвечает смелым утверждением: «… Тарский не представляет свою теорию как теорию соответствия» (Haack [1976]. — p. 324). Мой ответ будет состоять просто из двух кратких цитат из Тарского. Первая — со второй страницы фундаментальной работы Тарского «Понятие истины в формализованных языках» ³⁴⁸. Тарский говорит в ней о своей собственной работе: «Я замечу только, что во всей этой работе я буду заботиться только о том, чтобы правильно понять (grasp) интенции, заложенные в так называемом классическом понятии истины («истинно — соответствует действительности») в противопоставлении, например, её утилитарному пониманию («истинно — полезно в некотором отношении»)». Вторая цитата из Тарского — находится на четвёртой странице его работы «Основания научной семантики» — ещё более откровенна ³⁴⁹: «Мы рассматриваем истинность предложения как его соответствие действительности».

Поэтому я думаю, что вопрос о порицании доктором Хаак правдивости моих оценок теории Тарского можно считать исчерпанным. Хотя Тарский и представлял свою теорию как теорию соответствия, он отрицал, что из неё можно вывести какие-либо реалистические или иные метафизические заключения. Я первым использовал теорию Тарского в поддержку метафизического реализма в 1956 году ³⁵⁰. Конечно, я не приписывал Тарскому эту точку зрения ³⁵¹, но я сказал (в 1956 году), что «в классической теории истины, или теории соответствия, по умолчанию принято» называть положение вешей «реальным» («real»), если описывающее его высказывание истинно.

3. Сравнение содержаний

Я часто доказывал (argued), что прогресс науки происходит в результате соревнования теорий, а также что самые интересные из наших теорий в типичном случае противоречат своим предшественницам (см. главу 5 настоящей книги). Поэтому нам нужны какие-то средства, с помощью которых мы могли бы сравнивать содержания, или объяснительную силу, таких теорий. В настоящей книге (см. с. 58–60) я высказал предположение, что в качестве основы для такого сравнения мы могли бы использовать вопросы, на которые способны ответить конкурирующие теории. (И я также предположил, что мы могли бы использовать для этой цели то, что я назвал проблемным содержанием теорий ³⁵²). Иначе говоря, я предположил, что мы можем проводить сравнение интересующих нас теорий по отношению к нашим проблемам — проблемам, которые способны решить эти теории.

Эти мои предположения, как было показано, оказались неудовлетворительными. К сожалению, в различных важных местах я говорил о «всех» вопросах, на которые может ответить та или другая теория, однако Дэвид Миллер, Адольф Грюнбаум и Джон Уоткинс указали на контрпримеры. Вместе с тем на уме у меня была попытка преодолеть трудности сравнения содержаний, релятивизируя содержание (как и простоту — см. мою книгу [1976 [a]], p. 240–242, прим. 24), то есть рассматривая его по отношению к релевантным для нас проблемам — к тем проблемам, которые практикующий учёный считал бы релевантными ³⁵³.

Я всё ещё думаю, что если кто-нибудь должным образом разработает (articulates) эту идею (чего мне, к сожалению, сделать не удалось), то трудности, связанные со сравнением содержаний конкурирующих и противоречащих друг другу теорий, возможно, удастся преодолеть.

Дэвид Миллер и Адольф Грюнбаум подчеркнули трудность сравнения содержаний. Когда предшествующая теория корректируется более новой теорией, должны существовать решающие эксперименты, для которых предшествующая и последующая теории предсказывают разные результаты (будем называть эти результаты, соответственно, с и не-с). Так вот, как указывает Миллер ([1975 [a]]. — p. 165), вопрос «истинно ли с-или-u?» будет неразрешимым в рамках новой теории, если неразрешимо и ведь в рамках новой теории, из которой следует не-с, с-или-u будет эквивалентно u. Таким образом, существует вопрос на который даёт ответ прежняя теория, но не даёт ответа новая. Конечно, Дэвид Миллер признает, что вопрос «истинно ли с-или-u?» может не иметь никакого научного интереса, Адольф Грюнбаум (Grunbaum [1976 [a]]) также представил несколько примеров проблем, возникающих в предшествующей теории (теории Ньютона), но не в её преемнице (теории Эйнштейна). Однако, хотя критика Пзюнбаума и затрагивает некоторые мои ранние формулировки, я не думаю, что здесь есть какая-то важная проблема по существу. Действительно мы можем сказать, что на все поставленные им проблемы у позднейшей теории есть полный ответ, отличный от того, который даёт предшествующая теория, хотя он может быть ни «да», ни «нет». Ответом будет: «Этот вопрос не возникает» (Допустимость такого ответа должна быть оговорена явно).

Итак, хотя нам и не следует преуменьшать трудностей, мне всё-таки кажется, что мы не должны позволять им запугать себя. Я думаю, что существует вполне ясный смысл, в котором мы можем сказать, что законы Кеплера объяснены (и скорректированы — см. главу 5) теорией тяготения Ньютона; что существует вполне ясный смысл, в котором мы можем сказать, что теория Кеплера менее общая и имеет меньшую объяснительную силу или меньшее информативное содержание, чем теория Ньютона, и что отношение, аналогичное отношению между теориями Кеплера и Ньютона, имеет место между теориями тяготения Ньютона и Эйнштейна. Я говорю, что существует этот вполне ясный смысл, хотя и признаю, что мне не удалось сделать его явным.

Нам хотелось бы иметь возможность при рассмотрении отношений между некоторой теорией, такой как теория Кеплера, и её преемницей, такой как теория Ньютона, утверждать нечто вроде следующего. Теория-преемница в большинстве случаев будет: 1) иметь по крайней мере такую же степень общности или универсальности, как и её предшественница, в том смысле, что она будет охватывать по крайней мере ту же область научно интересных проблем, что и её предшественница. Кроме того, она будет либо 2) приложима к ситуациям, о которых её предшественница сказать ничего не может, либо 3) исправит некоторые из ошибок предшествующей теории, либо — что предпочтительнее — будет выполнять и [2], и [3], а значит [1], (2) и [3] вместе (Более того, одна и та же теория-преемница может превзойти сразу несколько предшествующих теорий и объединить их — собственно говоря, так обычно и бывает).

Трудность связана с условием [3]: если две теории противоречат друг другу, то, как ясно показывает пример Миллера, новая теория будет отвечать не на все те вопросы, на которые может ответить предшествующая ей теория. Моя ошибка состояла в том, что употреблённые мной формулировки наводили на мысль, что она должна отвечать на все эти вопросы.

Вместе с тем с моей сегодняшней точки зрения весь смысл обращения к проблемам состоит в том, чтобы релятивизировать сравнение теорий по отношению к научно релевантным проблемам (или к тем проблемам, которые могут быть характерны для того, что я называю «проблемной ситуацией»).

Например, мы могли бы релятивизировать проблемное содержание, скажем, К (трёх законов Кеплера) и N (теории Ньютона) к тем «релевантным» вопросам, которые относятся к положению определённого физического тела как функции времени. Две рассматриваемые теории дают слегка различающиеся ответы на вопросы о положении планет — потому-то и возникают решающие эксперименты. Однако ответы на выбранное нами множество вопросов находятся друг к другу (по временной координате) во взаимно-однозначном соответствии: там, где ответы, даваемые обеими теориями, отличаются друг от друга, они находятся во взаимно-однозначном соответствии. Таким образом, мы имеем в своём распоряжении способ сравнения «релевантных» частей содержания наших теорий там, где они ведут к разным результатам. Там, где результаты обеих теорий одинаковы, взаимно-однозначное соответствие, конечно, сохраняется.

Джон Уоткинс в частном сообщении продемонстрировал мне недостаточность этой конкретной релятивизации. Его возражение можно изложить так.

Теория Кеплера может точно предсказать положение двух планет в определённый момент времени, используя только информацию об их положениях в предшествовавшие моменты времени. Однако, если только мы не можем пренебречь массами планет, теория Ньютона этого сделать не может, во всяком случае не при том же числе заданных положений. Ей понадобились бы ещё и массы планет, которые теория Кеплера (ошибочно) считает нерелевантными. Так что мы получаем ответ на наш вопрос от теории Кеплера, но не от теории Ньютона.

Я считаю этот пример более интересным и более важным, чем примеры и Миллера, и Грюнбаума, поскольку он не чисто формален. Вместе с тем на него можно ответить разными способами. Один из них состоит в следующем.

Теория Ньютона может дать ответ на этот вопрос (хотя только в форме аппроксимации) для любого конкретного сочетания неизвестных масс трёх тел (Конечно, у неё нет прямого решения проблемы трёх тел). Следовательно, её ответ на этот вопрос состоит из одной полной (exhanstive) бесконечной конъюнкции условных высказываний. Каждое из этих условных высказываний будет иметь следующий вид: если массы планет такие-то, то их положения будут такими-то. И эта одна бесконечная конъюнкция находится во взаимно-однозначном соответствии с решением Кеплера. Несмотря на её условный характер, её нельзя считать более слабым ответом, чем ответ Кеплера, поскольку она исчерпывает все возможные условия.

Мы можем испробовать и другие способы справиться с трудностью, указанной Уоткинсом. Мы можем релятивизировать релевантные для нас проблемы к фоновому знанию, неявно предполагаемому теориями Кеплера и Ньютона. При фоновом допущении Кеплера, что массы планет несущественны или пренебрежимы для данной проблемы, теории Кеплера и Ньютона дают одни и те же результаты, поскольку при таком допущении проблема становится для Ньютона просто суперпозицией двух задач об одном теле. А при (ньютоновском) допущении, что массы планет существенны, но неизвестны, теория Ньютона приводит к только что упомянутой бесконечной конъюнкции.

Говоря в общем, я не думаю, что должен существовать единственный предпочтительный способ выбора проблемного базиса для релятивизации.

Этот аргумент, конечно, представляет собой всего лишь интуитивный набросок, но мне кажется, что стоит изучить вопрос о том, не можем ли мы, при помощи тех или иных подходящих соглашений ³⁵⁴ о релевантности, сравнивать проблемное содержание разных теорий по отношению к (в какой-то мере определяемому соглашением) перечню тех видов (kinds) проблем, которые мы согласились считать релевантными ³⁵⁵.

Возможны и другие способы релятивизации, в том числе некоторые, относимые к росту проблемных ситуаций T₁ и T₂. (См. главу 4 настоящей книги) Новая проблемная ситуация возникает из старой в рамках схемы типа Р₁→TT→EE→ Р₂. Новая проблемная ситуация, таким образом, состоит из P₁ и P₂: она будет сравнима с прежней и притом богаче её.

4. Правдоподобность (verisimilitude)

Мою теорию правдоподобности критиковали очень сурово ³⁵⁶, и я сразу же должен признать, что предложенное мной «определение правдоподобности» ошибочно. Есть серьёзная ошибка и в интуитивных эвристических соображениях, которые привели меня к этому определению.

Теперь я хочу скорректировать ³⁵⁷ эти интуитивные эвристические соображения следующим образом.

Интуитивно кажется, что высказывание b ближе к истине, чем высказывание а, если и только если [1] (релятивизированное) истинностное содержание b превосходит истинностное содержание а и [2] некоторые ложные следствия из а (предпочтительно все, признанные опровергнутыми, и — ещё предпочтительнее — некоторые кроме них) не выводимы из b, но замещены их отрицаниями.

В этой эвристической формулировке мы должны рассматривать термин «содержание» или «истинностное содержание» как пересмотренное (релятивизированное) в духе, намеченном в разделе [3] настоящего Приложения.

Наряду с данным наброском скорректированной эвристической идеи истинностного содержания, имеется, по-видимому, ещё один подход, исследуемый в настоящее время Дэвидом Миллером ³⁵⁸: он принимает (булево) расстояние теории (дедуктивного множества высказываний) от (дедуктивно замкнутого) множества истинных высказываний за «расстояние от истины» ³⁵⁹. Нечто в определённом смысле противоположное этому можно было бы принять за правдоподобность. Более того, можно было бы ввести меры на этих множествах (поскольку булево расстояние есть множество).

Последовательность теорий, таких как К (три закона Кеплера), N (ньютоновская теория тяготения) и E (теория Эйнштейна), по-моему, достаточно хорошо иллюстрируют то, что понимается под увеличением объяснительной силы и информативного содержания — и если всё более суровые испытания последующих теорий дадут позитивные результаты, то я считал бы, что эти позитивные результаты составляют аргументы в пользу предположения, что это не случайно, а вызвано возросшей правдоподобностью ³⁶⁰.

Я глубоко сожалею о том, что допустил несколько очень серьёзных ошибок в связи с определением правдоподобности, но я думаю, что нам не следует из неудачи моих попыток решить эту проблему делать вывод, что самой этой проблемы не существует. Возможно, её нельзя решить чисто логическими средствами, а только лишь путём релятивизации к релевантным проблемам или даже с учётом исторической проблемной ситуации.

Нам надо различать проблему прояснения идеи правдоподобности и вопрос об оценке теорий с точки зрения правдоподобности, особенно теорий с высокой объяснительной силой. (Конечно, теории с высокой объяснительной силой по этой самой причине скорее могут оказаться ложными.) Конечно, моя общая позиция включает тезис, что «в эмпирической науке мы никогда не можем иметь достаточно веские аргументы для притязания на то, что мы на самом деле достигли истины» (см. с. 64 настоящей книги). Вместе с тем я считаю, что у нас могут быть весомые аргументы для того, чтобы предпочесть одну из конкурирующих теорий другой с точки зрения нашей цели — найти истину или приблизиться к истине. Так что я считаю, что у нас могут быть весомые аргументы для того, чтобы предпочесть — хотя бы на время — теорию T₁ теории T₂ с точки зрения её правдоподобности. Я мог в том или другом месте ³⁶¹ высказаться несколько неосторожно, но сейчас я сформулировал то, что готов защищать.

Везде, где я говорю, что у нас есть основания полагать, что мы добились продвижения вперёд, я говорю, конечно, не на фактуальном языке-объекте наших теорий (скажем, T₁ или T₂), и не заявляю — на метаязыке, — что Т₂ фактически ближе к истине, чем Т₁. Скорее я даю оценку состояния обсуждения этих теорий, в свете которого Т₂ представляется более предпочтительной, чем Т₁, с точки зрения нацеленности на истину.

5. Решающие эксперименты в физике

Логический анализ идей, используемых в методологии науки, — предмет интересный и важный, и я уверен, что он приведёт к новым и интересным прозрениям (insights). Вместе с тем нам не следует позволять обескураживать себя отрицательным результатам — таким, как ещё один очень интересный результат Дэвида Миллера, создающий ситуацию, аналогичную ситуации с парадоксом Рассела ³⁶². Этот результат состоит в том, что если одна ложная теория Т₁ даёт лучшие метрические приближения, чем Т₂, к истинным (или к измеряемым) значениям по крайней мере двух параметров, то всегда можно преобразовать эти теории в логически эквивалентные им теории, которые должны будут получить противоположную оценку по отношению к другому множеству параметров, определимому в терминах первого множества (причём эта определимость взаимная).

Доказательство Дэвида Миллера можно изложить следующим образом. Следующие два множества [I] и (II) из двух уравнений каждое взаимно выводимы и следовательно эквивалентны:

(I):

x = q — 2p, y = 2q — 3p, (II):

p = y — 2x, q = 2у - 3х.

Если любые два из этих четырёх значений «даны» («даны» как истинные или как измеренные), то остальные два можно вычислить. Примем x = 0; у = 1; p = 1; q = 2, либо за истинные, либо за измеренные значения (либо и то, и другое).

Пусть из теории Т₁ вытекает, что

x = 0,100, у = 1,000.

Пусть из теории T₂ вытекает, что

x = 0,150, у = 1,225.

Тогда кажется, что Т₁ по точности превосходит Т₂. Однако если мы рассчитаем параметры p и q, вытекающие из Т₁ и Т₂, мы получим противоположный результат: из Т₂ вытекает p = 0,925 и q = 2,000, так что Т₂ кажется более точной, чем Т₁, из которой следует, что p = 0,800 и q = 1,700.

Результат Миллера, по-видимому, говорит о бесплодности любого упорядочения не только по правдоподобности, но даже и просто по лучшему согласию с данными измерений любых ложных теорий по крайней мере с двумя параметрами, ибо мы всегда можем найти эквивалентное множество параметров, которое приведёт к обратному упорядочению.

Кажется, что это разрушает фундаментальный метод физики при выборе одной из двух конкурирующих теорий на основе решающих экспериментов, иначе говоря — на основе лучшего или худшего согласия с экспериментальными измерениями (Этот метод, кстати, не исходит ни из каких допущений о правдоподобности).

Столкнувшись с парадоксом Рассела, Фреге сказал: «Арифметика шатается». Хочется сказать, что результат Миллера показывает, что физика шатается. Однако Фреге оказался неправ в своём диагнозе. И у нас есть солидные основания думать, что физика не шатается, но способна успешно справляться с исключительно трудными и тонкими проблемами. Поэтому нельзя принимать то, что выглядит как очевидные и скептические следствия простого доказательства Миллера.

Я не знаю никакого общего метода, которым можно было бы решить или обойти проблему, поставленную Миллером. В настоящее время кажется, что в каждом конкретном случае приходится принимать решение относительно параметров, учитываемых при оценке конкурирующих физических теорий, например, что они должны быть независимы. Кажется, что этот выбор не должен быть произвольным, а должен руководствоваться проблемами, над которыми мы работаем, и, более общо, теориями, которые в данный момент влияют на наше фоновое знание.